CAPITOLO 1: FENOMENI OSCILLATORI Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli

Fenomeni oscillatori Introduzione I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV. La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione matematica che descrive le loro oscillazioni. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 1

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice. Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico semplice, : Ovvero: ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s]. la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell’ oscillatore armonico semplice in funzione del tempo. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 2

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è: dove: A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza A e la costante di fase dell’oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t0 : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 3

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T A La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: T Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo): Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 4

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice La posizione del corpo è: A Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità: ωA Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo: ω2A Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 5

Proprietà dell’equazione differenziale Oscillazioni meccaniche Proprietà dell’equazione differenziale L’equazione differenziale dell’oscillatore armonico semplice: è un’equazione del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea PROPRIETA’ se x(t) è soluzione dell’equazione, lo è anche ax(t) con a costante; se y(t) è un’altra soluzione, anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione; cioè la combinazione lineare di più soluzioni è ancora soluzione dell’equazione. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 6

Proprietà dell’equazione differenziale Oscillazioni meccaniche Proprietà dell’equazione differenziale Nel caso più generale si ottiene una equazione non omogenea: dove f(t) è una generica funzione del tempo che in particolare può essere costante. Si dimostra che in questo caso la soluzione più generale è: Con soluzione particolare dell’equazione non omogenea e soluzione della omogenea associata Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 7

Proprietà dell’equazione differenziale Oscillazioni meccaniche Proprietà dell’equazione differenziale Un classico esempio è quello di un punto materiale m appeso a una molla di costante elastica k . L’equazione del moto è: ovvero, posto si ha : E’ una equazione non omogenea, con il termine noto costante. Una soluzione particolare è = mg/k, per cui la soluzione generale è: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 8

Proprietà dell’equazione differenziale Oscillazioni meccaniche Proprietà dell’equazione differenziale Conseguenza della linearità dell’equazione che descrive il moto armonico è il principio di sovrapposizione degli effetti: Se in corrispondenza di si ha come soluzione e in corrispondenza di si ha allora se il termine noto è + la soluzione è + : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 9

senθ ≈ θ Un’applicazione del moto armonico è il Pendolo Semplice : Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice Un’applicazione del moto armonico è il Pendolo Semplice : La forza di richiamo che tende a riportare la particella verso la posizione di equilibrio è la componente tangen- ziale della forza peso mg : se l’angolo θ è piccolo, allora : senθ ≈ θ Quindi la forza di richiamo assume la seguente forma: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 10

L’equazione del moto si ricava applicando la legge: Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice L’equazione del moto si ricava applicando la legge: τ = momento prodotto da una forza α = accelerazione angolare I = momento di inerzia del pendolo Il momento della forza di richiamo è : Con L = braccio rispetto al perno della forza di richiamo e I = momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 11

L’ equazione del moto diventa : Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice L’ equazione del moto diventa : Considerando senθ ≈ θ si ha : Assumendo l’equazione assume la seguente forma : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 12

Una soluzione dell’ equazione del moto del pendolo semplice è: Oscillazioni meccaniche Pendolo semplice Una soluzione dell’ equazione del moto del pendolo semplice è: dove: A è lo spostamento angolare massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza A e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 13

Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T Oscillazioni meccaniche Pendolo semplice Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T A La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: T Assumendo per il pendolo , le espressioni diventano le seguenti: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 14

Analogia Oscillatore Armonico - Pendolo semplice Oscillazioni meccaniche Analogia Oscillatore Armonico - Pendolo semplice È evidente l’analogia tra le espressioni matematiche di questi due sistemi meccanici Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 15

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia meccanica totale si conserva, cioè resta costante durante il moto. L’energia potenziale U è in ogni istante: L’energia cinetica K è invece in ogni istante: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 16

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche L’ energia meccanica totale è quindi : Essa è costante e ha il valore di Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 17

