1. ( punti 7 ) Siano dati un insieme di localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il costo di afferenza di un cliente ad un impianto è indicato sul corrispondente arco mentre il costo di attivazione è indicato accanto alla localizzazione potenziale. Determinare, utilizzando lalgoritmo di ascesa duale, un lower bound del valore della soluzione ottima (che minimizza la somma dei costi di attivazione ed afferenza), una soluzione euristica e il corrispondente gap. Modelli e Algoritmi della Logistica STUDENTE : Prova Scritta del 15/12/2003 A MATRICOLA: 2. ( punti 5 ) Descrivere e dimostrare la correttezza di un oracolo di separazione per le disequazioni cover di un problema di knapsack. 4. ( punti 4 ) Descrivere la formulazione ottima e loracolo di separazione per il problema del minimo grafo connesso s-t. 3. ( punti 7 ) Applicare poi loracolo di separazione e verificare se il punto (1/2,2/3,2/3,0,0) viola una disequazione associata ad un cover del seguente knapsack (indicando leventuale cover violato): 6. ( punti 3 ) Derivare la formula dellEOQ e Calcolare lEOQ per un problema di scorte con i seguenti parametri: Domanda annuale 30; Costo unitario del bene 1200; MARR= 2% ; Costo fisso = 40 4 A C B D E c b a f e d s /3 1 2/3 1/ /3 0 0 t 5. (punti 4) Applicare loracolo descritto sopra e individuare una disequazione (appartenente alla formulazione ottima) violata dalla soluzione frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni arco è indicato il valore della corrispondente componente della soluzione frazionaria)

1. ( punti 7 ) Siano dati un insieme di localizzazioni potenziali (nodi grandi) ed un insieme di clienti da servire (nodi piccoli). Il costo di afferenza di un cliente ad un impianto è indicato sul corrispondente arco mentre il costo di attivazione è indicato accanto alla localizzazione potenziale. Determinare, utilizzando lalgoritmo di ascesa duale, un lower bound del valore della soluzione ottima (che minimizza la somma dei costi di attivazione ed afferenza), una soluzione euristica e il corrispondente gap. Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 1 ABCDE a 31 b 103 c 31 d 2 3 e 2 33 f 130 SOLUZIONE 1. Definisco i costi (afferenza e attivazione) Costi di afferenza [c] Costi di attivazione [f] 4 A C B D E c b a f e d

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 1 2. Calcolo i vettori e Calcolo V k /|m(k)| 2/1=2 1/1=1 2/1=2 1/1=1 4. Massimo in corrispondenza della riga a. Incremento di V a le u corrispondenti ai minimi della riga a (uno solo!) ABCDE a 31+2 b 103 c 31 d 2 3 e 2 33 f 130 ABCDE a 3 1 b 103 c 31 d 2 3 e 2 33 f 130

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 1 5. Aggiorno i vettori e Aggiorno V k /|m(k)| 0/2=0 1/1=1 2/1=2 1/1=1 7. Massimo in corrispondenza della riga c. Incremento di V c le u corrispondenti ai minimi della riga c (uno solo) ABCDE a 31+2 b 103 c 31 d 2 3 e 2 33 f 130 ABCDE a b 103 c 31+2 d 2 3 e 2 33 f 130

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 1 8. Aggiorno i vettori e Aggiorno V k /|m(k)| 0/2=0 1/1=1 4/2=2 1/1=1 10. Massimo in corrispondenza della riga c. Incremento di V c le u corrispondenti ai minimi della riga c (due) ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f 130 ABCDE a b 103 c 31+2 d 2 3 e 2 33 f 130

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO Aggiorno i vettori e Aggiorno V k /|m(k)| 0/2=0 0/1=0 0/2=0 0/1=0 1/1=1 13. Massimo in corrispondenza della riga f. Incremento di V f le u corrispondenti ai minimi della riga f (uno solo) ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f 130

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO Aggiorno i vettori e Aggiorno V k /|m(k)| 0/2=0 0/1=0 0/2=0 0/1=0 0/2=0 ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f Tutte le righe sono bloccate. Lalgoritmo si arresta. ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f 130+1

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO Calcolo del vettore z (minimi di riga della matrice aggiornata) z LB=15 UB=Z({A,B,C})=12+7= gap=19-15 = 4 Osservazione: A è inutile e può essere eliminato. In tal caso, la soluzione diviene {B,C}, UB=15 e il gap=0 ABCDE a 31+2 b 103 c d 2 3 e 2 33 f ABCDE a 31 b 103 c 31 d 2 3 e 2 33 f 130

