Grafi

Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie G=(V,E), |V|=n, |E|=m V: insieme di Vertici E={(vi, vj): vi, vj V} : insieme di Archi (vi, vj) = (vj, vi) = {vj, vi} Grafo semplice (vi, vj) ≠ (vj, vi) Grafo diretto notazione impropria giu 03 ASD - Grafi

Esempi Relazioni di parentela Relazioni tra classi nei linguaggi OO Alberi genealogici Relazioni tra classi nei linguaggi OO Grafo del Web Assetti societari Reti di trasporto ................ giu 03 ASD - Grafi

Definizioni/2 Multigrafo: E è un multi-insieme Pseudografo: E contiene anche coppie (vi, vi), dette cappi Cammino (di lunghezza k) in un grafo: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1)  E Circuito in un grafo: cammino con v1 = vk Ciclo in un grafo: circuito con vi ≠ vj Grafo pesato: valore reale wk associato ad ogni arco ek giu 03 ASD - Grafi

Definizioni/3 Kn: Grafo semplice con n nodi in cui sono presenti tutti gli archi, detto grafo completo Numero di archi in Kn : n(n-1)/2 G’ = (V’, E’) sottografo di G = (V, E) se e solo se V’  V ed E’  E grado(v): #di archi incidenti in v (vi, vj)  E: vi adiacente a vj giu 03 ASD - Grafi

Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato giu 03 ASD - Grafi

Rappresentazioni Liste di adiacenza: ad ogni vertice è associata la lista dei vertici adiacenti può essere una tabella o una lista concatenata Matrice di adiacenza: aih = 1 se (vi, vh)  E, aih = 0 altrimenti Matrice di incidenza: aih = 1 se vi  eh, aih = 0 altrimenti giu 03 ASD - Grafi

Rappresentazioni di grafi Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c), giu 03 ASD - Grafi

Rappresentazioni di grafi Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e) giu 03 ASD - Grafi

Vantaggi e Svantaggi Lista di adiacenza: memoria O(m) Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v)) Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v)) Matrice di adiacenza: memoria O(n2) Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1) Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n) D.: matrice di incidenza ? giu 03 ASD - Grafi

Visita di un Grafo Obiettivo: visitare una sola volta tutti i nodi del grafo. Es.: visitare un porzione del grafo del Web Difficoltà: Presenza di cicli: marcare i nodi visitati Presenza di nodi isolati: la visita termina quando sono state considerate tutte le componenti isolate del grafo giu 03 ASD - Grafi

Visita in profondità - DFS La visita procede da ogni nodo finché tutti gli archi adiacenti non sono stati percorsi. Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo “predecessore”. Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato. I nodi vengono numerati secondo l’ordine di visita. giu 03 ASD - Grafi

Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch ad un grafo giu 03 ASD - Grafi

L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato giu 03 ASD - Grafi

Implementazione della DFS/1 I nodi sono inizialmente marcati con 0 Si inizializza i=0 Assumendo che la visita sia arrivata ad un nodo v, essa prosegue attraverso un nodo u adiacente a v, se marcato 0. Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile si torna al nodo da cui si è raggiunto v, oppure si termina se v è il nodo iniziale. Ogni volta che viene raggiunto un nodo mai visitato, questo viene marcato con i++ Viene marcato sia l’inizio che la fine della visita di un nodo v, risp. num(v) e fin(v) giu 03 ASD - Grafi

Implementazione della DFS/2 depthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v) = fin(v) = 0; /* Vedi slide seg. */ edges = {}; // insieme vuoto i = j = 1; /* per aggiornare num(v) e fin(v) */ /* main loop */ while (<esiste vertice v con num(v)=0>) DFS(v); <visualizza edges> } giu 03 ASD - Grafi

Implementazione della DFS/3 DFS(v) { num(v) = i++; // num(v): prima volta che si visita v for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { edges = edges  {(v, u)}; DFS(u); } fin(v) = j++; // fin(v): ultima volta che si visita v giu 03 ASD - Grafi

