Modulo di Laboratorio di Fisica Organizzazione del corso di Fisica e Laboratorio di Fisica AA 2011/2012 Modulo di Fisica Docente E-PA Prof. Paris Matteo 6 CFU Modulo di Laboratorio di Fisica Docente E-PA Prof. Veronese Ivan 3 CFU

Modulo di Laboratorio di Fisica Ivan Veronese Orario di ricevimento: lunedì 14.30-15.30 Dipartimento di Fisica Edificio LITA - 5° piano (sezione di fisica medica) Via Celoria 16, Milano e-mail: ivan.veronese@unimi.it

Modulo di Laboratorio di Fisica Lezioni in Aula (dicembre-gennaio): - Elementi di Statistica Applicata Esperienza di Laboratorio (marzo-maggio, 4 pomeriggi): - Applicazione pratica degli strumenti di teoria degli errori (esperimenti di elettrolisi) Lezioni in Aula (2° semestre): - corrente e circuiti a corrente continua; onde meccaniche e elettromagnetiche; ottica; cenni di fisica moderna

Lezioni in Aula di dicembre-gennaio: Data Ora Aula Ven 16/12/2011 10.30-12.30 202 Merc 21/12/2011 12.30-14.30 Merc 11/1/2012 Ven 13/1/2012 Merc 18/1/2012 Ven 20/1/2012 Merc 25/1/2012 Ven 27/1/2012

Lezioni primo semestre: programma Richiami ai concetti già introdotti nel Modulo di Laboratorio di Metodi Matematici e Statistici (Prof.ssa Elena Villa) Il concetto di errore di una misura Media, deviazione standard e deviazione standard della media Le cifre significative La propagazione degli errori La distribuzione normale (gaussiana) e compatibilità Media pesata Relazioni funzionali (minimi quadrati) ESEMPI ED ESERCIZI INTRODUZIONE ALL’ESPERIENZA DI LABORATORIO

9 Febbraio 2012 21 Febbraio 2012 Ammissione al laboratorio: Iscrizione presso i terminali SIFA COMPITO DI AMMISSIONE AL LABORATORIO: 9 Febbraio 2012 21 Febbraio 2012 (iscrizioni via SIFA – contenitori)

INFORMAZIONI PRATICHE: TESTI CONSIGLIATI: Analisi degli errori sperimentali di laboratorio Autori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDISES Introduzione all’analisi degli errori Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli Principi di fisica Autori: Serway Raymond A. - Jewett John W.; Editore: EDISES CALCOLATRICE SCIENTIFICA

INFORMAZIONI PRATICHE: SITI DI RIFERIMENTO: http://users.unimi.it/veronese/didattica.htm http://ariel.unimi.it

ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE: Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un valore numerico x (con la rispettiva unità di misura) ed un errore (incertezza) dx, che indica il “grado di confidenza” che abbiamo sul risultato trovato. Scriveremo quindi il risultato come: x± dx La procedura per stimare dx dipende da come si è ricavato/misurato x. L’incertezza di una misura si può esprimere anche in termini di: errore relativo: errore percentuale:

ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE: Esempi: Diametro di una cellula: (15±3) mm Errore relativo: 3/15 =0.2 (senza unità di misura) Errore percentuale: 100 * 3/15= 20% (senza unità di misura) Temperatura corporea: (36.4±0.4) °C Errore relativo: 0.4/36.4 ≈ 0.01 (senza unità di misura) Errore percentuale: 100 * 0.4/36.4 ≈ 1% (senza unità di misura) Massa di una sfera: (400±4) g Errore relativo: Errore percentuale: 4/400=0.01 1%

NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!! Un’automobile da corsa viaggia alla velocità di 200 km/h. Se tale velocità è misurata con un errore del 2%, dire quale è l’errore assoluto sulla velocità. velocità: 200± ?? km/h velocità: 200± 0.02 km/h NO !! velocità: 200± 4 km/h SI !!

NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!! Si misura la temperatura di un forno e si trova T=150°C. Se tale temperatura è misurata con un errore relativo di 0.04 dire quale è l’errore assoluto sulla temperatura. temperatura: 150± ?? °C temperatura: 150± 0.04 °C NO !! temperatura: 150± 6 °C SI !!

CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI: ERRORI STATISTICI (o CASUALI) ERRORI SISTEMATICI Sono gli errori che modificano il risultato della misura sistematicamente in una direzione. Possono derivare da una cattiva taratura dello strumento, o dall’effetto di qualche variabile esterna (tipo temperatura, pressione, condizione di utilizzo dello strumento). Sono gli errori inevitabili nelle misure, effetto di fluttuazioni casuali che determinano una dispersione simmetrica del valore misurato attorno al valore vero. E’ ciò di cui ci occuperemo. Dagli errori casuali dipende la PRECISIONE della misura Dagli errori sistematici dipende la ACCURATEZZA della misura

PRECISIONE E ACCURATEZZA: Dati poco dispersi e simmetrici rispetto al valore vero MISURA PRECISA ED ACCURATA Dati poco dispersi ma “lontani” rispetto al valore vero MISURA PRECISA MA NON ACCURATA Dati molto “sparpagliati” ma in modo simmetrico rispetto al valore vero Valore vero MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA Singole misure effettuate

PRECISIONE E ACCURATEZZA: x x x x x x x x x x x x x x x MISURA PRECISA MA NON ACCURATA MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA MISURA PRECISA ED ACCURATA

PRECISIONE E ACCURATEZZA: Misura della costante di Faraday da parte di quattro gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e accurato Esempio: Valore vero: F=96485 C/mol Gruppo Valore misurato 1 130000±4000 2 96000±9000 3 96500±300 4 125800±200 Il gruppo 3 è l’unico ad essere sia accurato che preciso, il gruppo 2 è accurato ma poco preciso, il gruppo 1 invece non è né accurato né preciso. Infine il gruppo 4 è preciso ma non accurato.

