Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 6 Metodo del Simplesso Dinamico Esempio: Progetto di Rete ANTONIO SASSANO Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma, 25-11-01

Progetto di rete (semplificato) Lunghezza (es. ritardo di trasferimento) dell’arco luv (3, (1, (2, Costi di realizzazione degli archi cuv 3) 10) 2) 7) 9) 1) 6) s t 1 3 2 4 Grafo G(V,E) DATI å cuv uvÎF Costo totale di un insieme F : c(F) = å luv uvÎF Lunghezza totale di un insieme F : l(F) = TROVARE Insieme di archi F* di lunghezza totale minima che contenga un cammino tra s e t e che abbia un costo totale inferiore a un valore D

Progetto di rete semplificato - Formulazione S = { vettori di incidenza di insiemi di archi s-t connessi che rispettano il vincolo di “budget”} Due componenti che conosciamo: A) s-t connessione B) vincolo di “budget” A) å xe > 1 K taglio s-t 1> xe > 0 e Î E P = eÎK B) å cexe < D eÎE

Progetto di rete semplificato - Formulazione å lexe eÎE eÎK å xe > 1 K taglio s-t 1 > xe > 0 eÎ E xÎ P = å cexe < D eÎE

Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Definizione del problema “core”: (3, (1, (2, 3) 10) 2) 7) 9) 1) 6) s t 1 3 2 4 D=14 å lexe eÎE xs1 + xs2 > 1 xt3 + xt4 > 1 3xs1 + 2xs2 +10x12 + 9x14 +7x23 + x34 +3xt4 + 6xt3 < 14 1 > xe > 0 eÎ E Soluzione ottima: x*s2 =x*t4 = 1 x*s1 = x*12 =x*23 = x*14 =x*34 =x*t3 = 0 z*=3 (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4

Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Oracolo di Separazione: x*s1 +x*12 +x*23 =0 Taglio s-t di peso minimo 2) (2, (1, 3) s t 1 3 2 4 x* vettore delle capacità xs1 +x12 +x23 > 1 Capacità del taglio minimo < 1 Vincolo violato

Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico 1 > xe > 0 eÎ E xs1 + xs2 > 1 xt3 + xt4 > 1 å lexe eÎE 3xs1 + 2xs2 +10x12 + 9x14 +7x23 + x34 +3xt4 + 6xt3 < 14 Nuovo problema (3, (1, (2, 3) 10) 2) 7) 9) 1) 6) s t 1 3 2 4 D=14 xs1 +x12 +x23 > 1 Soluzione ottima: x*s1 =x*23 =x*t4 = 1 x*s2 = x*12 = x*14 =x*34 =x*t3 = 0 z*=4 (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4 7)

Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico Oracolo di Separazione: x*14 +x*34 +x*3t =0 Taglio s-t di peso minimo (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4 x* vettore delle capacità Capacità del taglio minimo < 1 x14 +x34 +x3t > 1 Vincolo violato

Progetto di rete semplificato - Simplesso Dinamico x14 +x34 +x3t > 1 xs1 + xs2 > 1 xt3 + xt4 > 1 å lexe eÎE 3xs1 + 2xs2 +10x12 + 9x14 +7x23 + x34 +3xt4 + 6xt3 < 14 1 > xe > 0 eÎ E (3, (1, (2, 3) 10) 2) 7) 9) 1) 6) s t 1 3 2 4 D=14 xs1 +x12 +x23 > 1 Soluzione ottima: x*s2 =x*23 = 1 x*34 = x*t3 =x*t4 = 1/2 z*=4.5 x*s1 =x*14 =x*12 =0 (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4 7) 1) 6)

Progetto di Rete semplificato: Conclusione (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4 7) 1) 6) Soluzione ottima del rilassamento z*=4.5 (2, (1, 2) 3) s t 1 3 2 4 7) 1) Soluzione intera z*=5 Soluzione ottima