Ottimizzazione nella gestione dei progetti Prova scritta del 16/04/2005 COMPITO A Studente: ………………………………… Matricola: ………………………………… 1 2 4 5 3 6 7 ESERCIZIO 1 (5 punti) t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 a2 1 2 3 4 a3 a4 a5 a6 Dati il grafo dei vincoli e il costo relativo ad ogni possibile istante di inizio delle attività: (2 punti) Disegnare il grafo associato al problema di taglio minimo per la minimizzazione dei costi. (3 punti) Date le soluzioni S1={(2,0) (3,2) (4,2) (5,3) (6,2)} S2={(2,0) (3,0) (4,0) (5,2) (6,2)}, determinarne l’ammissibilità utilizzando i corrispondenti tagli e, se ammissibili, determinarne il costo. ESERCIZIO 2 (6 punti) Dato il seguente grafo delle precedenze: 1 2 6 3 4 5 7 FSmin(0) SSmin(1) SSmin(3) SFmin(2) SFmin(3) SFmax(5) FFmax(3) Att 1 2 3 4 5 6 7 d 10 (2 punti) effettuare la trasformazione nel grafo dei vincoli (4 punti) calcolare l’ ESS (Earliest Start Schedule)

(Punti 3). Definire i tagli di Gomory e dimostrarne la validità. ESERCIZIO 3 (12 punti) 2 5 9 1 6 8 3 4 7 Sia dato il seguente grafo di precedenze semplici, ove i due interi associati a ogni nodo rappresentano, rispettivamente, la durata (in alto) e la quantità di risorsa utlizzata (in basso) della corrispondente attività (1 e 9 sono le attività fittizie di inizio e fine progetto). La quantità di risorsa disponibile in ogni periodo è 4. 1. (Punti 2). Dare la definizione generale di chiusura transitiva e di insiemi ammissibili secondo Mingozzi. Applicare le definizioni al grafo in figura. 2. (Punti 4). Scegliendo una coppia di attività opportuna, calcolare il lower bound “Critical Path Rafforzato” relativamente alla coppia scelta. 3. (Punti 6). Calcolare il lower bound “Vertex Packing” (insieme stabile), utilizzando per il calcolo euristico dell’insieme stabile l’algoritmo greedy. (Punti 8). ESERCIZIO 4 (Punti 4). Enunciare e dimostrare il lemma di validità delle disequazioni prodotte per round down. (Punti 3). Definire i tagli di Gomory e dimostrarne la validità. (Punti 1). Mostrare come la disequazione clique x + y + z  1 può essere ottenuta dai vincoli x + y  1, y + z  1, x + z  1

Cammino critico (in rosso) (LBP = 9) ESERCIZIO 3 (12 punti) Cammino critico (in rosso) (LBP = 9) 2 5 9 1 6 8 3 4 7 L’attività 4 e l’attività 5 non possono essere svolte simultaneamente (3+2= 5 > 4). Aggiungo un arco alternativo di estremi 4 e 5. Se oriento l’arco da 5 a 4, e calcolo il nuovo cammino critico ottengo LB = 12 Se oriento l’arco da 4 a 5, e calcolo il nuovo cammino critico ottengo LB = 10 2 5 9 1 6 8 3 4 7 2 5 9 1 6 8 3 4 7 Quindi LBP rafforzato (con un singolo arco) = max{9, min {10,12}} = 10 Si potevano scegliere anche altre coppie (es. 3 e 5, 5 e 7).

Chiusura transitiva esclusi nodi fittizi. ESERCIZIO 3 (12 punti) 3 1 5 2 6 8 4 7 Insiemi ammissibili {2,4}, {2,5}, {2,8}, {2,4,8}, {3,4}, {3,6}, {3,8}, {3,6,8}, {4,6}, {4,8}, {4,6,8}, {5,6}, {6,8}, {7,8} Chiusura transitiva esclusi nodi fittizi. 2 5 9 1 6 8 3 4 7 Grafo delle coppie ammissibili Rapporti Peso/Grado Ordinamento non crescente di rapporti Peso/grado (possibili anche altri ordinamenti):  = {7, 5, 4, 3, 8, 2, 6,} 1 Scelgo 4. 1 1 Scelgo 5. 6 3 2 5 6 4 Scelgo 7. Rimuovo 4 e il suo intorno. Grafo residuo vuoto Rimuovo 5 e il suo intorno Rimuovo 7 e il suo intorno 3 2 4 4 Il bound vale p(S) = 4 + 3 + 5 = 12 S = {4,5,7}