Valutazione Esercizio 1: -2 punti: se non viene scritta in modo corretto la matrice dei costi (con al posto giusto) -2 punti: se non viene calcolato lUB come nelle pagine precedenti -2 punti: per errori nellapplicazione dellalgoritmo Ignorata la soluzione euristica calcolata con il greedy o con altro metodo

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 2 2. ( punti 5 ) Descrivere e dimostrare la correttezza di un oracolo di separazione per le disequazioni cover di un problema di knapsack. La dimostrazione è quella riportata nelle pagine 7,8 e 9 della Lezione 9

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 3 max (x* 1 -1) u 1 +(x* 2 -1) u 2 +(x* 3 -1) u 3 + (x* 4 -1) u 4 + (x* 5 -1) u 5 1. Definire il knapsack duale per la separazione approssimata: u 1 + 4u 2 + 6u 3 + u 4 + 4u 5 > 8 max (1/2-1) u 1 +(2/3-1) u 2 +(2/3 -1) u 3 + (0-1) u 4 + (0-1) u 5 u 1 + 4u 2 + 6u 3 + u 4 + 4u 5 > 8 max -1/2u 1 -1/3u 2 -1/3u 3 -u 4 - u 5 min 1/2 u 1 + 1/3u 2 + 1/3u 3 + u 4 +u 5 u 1 + 4u 2 + 6u 3 + u 4 + 4u 5 > 8 Risposta: 3. ( punti 7 ) Applicare poi loracolo di separazione e verificare se il punto (1/2,2/3,2/3,0,0) viola una disequazione associata ad un cover del seguente knapsack (indicando leventuale cover violato):

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 3 2. Ordinamento delle variabili (rapporti valore/ingombro crescenti) u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 1/21/121/1811/4 u3u3 u2u2 u5u5 u1u1 u4u4 1/181/121/41/21 ordinamento 3. Soluzione del knapsack duale u3u3 u2u2 u5u5 u1u1 u4u4 11/ Valore della soluzione (nel problema di massimizzazione!): -1/3-1/6=-1/2>-1 Il vettore dato è esterno alla formulazione cover max -1/2u 1 -1/3u 2 -1/3u 3 -u 4 - u 5 min 1/2 u 1 + 1/3u 2 + 1/3u 3 + u 4 +u 5 u 1 + 4u 2 + 6u 3 + u 4 + 4u 5 > 8

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 3 5. Arrotondamento della soluzione: u3u3 u2u2 u5u5 u1u1 u4u4 11/2000 u° 3 u° 2 u° 5 u° 1 u° Valore della soluzione associata ad u°: (nel problema di massimizzazione!): -1/3-1/3=-2/3>-1 u° è il vettore di incidenza di un cover violato 7. Il cover violato è: x 2 +x 3 < 1 Arrotondamento Valutazione Esercizio 3: -2 punti: se non viene calcolato lordinamento -2 punti: per errori nellapplicazione delloracolo

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 4 4. ( punti 4 ) Descrivere la formulazione ottima e loracolo di separazione per il problema del minimo grafo connesso s-t. x e 1 K taglio s-t x e e E P S = e Calcola il taglio s-t di peso minimo K* Assegna peso c e =x e a ciascun arco e E ^ e Se c e 1 x e x e 1 e e ^ ^ Se c e 1 x e e e ^ x P S ^ ^ ^ x R n ORACOLO DI SEPARAZIONE Risposta:

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 5 5. (punti 4) Applicare loracolo descritto sopra e individuare una disequazione (appartenente alla formulazione ottima) violata dalla soluzione frazionaria mostrata a fianco (accanto ad ogni arco è indicato il valore della corrispondente componente della soluzione frazionaria) t Il taglio ({s,A,B,C,D,E},{F,G,t}) è il taglio minimo (2/3) La disequazione violata è: x CG +x DG +x DF +x EF > 1 Valutazione: punteggio massimo solo a chi ha verificato la minimalità del taglio (applicando Ford e Fulkerson o mostrando un flusso di valore 2/3) Soluzione: Bisogna trovare il taglio di capacità minima nel grafo dato. Le capacità sono le componenti della soluzione frazionaria s /3 1 2/3 1/ /3 0 0 t s /3 1 2/3 1/ /3 0 0 B E D F C G A

Modelli e Algoritmi della Logistica Prova Scritta del 15/12/2003 A SOLUZIONE ESERCIZIO 6 6. ( punti 3 ) Derivare la formula dellEOQ e Calcolare lEOQ per un problema di scorte con i seguenti parametri: Domanda annuale 30; Costo unitario del bene 1200; MARR= 2% ; Costo fisso = === La derivazione è quella descritta nelle pagine 6 e 7 della Lezione LEOQ desiderata è: Valutazione Esercizio 6: -1 punto: se non viene dimostrata la formula in modo chiaro ed esplicativo