Esercizio: rappresentare con una rete di Petri il seguente protocollo di comunicazione: ciascun utente in modo ciclico trasferisce dati e/o passa la comunicazione all’utente successivo 08.03.04 Mostrare libro Anna

Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out Token ring attivo non attivo attivo non attivo non trasf. dati non trasf. dati trasferisce dati trasferisce dati Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out token token

Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out Token ring utente utente attivo Non attivo attivo Non attivo Non trasf. dati Non trasf. dati Trasferisce dati Trasferisce dati Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out token token

Esercizio: rappresentare un senso unico alternato costituito da due tratte stradali senza visibilità reciproca (reciprocamente dietro un angolo); introdurre uno o più tipi di controllo con semafori ai due ingressi e rappresentarli Mostrare libro Anna

In A A libera Fine A Mostrare libro Anna In B B libera

In A A libera Fine A controllo Mostrare libro Anna In B B libera

Mostrare libro Anna Interruzione coda 1 Coda 1 Controllo: verde per 1 1 entra: temporizz. 2 nella tratta A+B 1 nella tratta A+B Mostrare libro Anna Controllo: verde per 2 Coda 2

08.03.04 Interruzione coda 1 Coda 1 1 entra: temporizz. Controllo: verde per 1 rosso per 2 Tau + e 1 nella tratta A+B Controllo >>Tau rosso per 1 rosso per 2 2 nella tratta A+B 08.03.04 Tau: percorrenza della tratta Coda 2

2.5 Invarianti di posto, di transizione; grafi di sincronizzazione; controllo supervisore di una macchina: invarianti 10.03.04 Mostrare libro Anna

EQUAZIONE DI TRANSIZIONE p2 p1 Sequenza di scatti s : t t 12 1 2 t1 Conteggio di scatti s = e + e 12 1 2 p3 t2 M = M + C e = M + C s p5 2 1 2 12 p4 M = M + C s 2 12 t3 1 -1 p6 1 M = + = M +C e scatto di t : 1 2 2 1 2

Struttura delle Reti di Petri P-INVARIANTI Un invariante di posto è un vettore riga definito positivo* che annulla la matrice di incidenza X  0: XC = 0 XMi = XM0 XMi= XM0 + XC s * con almeno una componente positiva e le altre positive o nulle

INVARIANTI DI POSTO 01110000 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 10100000 00000110 1 -1 1 -1 -1 1 10100000 00000110 11210110

INVARIANTI DI POSTO Insieme di posti supporto di X: Px  P Invariante ( [01110 0] ) Insieme di posti supporto di X: Px  P Px Insieme dei posti le cui corrispondenti componenti in X sono strettamente positive pi  Px  x(i)>0 p2 p1 t1 p3 t2 p5 p4 t3 p6

P-INVARIANTI N’ = (Px, T’, A’) I p-invarianti sono caratterizzati graficamente da una sottorete N’ Invariante ( [01110 0] ) p2 p1 N’ = (Px, T’, A’) t1 p3 - T’ transizioni collegate con posti di Px - A’  A = (P X T)  (T X P) - A’ = (Px X T’)  (T’ X Px) t2 p5 p4 t3 p6

P-INVARIANTI Interpretazione delle sottoreti “supporto” p. att. lav. condizione della macchina: disp. p. in lav. op. pezzo in ingr. p.att.usc. far vedere il significato fisico del supporto che indica un ciclo di attività dire che non sempre un ciclo è supporto di un invariante, come nei grafi di sincronizzazione forcella libera da p. in usc. scambio p. in usc. pezzi fuori

 righe nulla P-INVARIANTI p2 p1 t1 p3 t2 p5 p4 t3 011100 1 p6 -1 1 -1 p6 101000 000011

P-INVARIANTI minimali* *non esiste un invariante con almeno una componente più piccola t5 t6 t1 t4 t2 t7 Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out lav t3 t8 In questo grafo ogni ciclo è supporto (ovvero lo sono i suoi posti) di un p-invariante minimale*

Ogni riga (posto) ha un solo 1 (t-in) e un solo -1 (t-out) GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni posto ha solo una transizione di ingresso e una di uscita t4 lav t1 t2 t3 t5 t6 t8 t7 Ogni riga (posto) ha un solo 1 (t-in) e un solo -1 (t-out) solo un'altra riga dei posti del ciclo ha -1 nella t-in della prima e, rispettivamente, 1 nella t-out della stessa di conseguenza la somma delle righe dei posti del ciclo è nulla e quindi il ciclo è suppoto di un invariante l'invariante è minimale perchè l'eliminazione di una o più righe rende la somma non nulla In tali grafi i posti di ogni ciclo sono supporto di un p-invariante minimale

