I corpi in natura Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati di punti materiali (sistemi di punti materiali) Tre stati Solido Liquido Gassoso (c’è anche un quarto stato (plasma) ) Fluidi G.M. - Edile A 2002/03

Le proprietà dei corpi solidi Corpo solido <-----> corpo rigido In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi. Gli atomi occupano posizioni definite all’interno della struttura sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio con una ampiezza che dipende dalla temperatura G.M. - Edile A 2002/03

I moti del corpo rigido Traslazione Rotazione attorno ad un asse fisso Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo Il moto si può studiare attraverso il moto del centro di massa Rotazione attorno ad un asse fisso I diversi punto del CR subiscono spostamenti diversi In particolare esistono dei punti allineati lungo un asse che non sibiscono alcuno spostamento (asse di rotazione) Rototraslazione è la combinazione dei due moti elementari precedentemente elencati Il moto del centro di massa ci permette di descrivere la traslazione A questo moto si sovrappone la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa la cui orientazione può variare con il tempo. G.M. - Edile A 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso Facciamo riferimento all’anta di una porta Asse di rotazione Vista dall’alto q E’ possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dell’angolo q Un CR in rotazione attorno ad un asse fisso ha un solo grado di libertà È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto. G.M. - Edile A 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione (angolare) prodotta. q Vista dall’alto Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile dell’effetto prodotto. Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta: Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse di rotazione: l’effetto è nullo: non c’è nessun moto Man mano che ci allontaniamo dall’asse di rotazione, a parità di forza, l’effetto (l’accelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dall’asse di rotazione G.M. - Edile A 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione b O q r Vista dall’alto F L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O Il modulo del momento vale infatti: r O F Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione G.M. - Edile A 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare l’angolo j della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione b j b F j O q r Vista dall’alto L’effetto è maggiore quando l’angolo j è 90° È nullo quando j è 0° o 180° Questa osservazione ci conferma che la causa delle rotazioni è il momento della forza. Infatti: r O F Che è massimo quando j è 90°, è nullo quando j è 0° o 180° Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione G.M. - Edile A 2002/03

Rotazione di un corpo rigido attorno no ad un asse fisso Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta. Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r Il modulo del momento è Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!! Non si verifica alcun moto della porta. F Cosa c’è di diverso nei due casi?? Osserviamo che in questo caso il momento Mo è perpendicolare all’asse di rotazione In precedenza esso era parallelo all’asse di rotazione Possiamo concludere: Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo l’asse di rotazione (Momento assiale) r O G.M. - Edile A 2002/03

Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso Abbiamo dedotto: il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione) Si trova infatti che: Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione a accelerazione angolare Mz componente assiale del momento delle forze esterne G.M. - Edile A 2002/03

I diversi tipi di sollecitazione Trazione Produce un allungamento del campione Compressione Produce una accorciamento del campione Taglio Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra Compressione idrostatica La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del campione ed è perpendicolare alla superficie stessa Produce una diminuzione del volume del campione Sforzo Forza applicata diviso per la sezione del campione Deformazione relativa La deformazione prodotta diviso per il valore della grandezza originaria G.M. - Edile A 2002/03

Il comportamento dei materiali I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2 G.M. - Edile A 2002/03

Il comportamento dei materiali G.M. - Edile A 2002/03

Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso Abbiamo dedotto: il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione) Si trova infatti che: Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione a accelerazione angolare Mz componente assiale del momento delle forze esterne G.M. - Edile A 2002/03

I diversi tipi di sollecitazione Trazione Produce un allungamento del campione Compressione Produce una accorciamento del campione Taglio Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra Compressione idrostatica La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del campione ed è perpendicolare alla superficie stessa Produce una diminuzione del volume del campione Sforzo Forza applicata diviso per la sezione del campione Deformazione relativa La deformazione prodotta diviso per il valore della grandezza originaria G.M. - Edile A 2002/03

Il comportamento dei materiali I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2 G.M. - Edile A 2002/03

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Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9 Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino? Quanto l’allungamento e la sua deformazione? Applicazione La sezione del tondino è data da: Lo sforzo: La deformazione: L’allungamento: G.M. - Edile A 2002/03

Risonanza Per realizzare una qualunque struttura meccanica, dalla più semplice alla più complicata, si utilizzano corpi solidi collegati insieme poiché i corpi solidi hanno un comportamento elastico, ci aspettiamo altrettanto da una qualunque struttura meccanica. Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione rapida (un impulso), Essa entrerà in vibrazione Le vibrazioni si smorzeranno più o meno rapidamente a causa degli attriti Però se le sollecitazioni sono periodiche le vibrazioni potranno sostenersi Per avere un’idea di quello che succede si può studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad una forza variabile nel tempo. G.M. - Edile A 2002/03

I fluidi Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi, le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le molecole sono debolmente legate l’una all’altra esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido ma possono muoversi al suo interno. I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile far scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra. Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido. Conseguenza: Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le forze che una parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla superficie. Questo vale per qualunque superficie. G.M. - Edile A 2002/03

La pressione idrostatica Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il fluido in due parti prendiamo una piccola area, DA, attorno al punto P Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area DA, diviso per l’area DA (eventualmente si fa il limite per DA che tende a zero) : Le dimensioni Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata “pascal”, Pa. Altre unità di misura della pressione: Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del mare torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio 1 bar= 105 Pa G.M. - Edile A 2002/03

La pressione sulle pareti del recipiente Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una superficie reale la parete del contenitore Possiamo usare la stessa definizione per valutare al pressione sulle pareti del contenitore DA è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la pressione Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione DA della parete A cosa è dovuta questa forza normale? Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti Per un urto elastico su una parete liscia La molecola subisce la forza F dalla parete Per il principio di azione e reazione esercita sulla parete una forza uguale e contraria. G.M. - Edile A 2002/03

La densità Si definisce densità media del fluido Si definisce densità del fluido nel punto P Il limite in senso “fisico” I fluidi si distinguono in Comprimibili Incomprimibili G.M. - Edile A 2002/03

La legge di Stevino Consideriamo in fluido incompribile r è uniforme in tutto il volume del fluido Consideriamo un fluido stazionario Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h (h=y1-y2) Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma Applichiamo la secondo legge della dinamica In particolare la sua componente verticale h profondità Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale G.M. - Edile A 2002/03

A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie Applicazione Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da: Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po. Da cui: h Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera Se al posto dell’acqua c’è un gas, la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente. G.M. - Edile A 2002/03

La misura della pressione Manometro a tubo aperto Misura la differenza di pressione tra due ambienti Misura relativa di pressione Barometro Per la misura assoluta della pressione atmosferica G.M. - Edile A 2002/03

Il principio di Pascal Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro racchiuso da un pistone mobile Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul fluido La pressione in tutti gli altri punti sarà: Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio variando il carico sul pistone. Sia DPest la variazione di Pest. In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione di pressione: Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su tutto il fluido. G.M. - Edile A 2002/03

La leva idraulica Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio) In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa quantità Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare sull’ambiente esterno una forza La forza risulta amplificata per un fattore pari al rapporto tra le aree Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è ridotto rispetto a quello del primo dello stesso fattore. Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è sempre lo stesso G.M. - Edile A 2002/03

Il principio di Archimede La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un corpo quando è immerso nel fluido Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente la superficie esterna di un corpo. Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario) La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno. Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre la stessa forza: La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua spostata dal corpo G.M. - Edile A 2002/03