DFS iterativa L’implementazione iterativa della DFS utilizza una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato. Ad ogni passo si estrae l’arco (w,v) sulla cima della pila. La visita prosegue su un nodo u adiacente a v (solo se marcato 0). La numerazione fin(v) viene assegnata quando si estrae un arco (w,v) con num(w) < num(v) giu 03 ASD - Grafi

DFS iterativa void iterativeDFS(v) { pila.push((v,v)); // arco fittizio while(!pila.isEmpty()) { (w,v) = pila.pop(); // arco w -> v if (num(v) == 0) { num(v) = i++; edges = edges  {(w, v)}; pila.push((w,v)); // prepariamo la II marcatura for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) pila.push((v, u)); } else if (fin(v) == 0) fin(v) = j++;//test inutile? } giu 03 ASD - Grafi

proprietà della DFS l’algoritmo DFS visita l’intera componente del grafo raggiungibile dal nodo di partenza se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di alberi che coprono l’intero grafo un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai stato raggiunto. gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore (forward edges) gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore (back edges) giu 03 ASD - Grafi

Complessità della DFS O(n) per inizializzare marcatura dei nodi. Test degli archi uscenti da un nodo v: O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza. O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza. Ogni arco viene testato al più due volte, una volta per ogni estremo Complessivamente O(n + m), O(n2) (grafo denso) giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento parziale Ordinamento parziale di un insieme A: relazione d'ordine parziale (transitiva) sugli elementi di A possono esistere coppie tra le quali non è definito alcun ordine Un grafo diretto aciclico (DAG) rappresenta un ordinamento parziale: l'insieme dei vertici è l'insieme A ed esiste un arco (u, v) sse u < v secondo l'ordine parziale Se esiste un ciclo il grafo non può rappresentare un ordine parziale: perché? giu 03 ASD - Grafi

esempio l'introduzione/eliminazione di archi transitivi non modifica l'ordine parziale descritto chiusura transitiva = aggiunta di tutti gli archi transitivi riduzione transitiva = eliminazione di tutti gli archi transitivi giu 03 ASD - Grafi

Applicazione ordini parziali Ereditarietà tra classi in linguaggi OO Vincoli di precedenza in progetti complessi Contenimento insiemistico Studio di proprietà geometriche ... giu 03 ASD - Grafi

esempio slip orologio scarpe pantaloni calzini giacca camicia cintura cravatta giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/1 Un ordinamento topologico di un DAG è un ordinamento lineare dei suoi vertici che soddisfa la seguente condizione: per ogni arco (u, v) del grafo, u precede v nell’ordinamento a ciascun vertice u si assegna un intero p(u) in modo tale che, se esiste l'arco (u, v), allora p(u) < p(v) di conseguenza, se esiste un cammino da u a w, allora p(u) < p(w): ogni nodo nell’ordine è seguito da tutti i suoi successori è sempre possibile determinare un ordinamento topologico di un DAG giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/2 In altre parole si vuole determinare un ordine totale consistente con l'ordine parziale (ce ne possono essere molti!) spesso si usano algoritmi che determinano un ordinamento inverso all'ordinamento topologico per semplicità, consideriamo anch'essi "topological sorter" Un vertice pozzo è un vertice che non ha archi uscenti. In un DAG esiste sempre almeno un pozzo: perché? giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/3 TopologicalSort() { for(i = 1; i <= n; i++) { <trova un vertice pozzo v> num(v) = i; <elimina dal DAG tutti gli archi incidenti in v> } sfruttiamo la proprietà che un sottografo di un DAG è un DAG num(·) fornisce la numerazione cercata (inversa) giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento topologico: g,e,b,f,d,c,a giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/4 In pratica un ordinamento topologico (inverso) si ottiene se nella sequenza ogni nodo è seguito dai suoi predecessori (e da altri eventuali nodi) Si esegue una DFS e si ordinano i vertici secondo il valore fin(v). il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi predecessori L’ordinamento topologico si ottiene dalla sequenza ordinata secondo fin(v) scandita in ordine inverso. Come si dimostra? giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/5 TS(v) num(v) = i++; for(<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) TS(u); else if (fin(u) == 0) errore; // identificato un ciclo /* siamo tornati ad u visitando i successori di u */ /* dopo avere esaminato tutti i predecessori, assegna a v un numero maggiore di quelli assegnati a qualsiasi predecessore */ fin(v) = j++; giu 03 ASD - Grafi