Ogni riga (posto) ha un solo 1 (t-in) e un solo -1 (t-out) GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale Ogni riga (posto p*) ha un solo 1 (nella colonna t*-in) e un solo -1 (nella t*-out) Nel ciclo, p* ha un solo predecessore, la relativa riga ha -1 nella t*-in, e un solo successore e la relativa riga ha 1 nella t*-out Ogni riga (posto) ha un solo 1 (t-in) e un solo -1 (t-out) solo un'altra riga dei posti del ciclo ha -1 nella t-in della prima e, rispettivamente, 1 nella t-out della stessa di conseguenza la somma delle righe dei posti del ciclo è nulla e quindi il ciclo è suppoto di un invariante l'invariante è minimale perchè l'eliminazione di una o più righe rende la somma non nulla

GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale Di conseguenza la somma delle righe dei posti del ciclo è nulla e quindi il ciclo è supporto di un invariante L'invariante è minimale, infatti l’esclusione di una o più righe rende la somma non nulla

GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale  righe nulla t1 p3 t2 0111 1 -1 p4 t3 1010

(diventa un grafo di sincronizzazione) Interfaccia con il sistema di trasporto 01110000 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 condizione della 10100000 macchina p2 p1 p. . lav. att 00000110 p3 p5 p. in lav. 11210110 op. p4 forcella p. att . usc . pezzo in libera scambio p6 p7 p.in usc . ingr . Segue formula per la vivezza pezzi fuori p8 Senza p5 e p8 è conservativa (diventa un grafo di sincronizzazione)

P-INVARIANTI Gli invarianti di due sottoreti con posti in comune (ma non transizioni) sono la traccia degli invarianti della rete globale e viceversa questi sono la composizione di quelli -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 C X C’ X’ X” C” 3 1 1 2 3 4 2

Gli invarianti minimali formano una base per tutti gli invarianti Una rete è ricoperta da p-invarianti quando ogni posto p  P appartiene ad almeno un invariante minimale se una rete è ricoperta da p-invarianti esiste un p-invariante globale per cui Px = P 3 1 1 1 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 1 1 2 3 4 2 N.B.: un solo invariante, minimale e globale, due cicli (non è un grafo di sincronizzazione)

Grafi di sincronizzazione Proprietà dei Grafi di sincronizzazione Un grafo di sincronizzazione marcato è vivo se ogni ciclo contiene almeno una marca

P-invarianti e limitatezza lav t3 Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out t8 Se la rete è ricoperta di p-invarianti (minimali) è limitata

P-invarianti e conservatività lav t1 t2 t3 t5 t6 t8 t7 W=2 Se esiste un invariante globale° la rete è conservativa per ogni marcatura iniziale con lo stesso peso * w (e viceversa?) E’ vero il viceversa. Infatti esiste sempre una marcatura iniziale che abilita la generica trans. K, di conseguenza w annulla ogni colonna di C: wC=0, cioè w è un invariante Far notare che non è di sincr. con i posti In e Out °con x>0: xMi = xM0 + xCs = xM0 per ogni possibile M0 e s *in questo caso la rete si dice strutturalmente conservativa

Una rete è ricoperta da p-invarianti quando ogni posto p  P appartiene ad almeno un invariante minimale 1 1 -1 0 0 -1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 1 2 4 2 3 4 3 Non è ricoperta 5 E’ un grafo di sincronizzazione: i cicli sono supporto di invarianti

Serve a determinare gli Algoritmo di Alaiwan-Toudic Serve a determinare gli invarianti minimali Con trasformazioni matriciali si riducono progressivamente le dimensioni fino a trovare le soluzioni intere positive minime di XC=0

Controllo con invarianti Costruendo un invariante con un posto del controllo si può imporre il valore della somma delle marche in assegnati posti del processo controllato Ciò Ciò può corrispondere a specifiche significative per il processo

SPECIFICHE PER IL PROCESSO: Controllo con invarianti SPECIFICHE PER IL PROCESSO: LcMp  B con Lc e B assegnati Cp : matr. inc. del processo Mp0 : stato iniziale del processo Cc : matr. inc. del controllo Mc0 : stato iniziale del controllo Lc : matrice delle specifiche B : limiti specificati Cc := - Lc Cp => le righe di [ Lc Ic ] annullano la matrice di incidenza a ciclo chiuso Cp Cc sono cioè degli invarianti del sistema processo-controllo, ovvero: LcMp0 + Mc0 = LcMp + Mc Quindi se Mc0 := B - LcMp0 LcMp = B - Mc  B B = LcMp + Mc

