INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA CORSO DI MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI LAUREA IN INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA

MODELLI DI NEURONI Gli studi sperimentali ed analitici sul sistema nervoso sono stati condotti a diversi livelli di indagine. Livello subcellulare: meccanismi relativi al mantenimento del potenziale di riposo e alla generazione e propagazione del potenziale di azione. Livello di singola unità: comportamento di differenti tipi di recettori e comportamento ingresso-uscita di un singolo neurone o di poche unità neuroniche dal punto di vista del trasferimento dell’informazione. Livello di reti neuroniche: analisi del comportamento di popolazioni di neuroni interconnessi con rappresentazione molto semplificata della singola unità.

CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA Le diverse regioni della membrana neuronica hanno differenti caratteristiche di permeabilità ionica e quindi di eccitabilità. Ad esempio il collo dell’assone ha una soglia più bassa per la generazione del potenziale di azione del soma e dei dendriti, che possono essere non eccitabili affatto. Inoltre, soltanto nelle zone di arrivo dei terminali sinaptici il trasmettitore può agire su piccole zone di membrana variandone l’eccitabilità. Si possono quindi distinguere in un singolo neurone zone di membrana passiva, sinaptica ed eccitabile. Membrana passiva Il potenziale di membrana per la cellula nervosa in condizioni di riposo è determinato dall’equilibrio degli ioni Na+ K+ e Cl- . Tale equilibrio può mantenersi grazie alla formazione di una distribuzione di cariche e quindi di una differenza di potenziale tra i due lati della membrana che è data, per ogni ione, dall’equazione di Nernst e, quando la corrente attraverso la membrana non è nulla dall’equazione di Goldman. E = RT FZ ln [ ]e [ ]i I = F2PV RT [ ]e e-FZV/RT - [ ]i e-FZV/RT - 1 Equazione di Goldman Equazione di Nernst

CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA L’equazione di Goldman che, nel caso di corrente di transmembrana nulla, si riduce all’equazione di Nernst, può essere rappresentata da un generatore di tensione E in serie ad una resistenza non lineare il cui valore dipendeda V. Si ottiene quindi il circuito equivalente per la membrana passiva di figura e I i GNa GK EK ECl ENa GCl C V Gr Er ENa= 58mV EK = 90mV ECl = 58mV C 1mF/cm2

+ GNa (V – ENa) + GK (V – EK) + GCl (V – ECl) CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA – Membrana passiva I = C dV dt + GNa (V – ENa) + GK (V – EK) + GCl (V – ECl) I = C dV dt e I i GK EK ECl GCl C V Gr Er + Gr (V – Er) GNa Gr = GNa + GK + GCl GNaENa + GKEK +GClECl Er = ENa GNa + GK + GCl A riposo I = dV/dt = 0 e quindi V =Er e –INa = IK +ICl Nella membrana passiva Gr e Er sono pressocchè costanti e così nella membrana eccitabile sotto soglia

I = C dV/dt + Gr (V-Er) + a DGe (V-Ee) + b DGi (V-Ei) CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA – Membrana sinaptica Nella membrana sinaptica, all’arrivo di ogni impulso, il terminale presinaptico rilascia una frazione di trasmettitore che produce aumenti localizzati di determinate permeabilità ioniche. Il circuito euivalente è lo stesso della membrana passiva ma le conduttanze sono funzioni dell’ingresso sinaptico. In particolare stimoli eccitatori producono un aumento delle conduttanze di Sodio e Potassio; stimoli inibitori di Potassio e Cloro. I = C dV/dt + Gr (V-Er) + a DGe (V-Ee) + b DGi (V-Ei) DGe = DGNa + DGK Ee = (DGNa ENa+ DGK EK)/(DGNa + DGK) DGi = DGK + DGCl Ei = (DGK EK+ DGCl ECl)/(DGK + DGCl) a(t), b(t) frazioni di area ricoperte di terminali eccitatori e inibitori attivi in t DGNa, DGK, DGCl incrementi massimi delle conduttanze per l’azione del trasmettitore Per I=0 e trascurando i termini non lineari si ottiene un’espressione semplificata della membrana sinaptica: dV/dt + aV = b f(t) f(t) frequenza del trenodi impulsi alla sinapsi

CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA – Membrana eccitabile Esperimento Si utilizza la tecnica del “voltage clamp”: un segmento di assone di calamaro gigante è circondato da un elettrodo e manicotto e vi è introdotto assialmente un filo di Platino. Il potenziale di membrana V può essere controllato con un sistema a controreazione con potenziale di riferimento Vc. La corrente di transmembrana I può essere misurata attraverso la caduta su una resistenza R. Elettrodo assiale Filo di platino Assone + - V Vc Comp Gen I I R Quando l’assone viene stimolato e si genera il potenziale d’azione, in tutte le sezioni si ha la stessa variazione di potenziale e si evita la propagazione dell’impulso.