Ordinamento Topologico/6 topologicalSorting(digraph) for(<tutti i vertici v>) num(v) = fin(v) = 0; i = j = 1; while (<esiste v tale che num(v) == 0>) TS(v); <Visualizza i vertici in ordine inverso secondo fin(v)> /* conviene "organizzarsi" in anticipo per non dover pagare il costo di un ordinamento */ giu 03 ASD - Grafi

Connettività in Grafi diretti Due nodi u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v. Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v. Un grafo è debolmente connesso se ogni coppia di nodi è connessa da un cammino quando gli archi orientati si sostituiscono con archi non orientati. giu 03 ASD - Grafi

Componenti fortemente connesse - SCC/1 Un grafo diretto può essere decomposto in componenti fortemente connesse, V1 , V2 ,… , Vk, tale che V = V1  V2  ...  Vk  u, v  Vj: u connesso a v, v connesso ad u Vj è un insieme massimale Vi  Vj = Ø GT = (V, ET): (u, v)  E  (v, u)  ET giu 03 ASD - Grafi

SCC / 2 StronglyConnectedComponent(G) Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni vertice v; Calcola GT; Calcola DFS(GT) considerando i nodi nel "main loop" in ordine decrescente secondo fin(v); Output ogni albero di DFS(GT) come una componente fortemente connessa separata giu 03 ASD - Grafi

Radici Alberi DFS: b, c, g, h GT a b c d a b c d 8/6 6/8 1/5 5/4 2 1 4 5 e f g h e f g h 7/7 3/1 2/3 4/2 3 7 6 8 num/fin num Radici Alberi DFS: b, c, g, h SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h} Esempio di esecuzione dell’algoritmo per SCC giu 03 ASD - Grafi

Visita in ampiezza - BFS La visita in ampiezza fa uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo v visitato che portano ad un nodo marcato 0. I nodi raggiungibili non marcati vengono quindi marcati. La visita procede dall’arco (v,u) in testa alla coda. giu 03 ASD - Grafi

Implementazione della BFS breadthFirstSearch() { for (tutti i vertici v) num(v) = 0; edges = {}; // empty set i = 1; while (<esiste vertice v tale che num(v) == 0>) { num(v) = i++; enqueue(v); while (<la coda non è vuota>) { v = dequeue(); for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) { num(u) = i++; enqueue(u); edges = edges  {(v, u)} } <visualizza edges> giu 03 ASD - Grafi

Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo giu 03 ASD - Grafi

Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato giu 03 ASD - Grafi

Il Problema dei Cammini Minimi G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v) Cammino dal nodo s al nodo t: v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t Lunghezza del cammino: Il cammino di lunghezza minima non contiene cicli ……se le distanze sugli archi sono positive. Come si dimostra? giu 03 ASD - Grafi

Il problema dei Cammini Minimi/2 Determinare il cammino di lunghezza minima dal nodo s al nodo t dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP) tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP) Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,…. giu 03 ASD - Grafi

Single Source Shortest Paths/1 Consideriamo un grafo pesato con pesi non negativi. Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo. Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v i,…,j è un cammino minimo da i a j. Come si dimostra? giu 03 ASD - Grafi

Single Source Shortest Paths/2 La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V forma un albero. Come si dimostra? Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi. Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente. Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra. Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono modificare tutte le etichette lungo l’intera esecuzione dell’algoritmo. giu 03 ASD - Grafi

Dijkstra/1 Due insiemi di nodi Q ed R. Inizialmente Q= {}, R={1,..,n} Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min dist(v) ed inserisci v in Q Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza da s ad u attraverso nodi in Q: giu 03 ASD - Grafi

Un’esecuzione di DijkstraAlgorithm giu 03 ASD - Grafi

Dijkstra/2 Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q. Dijkstra termina in n passi. Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità. Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n) Complessità di Dikstra O((n + m )log n). giu 03 ASD - Grafi

Dijkstra/3 Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza minima d(v) da v ad s quando v è incluso in Q. Per assurdo, considera il primo nodo inserito in Q per cui Esiste un cammino alternativo più breve che contiene almeno un nodo in R. Sia v’ l’ultimo nodo in R sul cammino da v a s. v’ è connesso ad s con un cammino formato di soli nodi in Q con dist(v’)<dist(v). Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato selezionato in luogo di v. giu 03 ASD - Grafi

Dijkstra/4 DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source) for tutti i vertici v dist(v)= ; dist(source)=0; R = tutti i vertici; while R!=0 v = vertice in R con minimo dist(v); for tutti i vertici u in R adiacenti a v if dist(u)>dist(u)+d(v,u) dist(u)= dist(u)+d(v,u; pred(u) = v; giu 03 ASD - Grafi

Dijkstra/5 La collezione dei pred(u) forma l’albero dei cammini minimi con sorgente s. Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti. Complessità:O(nlog n(m +n)). giu 03 ASD - Grafi

Minimo Albero Ricoprente – MST Si desidera selezionare un sottografo di un grafo che mantenga la connettività tra tutti i nodi al minore costo possibile. Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte aeree che permettono di raggiungere tutte le destinazioni con costo minimo. Assumiamo un grafo semplice e pesi non negativi d(u,v) sugli archi. La rete ottima è un albero. Perché? giu 03 ASD - Grafi

Il Minimum Spanning Tree di un Grafo 8 7 b c d 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 2 10 1 h g f Il Minimum Spanning Tree di un Grafo giu 03 ASD - Grafi

MST / 2 Strategie Greedy: procedi attraverso una sequenza di scelte ottime locali. Strategie greedy convergono alla soluzione ottima solo in casi particolari. Per il MST, consideriamo algoritmi che mantengono la seguente proprietà: P1. Ad ogni passo l’insieme degli archi selezionati è un sottoinsieme del MST finale. Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto alla soluzione mantenendo P1 giu 03 ASD - Grafi

MST / 3 Definiamo un arco “safe” se può essere aggiunto ad un MST mantenendo P1 Il generico algoritmo Greedy: Algorithm_MST(G,d) A={} while A non è uno Spanning Tree trova un arco (u,v) safe per A;/* Safe Inserisci (u,v) in A; return A Diversi algoritmi differiscono per la strategia di ricerca di un arco safe. Questo algoritmo ha n-1 iterazioni giu 03 ASD - Grafi

Archi “safe” Una partizione S, V/S dei vertici rispetta un insieme di archi A se L’arco (u,v) di peso minimo che attraversa il taglio S, cioè è safe per A Si dimostra che esiste un MST che include sia A che (u,v) giu 03 ASD - Grafi

Prova Per assurdo, assumi che un MST T’ include A ma non include (u,v). Considera il taglio (S, V/S) per cui (u,v) è safe. Vi è un arco in T’ che attraversa il taglio (S, V/S). (u,v) forma un ciclo in T’ con (x,y). Poiché d(u,v)<=d(x,y) T = T’ /(x,y) (u,v) ha costo minore. giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Boruvka L’insieme A forma un insieme di componenti connesse Safe: Determina l’arco di costo minimo che connette due componenti connesse in A. I pesi degli archi vengono memorizzati in una coda di priorità. Ad ogni passo si estrae il minimo e si eliminano anche tutti gli archi tra due componenti che vengono unite. Complessità: O(m log n). m eliminazioni da un heap. giu 03 ASD - Grafi

Esecuzione dell’Algoritmo di Boruvka 8 7 b c d Esecuzione dell’Algoritmo di Boruvka 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 1 2 10 h g f La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST 7 6 b c d 9 4 3 5 a i e 2 1 h g f giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Kruskal Ordina gli archi secondo peso crescente Safe: Determina l’arco di peso minimo che non induce cicli in A. Complessità: Ordinamento degli archi in O(m log m). Verifica m volte se si ha un ciclo. Determinare l’esistenza di un ciclo può essere svolto in O(log n) utilizzando una struttura dati per insiemi disgiunti L’esecuzione sull’esempio è identica all’algoritmo di Boruvska giu 03 ASD - Grafi

Gestione di insiemi/1 Ogni insieme ha uno dei suoi elementi come rappresentante. L’elemento rappresentante non viene modificato finchè l’insieme non viene modificato. Operazioni: Make-Set(x): costruisce insieme di un elemento con rappresentante l’elemento stesso Union(x,y): unisce due insiemi con rappresentanti x ed y. Find-Set(x): restituisce il rappresentante dell’insieme contenente x. giu 03 ASD - Grafi

Gestione di Insiemi/2 Sequenza di m operazioni su elementi implementabili in tempo O(m+n log n) con foreste di insiemi disgiunti. Ogni elemento è un nodo di un albero. Ogni insieme è un albero distinto il cui rappresentante è il nodo alla radice. Make-Set(x): nuovo albero con nodo. Find-Set(x): risali l’albero contente x fino alla radice. Union(x,y): albero con minor numero di nodi viene appeso alla radice dell’altro. Union-by-weight. giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Kruskal MST-Kruskal(G,w) A=0; Ordina E in ordine non decrescente; Per ogni secondo l’ordine If Find-Set(u)<>Find-Set(v) then A=A {(u,v)}; Union(u,v}; Return A giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim / 1 L’insieme A forma ad ogni passo una singola componente connessa Inizialmente A contiene {u,v} tale che (u,v) è l’arco di costo minimo. Ad ogni passo si inserisce in A l’arco di costo minimo che attraversa il taglio A, V/A. giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim /2 L’implementazione di Prim è simile a Dijkstra con Q=A. Un Heap R memorizza il peso minimo di un arco che connette un nodo di R ad un nodo di A. Ad ogni passo un nodo v di minima priorità è inserito in A (e rimosso dall’Heap R) Per tutti i nodi u in R adiacenti a v si aggiorna la priorità di u se d(v,u) è minore della priorità corrente di u. Complessità: O(m log n) per l’aggiornamento della priorià che può essere svolta m volte. giu 03 ASD - Grafi

Algoritmo di Prim / 3 PrimAlg(grafo graph, vertice s) A = {s}; R = tutti i vertici/s; for tutti i vertici v rank(v)=min{d(s,v), }; while R!=0 estrai vertice v in R con minimo rank(v)=d(r,v), ; A = A v; pred(v) = r; for tutti i vertici u in R adicacenti ad v if rank(u)>d(v,u) rank(u) = d(v,u); giu 03 ASD - Grafi

Esecuzione dell’Algoritmo di Prim 8 7 Esecuzione dell’Algoritmo di Prim b c d 9 2 4 4 a 14 11 i e 8 7 6 1 2 10 h g f La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST 6 5 b c d 8 7 4 3 a i e 2 1 h g f giu 03 ASD - Grafi

Esempio di compito d’Esame Indicare un esempio di caso peggiore per l’algoritmo di Quicksort. Scrivere un metodo per il calcolo del predecessore in un albero binario di ricerca. Risolvere la seguente ricorrenza: T(n)=3T(n/2)+n Mostrare l’inserimento di un elemento in un dato albero AVL. Illustrare l’esecuzione dell’algoritmo per l’ordinamento topologico su un dato ordine parziale. giu 03 ASD - Grafi