CORSO DI MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI LAUREA IN INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA

MODELLI DI DINAMICA CELLULARE.   Considerando una popolazione di cellule, la velocità di proliferazione dipende da vari fattori, fra questi i più importanti sono il tempo di ciclo, cioè il tempo che una cellula impiega a percorrere il ciclo cellulare e che in genere è una variabile stocastica, la frazione di cellule quiescenti e tutti i fenomeni di perdita cellulare, naturali o dovuti all’azione di farmaci. Tutti questi aspetti sono alla base degli studi di cinetica cellulare che hanno infatti lo scopo di analizzare le caratteristiche del ciclo e la capacità di proliferazione delle popolazioni cellulari. G1 S G2 M Il ciclo cellulare è una sequenza ordinata di eventi che termina con la suddivisione della cellula madre nelle due cellule figlie (mitosi). Il ciclo cellulare si può schematicamente considerare suddiviso in quattro fasi: una fase preparatoria di attesa (G1) in cui si ha la sintesi dell’RNA e delle proteine, la fase di duplicazione del DNA (fase S), una seconda fase di attesa (G2) e la fase di mitosi (M). Le cellule possono anche trovarsi in uno stato quiescente nel quale non si dividono per lunghi periodi pur conservando la capacità di proliferare. Nella modellistica cellulare tale stato è stato considerato in alcuni casi un prolungamento della fase G1, mentre in altri modelli è stato considerato come un vero e proprio stato al di fuori del ciclo.

P(n,t+Dt) = P(n,t)·(1-n·l·Dt )+ P(n-1,t)·(n-1)· l·Dt +o(Dt) MODELLI DI PURA CRESCITA. Nei primi modelli sviluppati si supponeva di osservare la fase della mitosi: si considerava quindi solo l’evoluzione del numero di cellule a partire da una condizione iniziale. A causa della variabilità dei tempi di ciclo il numero di cellule presenti nella popolazione all’istante t è una variabile aleatoria e quindi la sua dinamica può essere descritta in termini della distribuzione {P(n,t);n=0,1,…..} dove P(n,t) rappresenta la probabilità che in t il numero di cellule della popolazione sia pari ad n. Un semplice modello stocastico in cui non viene considerata la perdita cellulare è il processo di pura crescita che si basa sulle seguenti ipotesi: se n è il numero di cellule nella popolazione all’istante t allora detta l·Dt la probabilità che la cellula abbia una suddivisione nell’intervallo Dt e o(Dt) la probabilità che una cellula subisca più di una suddivisione nell’intervallo Dt, allora la probabilità che in Dt la popolazione passi da n-1 cellule a n cellule può essere espressa dall’equazione:  P(n,t+Dt) = P(n,t)·(1-n·l·Dt )+ P(n-1,t)·(n-1)· l·Dt +o(Dt)  Per Dt0 si ottiene quindi la seguente equazione differenziale:  dP(n,t)/dt = l·(n-1)·P(n-1,t) - l·n·P(n,t) n1

P(n,t) = e-lt·(1 - e-lt)(n-1) n1 MODELLI DI PURA CRESCITA. Se in t=0 si ha una sola cellula si ha P(1,0)=1 e P(i,0)=0 per i>1, la soluzione dell’equazione è data da:   P(n,t) = e-lt·(1 - e-lt)(n-1) n1 Il valore atteso di questa distribuzione è dato da N(t)= elt. Tale valore atteso si può considerare soluzione dell’equazione dN(t)/dt=lN(t) con N(0)=1. Tale equazione rappresenta un semplice modello deterministico di dinamica cellulare. La crescita esponenziale per il valore atteso della popolazione rappresenta con buona approssimazione i dati sperimentali in un intervallo significativo della proliferazione di cellule in coltura. Se si indica con pT(t) la densità di probabilità del tempo di ciclo questa può essere ricavata considerando che la probabilità che sia T>t è pari a:  ciò implica che sia: pT(t)=l·e-lt t0 Questa distribuzione di probabilità esponenziale è invece un’approssimazione grossolane delle distribuzioni rilevate sperimentalmente, in cui si osserva un valore modale diverso da zero.

MODELLI DI PURA CRESCITA. Il ciclo cellulare è stato anche rappresentato come un numero finito di eventi aleatori successivi e quindi come il passaggio attraverso una sequenza di k stadi in cui la transizione da uno stadio al successivo avvenga con una probabilità l e in cui l’uscita dall’ultimo stadio corrisponda alla mitosi. Si ha così un processo di pura crescita che può essere rappresentato con un modello a compartimenti. Tale modello fornisce le probabilità relative sia del numero totale di cellule nella popolazione all’istante t, sia la loro distribuzione nei vari stadi. Tuttavia la soluzione dell’equazione stocastica associata a tale modello spesso non è direttamente calcolabile, per cui in generale ci si limita a considerare l’equazione relativa ai valori attesi: dN(t)/dt=A·N(t)  con   A=  e con una condizione iniziale che rappresenta la distribuzione delle cellule nei k compartimenti in t=0. l l l 2l 1 2 N

MODELLI DI PURA CRESCITA. Si può notare che per t  la popolazione cresce esponenzialmente con velocità di crescita pari al massimo autovalore di A uguale a (21/k-1)·l. In questo caso poiché le distribuzioni di probabilità dei tempi di permanenza nei singoli compartimenti sono esponenziali con parametro l, il tempo di ciclo, che è pari alla somma dei tempi di permanenza, seguirà una distribuzione gamma:   con valore atteso pari a k/l che fornisce un’approssimazione migliore delle distribuzioni sperimentali.

RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0 M Q1 Q2 1-b b q 2-q g 1-g Perd La presenza di cellule in una fase quiescente può essere tenuta in conto, in modelli del tipo di quelli già considerati, con l’introduzione di un compartimento rappresentante la fase G0. Un modello di tale tipo è rappresentato in Figura. In questo modello si hanno due punti del ciclo in cui può avvenire la transizione verso la fase quiescente: dopo la mitosi, e dopo il completamento della fase S. In tale modello si assume inoltre che la perdita cellulare si possa avere soltanto dal compartimento quiescente Q1 da cui le cellule possono rientrare nel ciclo oppure andare in un compartimento di cellule perdute. Le cellule possono quindi seguire vari percorsi alternativi (G1SG2M, Q1G1SG2M, etc.) con certe probabilità, tuttavia i meccanismi che sottendono a questi comportamenti non sono rappresentati nel modello. Anche in questo caso la crescita ( o il decremento) asintotico della popolazione è esponenziale con il massimo autovalore della matrice A.

RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0 Un altro modello che tiene conto della fase G0 parte dall’ipotesi che il tempo di ciclo di ogni cellula sia composto da un periodo di attesa di lunghezza temporale variabile da cui si esce con probabilità lA per entrare in un processo di durata pressoché costante che conduce alla mitosi (Vedi Figura). Ciò è suggerito dal fatto che sperimentalmente spesso la variabilità del tempo di ciclo è da attribuire prevalentemente alla fase G1. Le equazioni relative ai valori attesi delle popolazioni nelle fasi A e B del modello sono: A B lA m Perd. Tali equazioni ammettono una soluzione asintotica esponenziale con una velocità di crescita a che è soluzione dell’equazione:

RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0 La funzione di distribuzione del tempo di ciclo ( FT(t)) è, in assenza di perdite cellulari, uguale a zero per tTB e uguale a 1-e-lA (t-TB) per t>TB.. Graficando il ln(1-FT(t)) in funzione del tempo si ottiene curva di Figura che riproduce abbastanza bene l’andamento ottenuto sperimentalmente, tranne che nella zona t=TB che nei dati sperimentali ha un andamento più arrotondato. Supponendo che la fase B, pur avendo uguale durata in cellule sorelle, sia opportunamente distribuita nella popolazione, il modello fornisce una curva con l’arrotondamento mostrato nei dati sperimentali. TB t lA ln(1-FT(t))

VOLUME CELLULARE È stato messo in evidenza che esiste un’interazione tra la crescita della cellula in volume e l’inizio della sintesi del DNA e della mitosi. In particolare si è evidenziato sperimentalmente come cellule grandi alla nascita abbiano mediamente un tempo di ciclo minore e viceversa: ciò in modo da evitare che si generino cellule troppo piccole o troppo grandi all’interno della popolazione. Un primo modello in cui si tiene conto dell’accoppiamento tra crescita in volume e ciclo DNA-divisione è dovuto a Bell e Anderson. In tale modello la popolazione è rappresentata da una funzione n(t,a,V), tale che n(t,a,V)dadV è il numero atteso di cellule che all’istante t hanno età dalla nascita compresa tra a e a+da e volume V compreso tra V e V+dV. Considerando il numero di cellule che hanno età compresa tra a e a+da e volume compreso tra V e V+dV nell’istante t+Dt si ottiene: n(t+Dt,a,V) Da DV=n(t,a-Dt,V) DaDV + F(a,V)n(t,a,V) DtDa+F(a,V+DV)n(t,a,V+DV) DtDa+ - L(a,V)n(t,a,V) DtDaDV dove F(a,V) Dt è la crescita del volume cellulare e L(a,V) Dt è la probabilità di divisione nell’intervallo Dt di una cellula di età a e volume V. Passando al limite per Da0, DV0 e Dt0 si ottiene:   con condizione al contorno Lo studio di quest’equazione è molto complesso e non si conoscono condizioni generali per le funzioni F e L che assicurino una crescita esponenziale asintotica della popolazione.

VOLUME CELLULARE Un modello matematico differente fa riferimento al livello delle proteine (P) e dei ribosomi (R), essendo le prime legate alla crescita in volume e i secondi al ciclo sintesi DNA-volume. Si è ipotizzato che tali variabili obbediscano a una cinetica lineare espressa dalle seguenti equazioni:    Con k1, k2, t1 e t2 : costanti di sintesi e di degradazione di ribosomi e proteine e r: costante caratteristica della cellula che specifica le condizioni per la sintesi dei ribosomi. Se k2·r1> 1/t2 P cresce esponenzialmente da un valore iniziale P0 a un valore 2P0 a cui avviene la divisione cellulare. La durata del ciclo è quindi definita dai parametri biochimici sopra indicati. Si suppone poi che esistano due valori di soglia PS e PM (PM>PS) relativi all’inizio della fase S e della fase M cosicché a seconda dei loro valori rispetto a P0 e della durata della fase S si possono avere differenti lunghezze delle fasi G1 e G2 fino alla scomparsa di una di queste fasi. Ps Pm G1 S G2 M P