GK (Vc,t) = IK (Vc,t) / (Vc – EK) GNa(Vc,t) = INa(Vc,t) / (Vc – ENa) CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA – Membrana eccitabile In corrispondenza a variazioni a gradino di Vc che provocano rapide depolarizzazioni della membrana si può misurare la corrente I. Tale corrente ha un andamento complesso, che però può essere interpretato sulla base del circuito equivalente utilizzato per la membrana passiva considerando GNa e GK funzioni di V e t. Si ha quindi per l’esperimento descritto: I = GNa(Vc,t) (Vc – ENa) + GK (Vc,t) (Vc – EK) + GCl (Vc – ECl) Gli andamenti di GNa e GK si possono ottenere sperimentalmente considerando una soluzione priva di ioni Sodio. In tal caso la corrente sarà principalmente dovuta agli ioni Potassio. Da cui : GK (Vc,t) = IK (Vc,t) / (Vc – EK) Sottraendo la IK (Vc,t) dalla I totale misurata si può ottenere la INa(Vc,t) da cui: GNa(Vc,t) = INa(Vc,t) / (Vc – ENa)

GNa(Vc,t) = G*Na m3h GK (Vc,t) = G*K n4 G*Na e G*K costanti. CIRCUITI EQUIVALENTI DELLA MEMBRANA NEURONICA – Membrana eccitabile Gli andamenti di GNa(Vc,t) e GK (Vc,t) vengono rappresentati analiticamente con funzioni empiriche e precisamente: GNa(Vc,t) = G*Na m3h GK (Vc,t) = G*K n4 G*Na e G*K costanti. dn/dt = an(1-n)-bn n dm/dt = am(1-m)-bm m dh/dt = ah(1-h)-bh h Con a e b funzioni di V. Il modello completo di Hodgkin –Huxley può essere quindi formulato come: I = C dV/dt + G*Na m3h (Vc – ENa) + G*K n4 (Vc – VK) + GCl (Vc – VCl) Dove V è il potenziale di membrana sopra al potenziale di riposo; VK = Ek-Er; VNa = ENa-Er; VCl = Ecl -Er.

MODELLO DI HARMON Quando si è interessati al comportamento ingresso-uscita di una singola unità neuronica o di una rete di poche unità si utilizzano modelli più semplificati che evidenziano principalmente le proprietà logiche del neurone e le modalità di elaborazione dell’informazione. Il capostipite di questo tipo di modelli è il modello di Harmon. Gli ingressi eccitatori vengono sommati ed integrati. Quando l’uscita dell’integratore supera la soglia viene generato un impulso. L’integratore viene resettato e la soglia innalzata per tutta la durata dell’impulso (refrattarietà assoluta); da questo valore decadrà esponenzialmente al valore normale (refrattarietà relativa). Il valore di soglia è diverso per segnali di ingresso lentamente o rapidamente variabili. Il modello fu realizzato da Harmon circuitalmente. Gli ingressi eccitatori erano 5, gli inibitori 1. Ingressi Eccitatori Ingresso Inibitorio Reset Uscita Integratore Comparatore Monostabile Soglia

MODELLO DI HARMON t V V* t* V Soglia Il modello riproduce adeguatamente alcune caratteristiche relative al comportamento del neurone quali la curva durata-intensità (durata di uno stimolo sopra soglia di determinata ampiezza per produrre un impulso in uscita) e somma temporale di due impulsi (distanza di due impulsi sotto soglia di determinata ampiezza per produrre un impulso in uscita. Inoltre i parametri del modello (ad es. soglia diversa nel caso di ingressi lentamente o rapidamente variabile) possono essere variati facilmente. Curva durata-intensità Lo stimolo di intensità V* deve durare t* per produrre un impulso in uscita. Stimoli di durata inferiore alla linea tratteggiata non producono impulsi in uscita t V t* V Soglia V* Somma temporale di due impulsi. Due impulsi sottosoglia di ampiezza V* debbono distare t* per avere un impulso in uscita. .Al di sopra della soglia è sufficiente un solo impulso

MODELLO DI HARMON Il modello di Harmon, realizzato con circuiti elettrici, non fornisce valori realistici delle tensioni in gioco. Tuttavia i rapporti tra tali valori sono vicini a quelli misurati nel neurone. Alcuni dati caratteristici del circuito sono riportati nella tavola seguente: Vsoglia -3V input impulsivo -1.5V input lentamente variabile Somma temporale t =0.46 1.2ms a seconda configurazione dell’input Ritardo di trasmissione 0.11ms in dipendenza f impulsi in uscita e configurazione input Impulso in uscita Ampiezza -10V Durata 0.81.2ms Refrattarietà assoluta1ms costante tempo 2.7ms Frequenza di emissione 0600 impulsi/s V f Frequenza di emissione degli impulsi in funzione dell’ampiezza di un segnale continuo in ingresso relative a due differenti configurazioni dell’ingresso. __ 3 terminali di ingresso collegati fra loro