Il prodotto vettoriale Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale il vettore c così individuato: Il modulo del vettore c è dato da: dove l’angolo f è l’angolo minore di 180° compreso tra i due vettori La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b. Il verso è determinato con la regola della mano destra: I formulazione: Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale II formulazione Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo f minore di 180° Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale. G.M. - Edile A 2002/03

Proprietà del prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale non è commutativo: Infatti: Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato con u due vettori. Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo G.M. - Edile A 2002/03

Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale Prodotto vettoriale attraverso le componenti cartesiane: Proprietà distributiva G.M. - Edile A 2002/03

Il momento di un vettore Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la quantità: r posizione rispetto ad O del punto di applicazione del vettore V. y q MO=rVsenq =V(rsenq) =bV Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo del vettore V per il braccio del vettore V rispetto al polo O Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore V dal polo O Spostando il vettore V sulla sua retta di azione il momento resta invariato. q b=r senq x O È importante l’ordine! Prima r poi V! G.M. - Edile A 2002/03

Momento della quantità di moto o momento angolare Data la particella di massa m, la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, che al tempo t si muove con velocità v E quindi possiede una quantità di moto p=mv Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza: y q x O Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm2s-1 G.M. - Edile A 2002/03

Momento della forza Data la particella di massa m, q la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, che al tempo t subisce l’azione della forza F Si definisce momento della forza F rispetto al polo O, la grandezza: y q x O Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm2s-2 Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni (il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse) G.M. - Edile A 2002/03

Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo, È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O vari con il tempo. Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata): Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta. Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo! (è una diretta conseguenza della II legge di Newton) G.M. - Edile A 2002/03

Forze centrali Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà: per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale, e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso. Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale. Anche la forza di Coulomb è centrale Così come la forza elastica Le forze centrali sono conservative G.M. - Edile A 2002/03

Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli y O x Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante in direzione Il moto è un moto piano y O x Verso La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario Modulo La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali. G.M. - Edile A 2002/03

La velocità areale Consideriamo l’intervallo di tempo Dt y O x Consideriamo l’intervallo di tempo Dt L’area spazzata nell’intervallo Dt è quella evidenziata in figura Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+Dt), Dr. L’eguaglianza approssimata diventa precisa per Dt che tende a zero. L’area del triangolo vale: La velocità areale: Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che: e quindi Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della forza vale: e quindi: Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di moto è costante, allora la velocità areale è costante G.M. - Edile A 2002/03

La velocità areale Il momento angolare: y x Se indichiamo con Dq l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+Dt Dq q Il momento angolare: Afelio Più lento Perielio Più veloce G.M. - Edile A 2002/03

Le leggi di Keplero Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi. Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità di tempo), è costante. Il quadrato del tempo di rivoluzione (T2), è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse (a3). La costante di proporzionalità è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare. L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa essere considerato inerziale giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo parzialmente) G.M. - Edile A 2002/03

Verifica della III legge di Keplero Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari anziché ellittiche. L’eccentricità per la terra è 0.0167 a è il semiasse maggiore b quello minore Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante) Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza centripeta: G.M. - Edile A 2002/03

Verifica della III legge di Keplero Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione: Che appunto verifica la III legge di Keplero G.M. - Edile A 2002/03

L’energia potenziale della forza di gravitazione universale - la velocità di fuga La forza di gravitazione universale è conservativa La velocità di fuga dalla terra: Per la fuga dalla terra, E>=0: G.M. - Edile A 2002/03

Sistemi di particelle Abbiamo mostrato come è possibile determinare il moto di un punto materiale Si determinano le forze che agiscono sul punto materiale Si applica la seconda legge di Newton Si risolvono le tre equazioni differenziali per trovare il moto dei punti proiezione sugli assi (se le equazioni sono indipendenti) Altrimenti si risolve il sistema di tre equazioni derivanti alla seconda legge di Newton. Si determina così la legge oraria. Vediamo ora come si può descrivere il moto di sistemi più complessi che non possono essere rappresentati con un punto materiale. Studiamo cioè i Sistemi di punti materiali! Proviamo ad operare come abbiamo imparato a fare. G.M. - Edile A 2002/03

Sistemi di particelle Si può scrivere n volte la seconda legge della dinamica, una volta per ciascun punto facente parte del sistema poi si può risolvere il sistema di 3n equazioni differenziali che viene fuori. Molto difficile!! È possibile, rinunciando ad una descrizione dettagliata del moto delle singole particelle, ottenere almeno una descrizione del moto dell’insieme delle particelle? G.M. - Edile A 2002/03

Il centro di massa di un sistema di punti materiali G.M. - Edile A 2002/03

Il centro di massa del sistema terra-sole Il centro di massa si trova sul segmento che congiunge i due punti materiali È più vicino al punto materiale di massa maggiore G.M. - Edile A 2002/03

Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L Tre masse uguali sono ai vertici di un triangolo equilatero di lato L. Determinare la posizione del centro di massa Applicazione y 3 L x 1 2 Posso determinare prima il centro di massa delle particelle 1 e 2. 1 2 x Calcoliamo ora la posizione del CM della particella 3 e di una particella di massa 2m posta nella posizione del CM delle particelle 1 e 2. Il centro di massa si troverà sulla congiungente: x y 1 3 CM12 G.M. - Edile A 2002/03