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Consideriamo ora il valore medio dell’ energia nell’ oscillatore armonico : Mentre i valori medi di posizione, velocità e accelerazione in un periodo, sono tutti nulli, infatti: il valore medio dell’ energia nell’oscillatore armonico non è nullo: Infatti la funzione ha un andamento del tipo: π 2π 3π θ sen2θ Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 18

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche I valori medi di energia potenziale e cinetica sono quindi : e Essi sono eguali, per cui in media l’ energia meccanica totale è per metà cinetica e per metà potenziale. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 19

Moto armonico e moto circolare uniforme Oscillazioni meccaniche Moto armonico e moto circolare uniforme Il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme y Il vettore A ruota in senso antiorario con velocità angolare w e prende il nome di “fasore” A x Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 20

E’ possibile considerare e come la parte reale e la parte immaginaria Oscillazioni meccaniche Notazione Complessa Identità di Eulero : E’ possibile considerare e come la parte reale e la parte immaginaria di Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Oscillazioni meccaniche ed elettriche Pagina 21

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici K Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati dalla stessa pulsazione : K Per il principio di sovrapposizione degli effetti la somma è un moto armonico con la stessa pulsazione: y A2 A Teorema di “Carnot” wt + f1 A1 x Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 22

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici L’ampiezza del moto risultante dipende dalla differenza di fase Inoltre y A wt + y x massima per minima per Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 23

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici I risultati della sovrapposizione di due moti armonici di eguale periodo lungo lo stesso asse, sono riportati di seguito: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 24

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati da diversa pulsazione : Per semplicità supponiamo che e . Si ha : Se w1 ~ w2, allora Con W = (w1 - w2)/2 e Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 25

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Quindi da questa composizione si ha un nuovo moto oscillatorio : caratterizzato da : una nuova pulsazione ; un’ ampiezza modulata con pulsazione . Si parla di modulazione di ampiezza, caratteristica del fenomeno del battimento : K2 K1 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 26

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Consideriamo la somma di due moti armonici su assi ortogonali caratterizzati dalla stessa pulsazione : K K Se i moti sono in fase Il punto si muove lungo un segmento di retta tra le posizioni -A, -B e A, B; tale retta forma con l’ asse x l’ angolo : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 27

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Se i moti sono in opposizione di fase IN FASE IN OPPOSIZIONE DI FASE e Graficamente: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 28

Se i moti sono in quadratura di fase Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Se i moti sono in quadratura di fase quindi: che rappresenta l’equazione di un’ ellisse percorsa in senso orario Se i moti sono in quadratura di fase ma con il moto è in senso antiorario Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 29

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Quindi graficamente In particolare se A è uguale a B l’ellisse degenera in una circonferenza Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 30

Composizione di moti Armonici Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Se i moti hanno una differenza di fase generica La traiettoria è sempre un’ ellisse, con gli assi non paralleli agli assi cartesiani (anche se A = B) Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 31

Oscillazioni elettriche Circuito LC L’equivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla è il circuito LC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi in cui Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 32

Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è: Oscillazioni elettriche Circuito LC Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è: dove: è la carica iniziale sul condensatore ossia l’ ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 33

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 34

Considerazioni Energetiche Oscillazioni elettriche Considerazioni Energetiche L’ energia elettromagnetica totale è: essa è costante e ha il valore di Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 35

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa : Introduciamo la forza di attrito viscoso : che è proporzionale alla velocità tramite il coefficiente di attrito viscoso Applicando la seconda legge di Netwon F = ma : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 36

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere : Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 37

Ci sono tre casi possibili : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore. Ci sono tre casi possibili : Parametro relativo alla forza di attrito Smorzamento debole Parametro relativo alla forza elastica reale Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 38

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 39

Parametro relativo alla forza di attrito Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Smorzamento critico Parametro relativo alla forza di attrito Parametro relativo alla forza elastica nullo Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 40

Parametro relativo alla forza di attrito Smorzamento forte Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Parametro relativo alla forza di attrito Smorzamento forte Parametro relativo alla forza elastica immaginario La soluzione globale è del tipo: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 41

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione: g/w > 1 g/w = 1 T0 = 2p/w0 La curva 4, corrispondente allo smorzamento critico, in cui il punto tende più rapidamente alla posizione di equilibrio x=0. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 42

Considerazioni energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni energetiche Nel moto armonico smorzato l’ energia dell’ oscillatore viene gradualmente dissipata dall’ attrito fino ad annullarsi. Calcolando l’ energia media , nel caso di smorzamento debole, si ha : dove è il suo valore iniziale. Per poter valutare di quanto varia l’ energia media nel tempo si deve calcolare la derivata del valore medio dell’ energia normalizzata: Il parametro rappresenta il tempo di decadimento. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 43

Oscillazioni elettriche Circuito RLC L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 44

La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 45

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 46

Parametro relativo alla dissipazione della carica Oscillazioni elettriche Circuito RLC Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici del circuito. Ci sono tre casi possibili : Smorzamento debole Parametro relativo alla dissipazione della carica con reale, cioè : Parametro relativo alla conservazione della carica Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 47

Oscillazioni elettriche Circuito RLC La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 48

Parametro relativo alla dissipazione della carica Oscillazioni elettriche Circuito RLC Smorzamento critico Parametro relativo alla dissipazione della carica con nullo, cioè : Parametro relativo alla conservazione della carica Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 49

La soluzione globale è del tipo: Oscillazioni elettriche Circuito RLC Smorzamento forte La soluzione globale è del tipo: Parametro relativo alla dissipazione della carica con immaginario, cioè : Parametro relativo alla conservazione della carica Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 50

Oscillazioni elettriche Circuito RLC Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 51

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato: applichiamo cioè all’ oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna Applicando la seconda legge di Netwon F = ma : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 52

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 53

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato La soluzione generale di questo sistema è : Soluzione della omogenea associata Soluzione particolare dove : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 54

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato La soluzione particolare rappresenta quindi la soluzione a regime: infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo : Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 55

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Analizziamo lo studio della risposta in funzione di e in particolare in relazione alla del sistema: Spostamento in fase con la forza esterna Parametro dominante “ k ” costante elastica Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 56

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Spostamento in opposizione di fase con la forza esterna Parametro dominante “ m ” massa Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 57

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna Parametro dominante “ ” coefficiente di smorzamento Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 58

Grafichiamo in funzione di : Oscillazioni meccaniche Risonanza Grafichiamo in funzione di : Nel caso in cui lo smorzamento è eccessivo , l’ andamento è monotono decrescente. Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo in condizioni di risonanza : Si nota che se lo smorzamento aumenta la condizione di massimo si sposta verso la parte sinistra del grafico e si riduce in ampiezza, quindi la condizione di risonanza si ottiene prima ma con un’ ampiezza inferiore. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 59

In modo equivalente grafichiamo la fase in funzione di : Oscillazioni meccaniche Risonanza In modo equivalente grafichiamo la fase in funzione di : Questo grafico riassume i tre casi possibili : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 60

Circuito RLC con generatore di f.e.m. Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC con generatore di f.e.m.: Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 61

La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 45

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 46

Circuito RLC con generatore di f.e.m. Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo : La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 64

Circuito RLC con generatore di f.e.m Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi : Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione nell’ equazione del circuito in corrente: L’uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali i corrispondenti coefficienti di e al primo e al secondo membro. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 65

Circuito RLC con generatore di f.e.m Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m Imponendo le due identità si ottengo le seguenti relazioni: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 66

La condizione più interessante è ancora quella di risonanza : Oscillazioni elettriche Risonanza La condizione più interessante è ancora quella di risonanza : In condizioni di risonanza quindi il circuito si comporta come puramente resistivo poiché la corrente e la f.e.m. sono in fase Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 67

Quindi la assume il valore massimo per Oscillazioni elettriche Risonanza Riportiamo in seguito l’andamento della e della in funzione della per diversi valori di resistenza: Quindi la assume il valore massimo per Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 68

Larghezza di Risonanza Oscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza Si definisce larghezza della risonanza la differenza tra i valori e in corrispondenza dei quali la corrente massima assume il valore , ridotto di un fattore rispetto al valore di risonanza. Cioè imponendo : da cui si ricava Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 69

Larghezza di Risonanza Oscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza La larghezza della risonanza risulta essere uguale a : dove la quantità : si chiama fattore di merito della risonanza. Esso è tanto maggiore quanto più stretta è la risonanza, cioè quanto più piccola è la resistenza rispetto a ω0 L, condizione a cui si tende nel caso in cui si voglia realizzare un circuito altamente selettivo . Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 70

Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei Oscillazioni elettriche Risonanza Risonanza : Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei sintonizzatori di onde elettromagnetiche. Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle pulsazioni che l’ambiente circostante può imprimere al sistema. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 71

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi di circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici combinazioni in serie e in parallelo. Resistore R Applicando ai capi di un resistore una f.e.m. esso risulta essere attraversato dalla corrente Ai capi del resistore compare la tensione in fase con la corrente: tra i valori massimi sussiste la relazione: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 72

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Induttore L Per l’ induttore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in anticipo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine ωL si chiama reattanza dell’induttore. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 73

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Condensatore C Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in ritardo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine si chiama reattanza del condensatore. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 74

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RL Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha: La somma VR + VL ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da: Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 75

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RC Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha: La somma VR + VC ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da: Tale tensione è in ritardo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 76

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie LC In questo caso abbiamo solo i vettori VL e VC, paralleli e discordi, entrambi ortogonali al vettore i: Se , VL e VC sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 77

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC In questo caso si ha: quindi : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 78

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL è preponderante rispetto a (comportamento resistivo). Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 79

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Impedenza serie Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una corrente alternata la tensione ai capi della serie è: Il valore massimo V0 è legato al valore massimo i0 della corrente da : dove Z0 è detta impedenza della serie. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 80

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo RL Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un induttore si ha: . Nel complesso il comportamento è induttivo in quanto la corrente i è in ritardo rispetto alla tensione e l’impedenza: cresce con ω, dal valore zero per ω=0 al valore R per ω elevata Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 81

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo RC Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un condensatore si ha: . Nel complesso il comportamento è capacitivo in quanto la corrente i è in anticipo rispetto alla tensione e l’impedenza: diminuisce con ω, dal valore R per ω=0 ad un valore nullo per ω elevata Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 82

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo LC Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un condensatore e di un induttore si ha: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 83

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo LC Quindi : Il comportamento è diverso a seconda che sia ω < ω0 oppure ω > ω0 Per ω=ω0 l’impedenza diventa infinita e la corrente si annulla, essendo iL=-iC. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 84

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo RLC Si hanno le seguenti relazioni : Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 85

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Parallelo RLC Quindi : Il circuito si comporta come parallelo RC se ωC>1/ωL e come un parallelo RL se ωC<1/ωL. Quando ωC=1/ωL il comportamento è resistivo, l’impedenza ha un massimo e la corrente un minimo: si parla di antirisonanza. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 86

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Ammettenza In ognuno dei casi esaminati la corrente totale assorbita dal parallelo è sfasata rispetto alla tensione ai capi del parallelo. La relazione tra il valore massimo della corrente e il valore massimo della d.d.p. può essere posta nella forma : dove Y0 è l’ ammettenza del circuito, definita come l’ inverso dell’ impedenza: Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 87

Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Per l’analisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza alternata. La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l’ effetto del circuito. Quando gli elementi sono in serie l’impedenza totale è la somma delle singole impedenze, quando sono in parallelo l’inverso dell’impedenza totale è la somma degli inversi delle singole impedenze. Introducendo, invece, l’ammettenza complessa si ha che, per elementi in parallelo, l’ammettenza totale è la somma delle ammettenze mentre , per elementi in serie, si sommano gli inversi delle ammettenze. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 88

Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata L’impedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Zr, e una parte immaginaria Zi che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X : Analogamente per l’ammettenza dello stesso circuito si scrive: dove la parte reale G è detta conduttanza e la parte immaginaria B è detta suscettanza. Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 89