G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Estensione della conservazione dellenergia ai sistemi di punti materiali Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali U i è la somma delle energie potenziali della particella i –In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i Poiché per ogni particella vale la conservazione dellenergia, allora essa vale anche per tutto il sistema. Se tutte le forze sono conservative, lenergia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: W nc è il lavoro di tutte le forze non conservative.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale della forza peso Lenergia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per laccelerazione di gravità per la quota del CM. Per ciascuna particella:

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha un estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso. Posizione iniziale x Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo y Posizione finale

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Posizione finale Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto allasse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto allasse di rotazione) x Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per lestremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale y

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d 1 =.22m x Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per lestremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale y Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 x Applic azione Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dallosservazione che lenergia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle: Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con laltro metodo. y

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali Per ciascuna particella Il momento della quantità di moto o momento angolare dellintero sistema rispetto al polo O, è dato da:

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Cambiamento di polo Naturalmente possiamo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente lorigine!

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa Se O coincide con il centro di massa CM Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Secondo teorema di Konig Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig) Il CM non rappresenta del tutto il sistema Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa L CM possiamo calcolarlo sia usando le grandezze del sistema del centro di massa che quelle del sistema con origine in O Se O coincide con il centro di massa. Se O è lorigine del sistema di riferimento e O un secondo polo qualsiasi risulta che.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia. Valutiamo la rapidità con cui varia.

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 II equazione cardinale della dinamica dei sistemi Il momento risultante delle forze interne è nullo: Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari. O = origine del sist. Rif O = punto fisso O = CM (SRI o SCM) O punto mobile ma con velocità parallela a v CM

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Possibile uso della seconda equazione cardinale Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda. Applichiamo allestremo libero della corda una forza F. La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare lintensità della reazione vincolare. La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno allasse passante per il centro di massa.