Modellizzazione matematica di un fenomeno naturale Rossella Garuti Le ombre del sole (2) Modellizzazione matematica di un fenomeno naturale Rossella Garuti

Il problema del lampione Il lampione del parcheggio è altissimo, non possiamo misurarlo direttamente. Come fare per sapere quanto è alto?

Caratteristiche del problema problema verbale senza dati numerici confronto oggetto-ombra proiettata referente geometrico

Soluzioni geometriche Parallelismo dei raggi del sole La prof o un altro oggetto non tanto alto, ad esempio i paletti della recinzione si mettono di fianco al lampione, poi si misura l’altezza dell’oggetto e la lunghezza della sua ombra e l’ombra del lampione. Si riportano le misure in scala sul quaderno, si traccia il raggio che parte dalla punta dell’oggetto alla fine della sua ombra. Infine traccio un raggio parallelo a questo che parte dalla fine dell’ombra del lampione e arriva in un punto che sarà l’estremità del lampione. Misuro e poi moltiplico per la scala di riduzione e trovo l’altezza del lampione.

Ampiezza dell’angolo Si misura un oggetto e la sua ombra e si riportano in scala sul foglio, si misura l’angolo e sotto si traccia un altro raggio con la stessa inclinazione. Poi si traccia l’ombra del lampione in scala che parta dalla fine del raggio. Si trova così l’altezza del lampione , si moltiplica per la scala e si trova l’altezza del lampione

strategia additiva pura attenzione al “pezzo in più” dell’ombra Soluzioni aritmetiche: conflitto fra modello additivo e modello moltiplicativo Prendo un bastone e misuro lui e la sua ombra, poi calcolo la differenza fra i due. Infine misuro l’ombra del lampione e a questa sottraggo la differenza di prima strategia additiva pura attenzione al “pezzo in più” dell’ombra modello geometrico della similitudine

ombra più lunga dell’oggetto strategia moltiplicativa pura Misuro il paletto della recinzione e la sua ombra. Poi divido l’ombra per il paletto e trovo quante volte il paletto sta nella sua ombra. Infine misuro l’ombra del lampione e la divido per il risultato di prima e trovo la lunghezza del lampione ombra più lunga dell’oggetto strategia moltiplicativa pura conflitto su “dividere per il numero di volte” modello geometrico della similitudine

unità di misura metro-ombra strategia moltiplicativa Misuro un metro nel palo e lo segno e misuro nell’ombra dove arriva questo segno, trovo così quanto è l’ombra di un metro di lampione. Misuro la lunghezza totale dell’ombra e la divido per quella del metro dell’ombra. Così trovo in veri metri quanto è alto il lampione unità di misura metro-ombra strategia moltiplicativa modello geometrico del parallelismo

Strategia intermedia ponte fra additivo e moltiplicativo Paletto 3 m Ombra paletto 5 m 5-3=2 Ombra lampione 3 volte ombra paletto 5X3 =15 ombra lampione 3X2= 6 15-6=9 lunghezza lampione Classe III media In II proporzioni e similitudini Livello alto Matematica: ottimo

Strategia intermedia modello moltiplicativo connesso a considerazioni di tipo additivo C’è una differenza fra il paletto e la sua ombra e tra il lampione e la sua ombra, ma la differenza non è la stessa perché il lampione è più lungo del paletto. Se voglio rendere uguale il lampione alla sua ombra, devo togliere una maggior differenza rispetto al caso del paletto. Misuro a occhio quante volte il paletto sta nel lampione e tolgo dall’ombra del lampione l’altra differenza, tante volte quante il paletto sta nel lampione. Così l’ombra e il lampione sono uguali e io posso misurare l’ombra del lampione.

Qual è il modello sottostante al problema del lampione? Talete (Mileto 626 ca. - 548 ca. a.C.), Se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, a segmenti uguali sull'una corrispondono segmenti uguali sull'altra (Teorema di Talete)

In terra d’Egitto, Talete sbalordisce tutti, agrimensori, sacerdoti e il re: misura la piramide, la tomba del re. Il successo è pieno e totale e Plutarco così lo riporta: " [Il re] è rimasto singolarmente ben impressionato dal modo in cui hai misurato la piramide, [...], limitandoti a collocare il tuo bastone al limite dell’ombra proiettata dalla piramide stessa; formatisi, al contatto col sole, due triangoli, dimostrasti che la proporzione esistente fra la lunghezza del bastone e l’altezza della piramide era la stessa che intercorreva fra la lunghezza delle due ombre. Ciò nonostante .... ti si muove l’accusa d’avere in odio i re".

Altri problemi 1. La statua greca In un recente scavo archeologico in Calabria sono stati ritrovati i resti di una statua greca, probabilmente di un guerriero. L’unica parte intatta della statua è un piede che misura in lunghezza 76 cm. Vorremmo stabilire quanto era alta approssimativamente questa statua. Conosciamo le misure del David di Michelangelo ( piede 54 cm, altezza 432 cm)

Caratteristiche del problema referente geometrico parti proporzionali di uno stesso oggetto

Il problema dei due chiodi Il disegno rappresenta dall’alto, le ombre prodotte da un chiodo posto in A, lungo 8cm. In B è piantato un chiodo lungo 6 cm. Pensi di poter disegnare con precisione, stabilendo la misura e la posizione, le ombre del chiodo piantato in B?

Caratteristiche del problema dati numerici espliciti rapporto decimale lunghezza incognita minore di quella nota referente geometrico

La strategia building-up Calcolo quante volte il chiodo sta nella sua ombra 19:8= 2,3 un po’ più del doppio Il chiodo in B è 6 e allora 6+6+2= 14 ombra del secondo chiodo confronto ombra-chiodo blocco sul rapporto decimale

Strategia chiodo-chiodo Calcolo quante volte il chiodo piccolo sta nel grande 8:6=1,3 Divido l’ombra questo numero 19: 1,3= Calcolo il rapporto fra i due chiodi 6:8= 0,7 Moltiplico l’ombra per questo rapporto 19X0,7=

Strategie moltiplicative Per ogni problema posto è possibile costruire due tipi di rapporto Invarianti di forma Quando esprimono l’idea di equilibrio interno all’oggetto Invarianti di similitudine Quando esprimono l’idea di trasformazione regolare da un oggetto all’altro

La scelta di una strategia o dell’altra dipende dal CONTESTO e dalla GRANDEZZA RELATIVA degli oggetti Discussione LUOGO: parcheggio del Torrenova vicino ad un alto lampione stradale. Il parcheggio è cementato ed è un giorno pieno di sole. Classe IV° elementare Ins. Come potremmo misurare l’altezza del lampione? Michele: io propongo di dividere per due la misura dell’ombra del lampione che, siccome è più lunga, e si vede, si ottiene circa la misura vera del lampione. Francesco: molto circa, perché l’ombra non mi sembra il doppio del lampione, è solo un po’ più lunga.

Costanza: prendiamo uno di noi e lo misuriamo realmente, poi mettiamo il bambino vicino al lampione e misuriamo la sua ombra. Che proporzione c’è tra il bambino e la sua ombra? Quante volte Alessandro sta nella sua ombra? Allo stesso modo ci dobbiamo chiedere: quante volte il lampione sta nella sua ombra. Praticamente i centimetri dell’ombra diviso i centimetri dell’altezza di Alessandro. Poi i centimetri dell’ombra del lampione diviso il numero ottenuto prima che danno come risultato l’altezza del lampione. Francesco: Il mio ragionamento è lo stesso di Costanza, ma io farei la misura dell’ombra del lampione diviso la misura dell’ombra di Alessandro. Il risultato lo moltiplicherei per l’altezza reale di Alessandro

Costanza: tu in questo modo prendi dei dati diversi Costanza: tu in questo modo prendi dei dati diversi. Io credo che bisogna stare attenti. Non so se è la stessa cosa. L’ombra di Alessandro e l’altezza di Alessandro appartengono ad un unico oggetto come pure l’ombra del lampione e l’altezza del lampione. Non so se si possono mischiare ombra e ombra e oggetto e oggetto. Io credo di poter dire quasi sicuramente che l’altezza di Alessandro sta nella sua ombra come l’altezza del lampione sta nella sua ombra, perché il sole si comporta nello stesso modo: è uno solo! Francesca : Io farei in un altro modo. Misurerei l’ombra dell’oggetto e poi l’oggetto. Poi sottraggo le due misure e vedrei di quanto in più è lunga l’ombra. Lo stesso pezzo si toglie dall’ombra dell’altro oggetto e si vede di quanto è alto. Francesco: Io non sono d’accordo perché non c’è rapporto

si mantiene la semantica del ragionamento proporzionale Sara: Io sì. Fare la differenza si capisce bene e poi si vede di quanto è più lungo Costanza: per me è sbagliato. Sembra che vada bene, ma non ci sono le proporzioni. Francesca prendi l’ombra di una margherita. Fai la differenza e vedrai che sarà di pochissimi centimetri. Se togli quei centimetri all’ombra del lampione ottieni una misura quasi uguale a quella dell’ombra, ma non è certo l’altezza del lampione si mantiene la semantica del ragionamento proporzionale

…non sempre il modello funziona! Francesca ha 1 anno ed è alta 52 cm. Quanto sarà alta fra un anno? Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 7 di più. Fra quanti anni Marco avrà il doppio degli anni di Paolo? Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 8. Quando Paolo avrà il doppio degli anni, quanti ne avrà Marco?