Controllo con invarianti St.2 St.3 St.2 St.3 St.1 St.1 St.4 St.5 St.4 St.5 GATTO TOPO

Controllo con invarianti St.2 St.3 St.2 St.3 St.1 St.1 St.4 St.5 St.4 St.5 GATTO TOPO

-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 Y  0: C Y = 0 T-INVARIANTI Se una sequenza s riinizializza, il suo conteggio di scatti s è un t-invariante: Mi=Mi+ C s= Mi 3 1 1 2 3 4 2 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 1 1 1 Y  0: C Y = 0

T-INVARIANTI 1 2 3 4 dato un t-invariante di 0 e 1, il suo supporto dà una sequenza che, se è ammissibile, riinizializza -1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1 1 1

 colonne nulla T-INVARIANTI Invariante: 111 p1 p2 t1 p3 t2 1 -1 p4 t3 1 -1 t2 p4 10.03.04 Segue formula per la vivezza t3

MACCHINE SMT Magazzino Magazzino componenti utensili NORD SUD scheda Archetti, Sciomachen: RAPPRESENTAZIONE ED ANALISI, CON RETI DI PETRI, DI SISTEMI DI LAVORAZIONE - 1989 Consorzio Autofaber, Milano Magazzino componenti Magazzino utensili NORD testa nord testa sud braccio scheda SUD

MACCHINE SMT La macchina può funzionare seguendo cinque differenti schemi operativi o moduli: - modulo A (“tool change & pick &place”): in cui una testa opera il fissaggio di un componente, mentre l’altra cambia attrezzo prima di prelevare il componente successivo

- modulo B (“tool change & pick”): in cui una testa cambia attrezzo e preleva, mentre l’altra resta ferma - modulo C (“pick & place”): in cui le operazioni di fissaggio e di prelievo di un componente sono svolte concorrentemente dalle due teste

- modulo D (“pick”): in cui viene affettuato un prelievo di un componente da una delle due teste, mentre l’altra è ferma - modulo E (“place”): in cui viene affettuato solamente un fissaggio di un componente da una delle due teste, mentre l’altra è ferma

pick nord place sud NFM NHM B M scheda AMN 1 3 7 5 testa nord braccio testa sud braccio 1 3 7 5

pick nord place (sud) PKN scheda NFM NHM AMN B M 17 13 11 9 1 3 7 5 2 testa nord braccio scheda testa sud 13 11 9 NFM NHM AMN 1 B M 3 7 5 2

BM: movimenti della scheda AMN: movimenti del braccio da sud a nord NFM: movimenti del magazzino nord NHM: movimenti di allineamento della testa nord per prelievo

AMS: movimenti del braccio da nord a sud SFM: movimenti del magazzino sud SHM: movimenti di allineamento della testa sud per prelievo

PLN PKN scheda NFM NHM AMN SHT B M 4 6 P&P nord 23 25 4 6 21 17 19 13 4 6 P&P nord 23 25 4 6 PLN 21 PKN 17 scheda 19 13 11 9 Calcolare e mostrare il tempo di ciclo NFM NHM AMN SHT 15 1 7 5 3 B M 2

NHT: attività di preparazione della testa nord per fissaggio SHT: attività di preparazione della testa sud per fissaggio

SMT P&P nord P&P sud 23 25 PLN PKN 21 17 19 13 11 9 NFM NHM AMN SHT 15 B M 2 1 8 6 4 16 SFM SHM AMS NHT 12.03.04 12 14 10 20 P&P sud 18 22 PKS PLS 24 26

Un invariante di posto 4 23 PKN AMS 10 17 18 9 15.03.04 PKS AMN 3 24

Tutta la rete P&P è il supporto di un invariante di transizione minimale: YT = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Infatti la transizione BM deve scattare due volte e le altre 18 una sola per tornare alla condizione iniziale

PLN PKN scheda NFM NHM AMN SHT B M P&P nord 23 25 4 6 21 17 19 13 11 9 Calcolare e mostrare il tempo di ciclo NFM NHM AMN SHT 15 3 1 7 5 B M 2

d e a b c CR NFM S AS CS S AS S AS PKN PLN NTC TN SHT N A M B M AS AR BR BS

a b d c e d e c a b CR S AS NFM S AS CS PKN S AS NTC PLN TN SHT N A M AR B M BR BS d e S c a b 15.03.04 NHT TS PLS PKS STC N AS CS N AS SFM CR