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Spesso la misura di una grandezza viene ripetuta più volte, ottenendo valori anche tra loro diversi. N misure che danno i seguenti valori: x1, x2, x3, ….xN La grandezza che meglio esprime il risultato trovato è la MEDIA ARITMETICA: Media aritmetica: Otto misure di un intervallo di tempo. Risultati: 3.1 s ; 3.0 s; 2.8 s; 3.1 s; 2.7 s; 3.2 s; 2.8 s; 2.9 s Esempio:

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione sulla precisione della misura. Tale grandezza è la DEVIAZIONE STANDARD: Deviazione standard: Esempio:

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA La deviazione standard fornisce l’incertezza associata alla singola misura xi. Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l’incertezza sul risultato finale (cioè sulla MEDIA). L’incertezza associata alla media è la DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA: Deviazione standard della media: Esempio:

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Esempio: Dodici misure di una grandezza. Risultati: 3.0; 3.2; 2.9; 3.1; 3.3; 2.9; 3.0; 3.0; 3.1; 3.1; 3.0; 3.0 Attenzione: Facendo i conti con la calcolatrice evitare le approssimazioni intermedie che possono falsare il risultato finale.

SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA CALCOLATRICE: La quasi totalità delle calcolatrici scientifiche (ora economiche) ha già impostate delle funzioni che permettono il calcolo della media e della deviazione standard una volta introdotti i singoli valori. In genere non effettuano il calcolo della deviazione standard della media ma, una volta ottenuta la deviazione standard questo calcolo è banale (basta dividere per la radice quadrata del numero di misure) Si tratta solo di imparare ad usarle bene, possibilmente studiando il libretto delle istruzioni. Così facendo si riducono i tempi per i calcoli e la correttezza del risultato è assai più probabile! Anche comuni software (es. Excell) permettono facilmente questi calcoli

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore. Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso. Esempio: Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato: 12459 ± 6740 Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000. Presenteremo allora il risultato nella forma: 12000 ± 7000

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE Esempi: 112859 ± 6240 113000 ± 6000 731 ± 23 730 ± 20 1096 ± 364 1100 ± 400 7.853 ± 0.482 7.9 ± 0.5 2.95 ± 0.06268 2.95 ± 0.06 3.05 ± 0.034 3.05 ± 0.03 3.05 ± 0.0034 3.050 ± 0.003 (facendo i pignoli …)

Esercizio Si misura la lunghezza d’onda  di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si trovano i seguenti valori, espressi in nanometri: 36400 36300 36400 36200 36100 36710 Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato. i xi 1 36400 2336.079 2 36300 2669.479 3 4 36200 23002.879 5 36100 63336.279 6 36710 128402.539 218110 222083.334 Applicando le formule della media, troviamo: La deviazione standard, che fornisce la stima della precisione, si ricava come: L’errore sulla media : La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è: 36350 ± 90 nanometri

Esercizio Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure: A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8 B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35 Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso. La precisione è data dalla deviazione standard: Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a: Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

Esercizio ATTENZIONE ALLE APPROSSIMAZIONI: Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure: A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8 B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35 Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso. ATTENZIONE ALLE APPROSSIMAZIONI: se avessimo calcolato N’ utilizzando come precisioni 0.3 e 0.1 (cioè la rappresentazione delle precisioni SA e SB con le corrette cifre significative avremmo trovato un numero N’ maggiore o uguale a 72! La precisione è data dalla deviazione standard: Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a: Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:

RIASSUMENDO Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA, a cui è associato come errore la DEVIAZIONE STANDARD della MEDIA. L’errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima della PRECISIONE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIONE STANDARD E’ importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di CIFRE SIGNIFICATIVE Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli, altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è importante sapere usare bene la calcolatrice

Esercizio Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative 96456.87 ± 503.02 0.457 ± 0.073 23.11 ± 2.3 0.00459 ±0.00077 4.15 ± 0.0482 1304 ± 38 44.568 ± 0.022

Esercizio Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative 96456.87 ± 503.02 96500 ± 500 0.457 ± 0.073 0.46 ± 0.07 23.11 ± 2.3 23 ± 2 0.00459 ±0.00077 0.0046 ± 0.0008 4.15 ± 0.0482 4.15 ± 0.05 1304 ± 38 1300 ± 40 44.568 ± 0.022 44.57 ± 0.02

Esercizio Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura 6 volte trovando i seguenti valori: 7.6 s 7.9 s 8.1 s 7.8 s 8.3 s 7.9 s Dopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per ottenere un errore 3 volte più piccolo. Applicando le formule della media, troviamo: i xi 1 7.6 0.1111 2 7.9 0.0011 3 8.1 0.0278 4 7.8 0.0178 5 8.3 0.1344 6 47.6 0.2933 La deviazione standard è: La deviazione standard della media è: 7.9 ± 0.1 s La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è: Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior numero di misure N’ tale per cui: