Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001 Alberi Rosso-Neri Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001

Alberi Binari di Ricerca Gli alberi di ricerca binari consentono l’individuazione di un elemento al proprio interno in un tempo mediamente proporzionale all’altezza dell’albero considerato Costruiamo un albero a partire dalla sequenza: 4, 2, 6, 1, 3, 5, 7 3 = O(log(n)) 4 2 6 1 3 5 7

Alberi Binari di Ricerca Inseriamo gli stessi elementi con un diverso ordine: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4 5 6 1 2 3 7 7 = O(n)

Alberi Rosso-Neri Gli alberi Rosso-Neri sono alberi binari di ricerca estesi Ciascun nodo di tali alberi contiene un campo addizionale che riporta il suo colore Le operazioni di inserimento e cancellazione vengono opportunamente integrate in modo tale da rendere l’albero binario bilanciato

Un esempio di albero Rosso-Nero

Caratterizzazione La caratterizzazione degli alberi Rosso-Neri avviene attraverso la formulazione di quattro proprietà vincolanti

Proprietà n. 1 Ogni nodo dell’albero è rosso o nero 46 26 62 21 31 51 85

Proprietà n. 2 Ogni foglia dell’albero (NIL) è nera 52 45 NIL NIL NIL

Proprietà n.3 Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri 42 12 78

Proprietà n.4 Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che raggiungono una foglia contengono lo stesso numero di nodi neri 65 42 73 32 51 NIL 26

Proprietà Ogni nodo è rosso o nero Ogni foglia (NIL) è nera Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che raggiungono una foglia contengono lo stesso numero di nodi neri

Osservazione Proviamo a costruire un albero Rosso-Nero sbilanciato… 1 4 5 6 1 2 3 NIL

Osservazione 1 NIL 2 NIL 3 NIL 4 NIL 5 NIL 6 NIL NIL

Altezza-nero Definiamo altezza-nero di un nodo x (black-height(x)) il numero di nodi neri che si incontrano in un qualsiasi cammino discendente da x verso una foglia Definiamo l’altezza-nero di un albero Rosso-Nero come l’altezza-nero della sua radice

Altezza-nero black-height(32) = 2 black-height(42) = 2 black-height(T) 65 42 73 32 51 NIL 26 black-height(42) = 2 black-height(T) = black-height(65) = 3

Lemma 1 Un albero Rosso-Nero con n nodi interni ha altezza al più 2lg(n+1)

Lemma 2 Dato un nodo x appartenente ad un albero Rosso-Nero, il sottoalbero ivi radicato contiene almeno 2bh(x)-1 nodi interni

Dimostrazione Lemma 2 Dimostriamo il Lemma 2 per induzione sull’altezza del nodo x. Se l’altezza di x è 0, x è una foglia… questo implica che Il sottoalbero radicato in x ha 0 = 20-1 nodi interni NIL

Dimostrazione Lemma 2 Consideriamo un nodo x che ha altezza > 0, esso avrà quindi due figli… Ciascuno dei due figli di x avrà altezza bh(x) oppure bh(x)-1. 6 8 2 6 2 8

Dimostrazione Lemma 2 Per l’ipotesi induttiva, poiché l’altezza dei figli di x è inferiore all’altezza di x possiamo affermare che ciascun figlio ha almeno 2bh(x)-1-1 nodi interni Quindi, il sottoalbero radicato in x ha almeno (2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 nodi interni (2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 = 2bh(x)-1 + 2bh(x)-1 –1 = 2*2bh(x)-1 – 1 = 2bh(x) –1

Dimostrazione Lemma 1 Un albero Rosso-Nero con n nodi interni ha altezza al più 2lg(n+1) Dim. Sia h l’altezza dell’albero considerato. La proprietà 3 degli alberi Rosso-Neri impone che almeno la metà dei nodi che separano la radice dalle foglie siano neri. Questo implica che l’altezza-nero dell’albero è perlomeno h/2.

Dimostrazione Lemma 1 Dall’applicazione del Lemma 2 possiamo affermare che il numero di nodi interni n è maggiore o uguale di 2h/2 –1 n 2h/2 –1 n +1 2h/2 log(n+1) h/2 h 2lg(n+1)

Alberi Rosso-Neri Il mantenimento delle proprietà caratterizzanti gli alberi Rosso-Neri deve essere garantito in corrispondenza delle comuni operazioni che vanno a modificare la struttura dell’albero stesso Le operazioni di inserimento e cancellazione già viste per gli alberi binari di ricerca vengono mantenute ed integrate con una successiva operazione di ribilanciamento

Rotazioni Ai fini dell’implementazione delle procedure di ribilanciamento si rivela utile l’introduzione delle operazioni di left-rotation (rotazione sinistra) e right-rotation (rotazione destra) y x b a c Right-Rotate(T,y) Left-Rotate(T,x)

Rotazione sinistra b z y x a c

Left-Rotate Left-Rotate(T,x) Yright[x] right[x] left[y] b z y x a c Left-Rotate(T,x) Yright[x] right[x] left[y] If left[y]  NIL then p[left[y]]  x p[y]p[x] If p[x] = NIL then root[T]  y else if x = left[p[x]] then left[p[x]]  y else right[p[x]]  y left[y]  x p[x]  y

Inserimento L’algoritmo di inserimento di un nodo x in un albero Rosso-Nero: Inserisce il nuovo nodo nell’albero secondo il tradizionale algoritmo di inserimento per alberi binari di ricerca Verifica se l’albero risultante viola le proprietà degli alberi Rosso-Neri In caso di violazione, si risale l’albero sino alla radice operando opportunamente rotazioni e cambiamenti di colore

Inserimento L’algoritmo di inserimento che presenteremo distingue tre possibili casi di intervento per ripristinare le proprietà degli alberi Rosso-Neri più altri tre simmetrici

RB-Insert(T,x) RB-Insert(T,x) Tree-Insert(T,x) color[x] RED While x  root[T] and color[p[x]] = RED do if p[x] = left[p[p[x]]] then y  right[p[p[x]]] if color[y] = RED then color[p[x]] = BLACK color[y] = BLACK color[p[p[x]]] = RED x p[p[x]] …

RB-Insert(T,x) …. else if x = right[p[x]] then x  p[x] Left-Rotate(T,x) color[p[x]] = BLACK color[p[p[x]]] = RED Right-Rotate(T,p[p[x]]) else Color[root[T]]  BLACK

Un esempio 1/3 Inseriamo nell’albero corrente l’elemento x = 24 65 42 73 32 51 NIL 26 NIL NIL NIL NIL NIL

Un esempio 2/3 Ci troviamo nel terzo caso della procedura di ribilanciamento 65 42 73 32 51 NIL p[p[x]] p[x] 26 NIL NIL NIL x 24 NIL NIL NIL

Un esempio 3/3 65 42 73 32 51 NIL 26 24 x

Cancellazione L’algoritmo di cancellazione di un nodo x da un albero Rosso-Nero opera secondo la stessa filosofia dell’algoritmo di inserimento: Cancella il nodo dall’albero secondo il tradizionale algoritmo di cancellazione per alberi binari di ricerca Verifica se l’albero risultante viola le proprietà degli alberi Rosso-Neri In caso di violazione, si risale l’albero sino alla radice operando opportunamente rotazioni e cambiamenti di colore

Cancellazione L’algoritmo di cancellazione prevede quattro possibili casi di intervento più altri quattro simmetrici La complessità di tale algoritmo è di ordine O(h)

Un esempio 65 26 73 24 42 NIL NIL x 32 51 NIL NIL NIL NIL NIL NIL