Esercizi x1=m-ts x2=m+ts Uno studente misura il diametro di una popolazione di 100 cellule, trovando come risultato per il valor medio: dmedio = 8.03 ± 0.06 mm Supponendo che la distribuzione dei valori sia di tipo gaussiano, trovare l’intervallo [x1, x2], simmetrico rispetto al valor medio, corrispondente alla probabilità dell’85% che una misura vi cada all’interno. Dalla tabella relativa alla distribuzione gaussiana si trova che l’intervallo dell’85% corrisponde ad un t = 1.44, Gli estremi dell’intervallo si calcolano come: x1=m-ts x2=m+ts Dove il valore vero m corrisponde al valor medio e la larghezza s corrisponde alla deviazione standard Essendo noti il numero di misure e la deviazione standard della media, si ricava la deviazione standard come: E quindi:

Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg La distribuzione del peso degli ovini è centrata sul valore medio 45.5 con deviazione standard pari a: Per il calcolo di N1 si ha a che fare con un intervallo simmetrico [43-48] rispetto al valore medio 45.5. Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana: Vi è quindi una probabilità del 25.86% che le pecore abbiano un peso tra 43 e 48 kg. Essendo le pecore totali 23000 ne consegue che: (segue)

Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg Per il calcolo di N2 si ha a che fare con un intervallo NON simmetrico. Il numero di ovini con peso inferiore a 55 kg si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 55: Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=1.25) = 78.37% e corrisponde all’a probabilità di avere ovini con peso compreso tra 36 e 55 kg Devo tuttavia considerare anche tutti gli ovini con peso inferiore ai 36 kg (coda a sinistra della curva). (segue)

Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N2 dei capi con peso inferiore a 55 kg E’ sufficiente ricordarsi che l’area totale sottesa dalla gaussiana corrisponde al 100% La probabilità di avere un peso inferiore a 55 kg è quindi pari a : Da cui il numero di pecore: :

Esercizi x1=m-t1s x2=m+t2s Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? L’intervallo considerato è un intervallo non simmetrico in cui entrambi gli estremi si trovano a destra del valore centrale della distribuzione: x1=m-t1s x2=m+t2s Sostituendo i valori degli estremi x1 e x2, del valore medio e della deviazione standard si ricavano i due valori di t : Dalla tabella della gaussiana si trova: P(t1)= 25.86 % (figura A) e P(t2)=68.27 % (figura B) (segue)

Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? Guardando le curve la probabilità associata all’intervallo non simmetrico si ricava come:

Esercizi Dalla tabella della gaussiana: P(t1)= 98.27 % P(t2)= 30 % Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: l’intervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. a) La probabilità del 68.27% corrisponde all’intervallo: [m-s; m+s] Quindi: b) L’intervallo è non simmetrico. Calcolo i valori di t relativi ai due estremi: P(t1) P(t2) Dalla tabella della gaussiana: P(t1)= 98.27 % P(t2)= 30 % (segue)

Esercizi Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: l’intervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. P(t2) /2 P(t1) /2 Osservando le aree e sfruttando la simmetria della curva si trova:

Esercizi Dalla tabella della gaussiana: P(t1)= 95.45 % P(t2)= 38.29 % Sia data una distribuzione gaussiana centrata intorno al valore centrale m=18 con larghezza s= 2. Determinare: a) l’intervallo [X1-X2], simmetrico rispetto al valore centrale m, corrispondente ad una probabilità del 95% b) la probabilità P di trovare un valore compreso tra 14 e 17 a) La probabilità del 95% corrisponde all’intervallo: [m-ts; m+ts] con t=1.96 Quindi: b) L’intervallo è non simmetrico. Calcolo i valori di t relativi ai due estremi: Dalla tabella della gaussiana: P(t1)= 95.45 % P(t2)= 38.29 % Osservando le aree e sfruttando la simmetria della curva si trova:

Esercizi Due gruppi di studenti effettuano la misura della densità di un oggetto, trovando rispettivamente i valori 13.7 ± 0.9 g/cm3 e 11300 ± 1300 kg/m3. Si può affermare che i due valori così trovati sono compatibili con un livello di confidenza del 10%? E del 25%? Come prima cosa è necessario uniformare le unità di misura per poter confrontare i valori. Esprimiamo entrambe le densità in g/cm3 Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=87.15% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-87.15%=12.85% E’ quindi corretto affermare che i valori sono compatibili con un livello di confidenza del 10%, mentre non sono compatibili con un CL del 25%

Esercizi Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza di una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secondo 48.6 cm. Sapendo che l’incertezza su ognuna delle due misure può essere stimata pari a 5 mm, dire a quale livello di confidenza le due misure sono compatibili tra loro Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=98.92% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-98.92%=1.08%

Esercizi Miglior stima: Due diversi gruppi di studenti effettuano la medesima misura e ottengo i seguenti risultati: Gruppo A: 151 Gruppo B:173 Si chiede la compatibilità delle due misure (C.L) e il valore della miglior stima con il suo errore, ognuna espressa con il giusto numero di cifre significative. Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=47.13% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-47.13%=52.87% La migliori stima si ottiene calcolando la media pesata tra i due valori: Miglior stima: