Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 LEZIONE N° 8 – IL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO LE CADUTE DI TENSIONE INTRODUZIONE CLS Fenomeno del Creep Fenomeno del Ritiro ACCIAIO Rilassamento Inetrazione tra rilassamento e creep e ritiro Esempio: calcolo cadute di tensione in un tirante in c.a.p. LE PERDITE DI TENSIONE Precompressione a cavi post-tesi Perdite per attrito, perdite all’ancoraggio, perdite martinetto Precompressione a fili pre-tesi Perdite per accorciamento elastico dell’elemento di cls

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE E PERDITE DI TENSIONE La forza di precompressione non è costante, in quanto è spesso applicata in fasi successive ed inoltre è influenzata dai seguenti fenomeni: perdite di tensione instantanee nel CLS (c.a.p. a cavi pretesi) perdite di tensione istantanee per attrito lungo i cavi (c.a.p. a cavi post-tesi) cadute di tensione differite nel tempo a causa dei fenomeni lenti che si verificano nel CLS (viscosità e ritiro) e nell’acciaio (rilassamento del cavo di precompressione) Nelle slide successive verranno trattati prima i fenomeni lenti e successivamente le perdite di tensione differenziate per sistemi a cavi pre-tesi e post-tesi

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’ il fenomeno del Creep si manifesta in una variazione di lunghezza a tensione costante. Per livelli di tensione bassi è lecito assumere che tali deformazioni siano proporzionali alle tensioni; si parla così di viscoelasticità lineare. Detta c la tensione iniziale nel cls (t=t0) si ha Funzione di viscosità v N=cost All’istante inziale t0 il provino si deforma elasticamente ( el ). Successivamente, a carico costante, si manifesta la deformazione viscosa v il cui andamento nel tempo è legato alla funzione di viscosità che dipende sia dall’istante iniziale in cui viene applicato il carico che dall’istante nel quale si calcola la deformazione el+ v el

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’ La teoria lineare permette l’applicazione del principio di sovrapposzione degli effetti. Se dunque agli istanti t1 e t2>t1 si applicano due carichi differenti 1 e 2 la deformazione totale (elastica+viscosa) sarà la somma delle due deformazioni singole: Se al tempo t2 sussiste lo scarico ossia 2=-1 la precedente, ancora somma delle singole deformazioni, diventa t =  A tempo infinito permane una deformazione non più recuperabile

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’ La normativa italiana (D.M. 14.09.05) fornisce i valori della funzione di viscosità a tempo infinito (t, t0) per un valore della tensione al più pari a 0.3 RckJ dove j è il il tempo della messa in carico t0=j (ipotesi di viscosità lineare) I valori dipendono anche dalla geometria identificata mediante il parametro ho = 2A/p che rappresenta il rapporto tra il doppio dell’area di calcestruzzo esposto e il perimetro che confina l’area stessa. Per valori intermedi di deve utilizzare una interpolazione lineare tra i valori forniti. (t, t0)

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : funzione di viscosità nel tempo Volendo calcolare il valore della funzione di viscosità ad un tempo finito t il D.M. 14.09.05 fornisce la seguente formula:

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : funzione di viscosità nel tempo

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Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’ Il calcolo della caduta di tensione dovuta al creep si ottiene semplicemente calcolando la deformazione elastica nel calcestruzzo a livello dell’armatura di precompressione, moltiplicando successivamente per il modulo elastico dell’armatura precompressa e la funzione di viscosità fornita dalla normativa: (t, t0) La variazione di tensione si può calcolare anche più semplicemente con riferimento alla tensione elastica nel calcestruzzo c,el e al coefficiente di omogenizzazione n= Es/Ec

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO Nel progetto delle strutture in c.a. e c.a.p. occorre tener conto della diminuzione del volume del calcestruzzo nel tempo a causa della continua perdita d’acqua non combinata con il cemento. Tale fenomeno che va sotto il nome di ritiro dipende in genere dalla composizione del calcestruzzo (essenzialmente rapporto acqua/cemento), dalla geometria dell’elemento strutturale e dall’umidità e dalla temperatura ambientale. Il ritiro di manifesta essenzialmente in una deformazione che può essere determinata con una legge del tipo: dove r0 è la deformazione (di ritiro) dipendente dal materiale e dalle condizioni ambientali, mentre la funzione  è la funzione che regola il fenomeno nel tempo e che dipende da t0=istante iniziale a partire dal quale si tiene conto del ritiro t = età del cls h0 = dimensione caratteristica della struttura

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 14.09.05)

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Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 14.09.05)

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 09.01.96) Nel caso del c.a.p. la precedente normativa semplificava il calcolo della deformazione del calcestruzzo dovuta al ritiro e stabilisce che (p. 4.4.4.8 a ) per strutture per le quali l’applicazione della forza di precompressione avviene dopo 14 giorni dal getto il valore della deformazione viscosa rit può essere assunta pari al 0.25°/°° per strutture precompresse prima di 14 giorni dalla data del getto la deformazione a tempo infinito v può essere assunta pari al 0.3°/°°

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO La caduta di tensione nell’armatura di precompressione dovuta al ritiro è infine valutabile semplicemente moltiplicando la deformazione da ritiro fornita dalla normativa per il modulo elastico dell’armatura di precompressione ipotizzando che tale deformazione sia uniformemente distribuita

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO Un fenomeno duale di quello del Creep nel Cls è il fenomeno del rilassamento che si manifesta nell’acciaio in una diminuzione della tensione nell’acciaio sottoposto a deformazione costante. Questo fenomeno assume particolare rilevanza negli acciai da precompresso per i quali una diminuzione di tensione al loro interno produce una diminuzione del grado di precompressione nella struttura precompressa. La legge con cui varia nel tempo la tensione a deformazione costante nell’acciaio ha qualitativamente l’andamento indicato in figura. La tensione inizialmente variabile linearmente con la deformazione, diminuisce successivamente con andamento non-lineare e in particolare la tensione massima si attesta a tempo infinito su un valore 10-20% inferiore di quello iniziale. L’andamento nel tempo si assume in genere come logaritmico. Il fenomeno si manifesta per tensioni elevate mentre per valori molto bassi di tensioni il fenomeno è praticamente assente. Le temperature elevate aumentano il fenomeno del rilassamento. E’ per questo che nel caso di contenitori nucleari precompressi si deve porre particolare attenzione al fenomeno del rilassamento per la presenza di temperature di 100-120°.

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO La normativa italiana fissa i valori a tempo infinito della variazione di tensione per rilassamento che dipendono essenzialmente dalla tipologia di acciaio utilizzato (barre, trecce, trefoli etc..). In particolare per una tensione iniziale spi=0.75 fptk dove fptk è la tensione caratteristica a rottura dell’acciaio da precompresso. Si ammette inoltre che al variare della tensione iniziale la variazione di tensione per rilassamento vari con la seguente legge parabolica: Valori della variazione di tensione a tempo infinito dovuta al fenomeno del rilassamento in funzione della tipologia di acciaio da precompresso

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO Nel cemento armato precompresso il fenomeno del rilassamento non si manifesta a rigore in condizioni ideali di deformazione costante, ma poiché intervengono il creep e il ritiro a variare le condizioni di deformazione iniziale occorre tener conto anche della loro influenza nel calcolo della deformazioni da rilassamento. IL D.M. 14.09.05 stabilisce la legge d’interdipendenza tra rilassamento creep e ritiro: dove rit e v sono rispettivamente le variazioni di tensione nell’acciaio precompresso dovute rispettivamente al ritiro e alla viscosità, mentre spi è la tensione iniziale al tiro. ril, è la caduta di tensione per rilassamento a deformazione costante. Il termine tra parentesi rappresenta ovviamente una termine < 1

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO L’effetto combinato del rilassamento dell’acciaio, del creep e del ritiro determina una caduta di tensione totale: Di tale termine si deve tener conto all’atto della precompressione maggiorando eventualmente lo sforzo di precompressione stesso per evitare ad esempio che, nel caso si utilizzi la precompressione totale, la sezione risulti interamente compressa o nel caso di precompressione limitata che la tensione massima di trazione nel cls sia inferiore alla resistenza del cls.

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO Oltre alla cadute di tensione che sono, come visto, differite nel tempo, esistono altre cause che all’atto della precompressione diminuiscono il tiro inizialmente imposto. Esse sono le così dette perdite di tensione che si manifestano in maniera diversa in travi a cavi post-tesi e travi a cavi pre-tesi. Nel caso si travi a cavi post-tesi il fenomeno delle perdite di tensione è dovuto essenzialmente all’attrito tra guaina e il cavo, al rientro degli ancoraggi dei cavi e alle perdite al martinetto. Queste ultime due cause vengono in genere trascurate. Nelle travi a cavi pre-tesi le perdite di tensione sono si manifestano all’atto del taglio delle armature dopo la maturazione del getto per l’accorciamento elastico del calcestruzzo.

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO Tale perdita si manifesta per la presenza di attrito tra la guaina nella quale l’armatura di precompressione viene inserita per il tesaggio e l’armatura stessa. Per effetto della curvatura del cavo, su di esso agisce una pressione p pari al rapporto tra lo sforzo normale N e il raggio di curvatura R in generale variabile lungo il cavo: N2 N1  d ds p pt A B Quando la differenza tra lo sforzo normale nel cavo tra due punti del cavo N1-N2 supera la resistenza di attrito pt il cavo scorre. In tali condizioni la variazione di sforzo nomale in un tratto infinitesimo di cavo, dato il coefficiente d’attrito guaina-cavo fc, vale

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO Integrando la precedente nel tratto di cavo A-B si ottiene la seguente legge esponenziale che regola la variazione dello sforzo normale dovuta all’attrito  Come era logico aspettarsi, la variazione di N dipende unicamente dal coefficiente d’attrito guaina-cavo e dalla variazione angolare  che si ha passando dall’estremo A all’estremo B del cavo. La variazione di tensione nel cavo dovuto all’attrito è quindi data da Valori di fc per l’EC2

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO Nei tratti rettilinei non essendoci alcuna variazione angolare si dovrebbe assumere in teoria una perdita per attrito nulla. La normativa però considera anche per tali tratti una variazione di tensione che dipende però oltre che dal coefficiente d’attrito fl, ovviamente diverso dal valore adottato per il caso di cavi curvi, anche dalla lunghezza L del tratto considerato: Il termine k è la variazione angolare espressa per unità di lunghezza del cavo ed è generalmente compresa nell’intervallo 0.005 < k < 0.01 rad/m L

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS Nel caso di travi a cavi pre-tesi non sussistono ne perdite per attrito ne tanto meno perdite per rientro degli ancoraggi. Le uniche perdite sono dovute all’accorciamento elastico del cls all’atto del taglio dei cavi ad avvenuta maturazione del cls. In fatti quando i fili vengono tagliati in corrispondenza delle sezioni terminali della trave, la trave stessa viene assoggetta ad una sistema di forze normali che ne determinano l’accorciamento. L’accorciamento della trave che tra l’altro permette l’instaurarsi della collaborazione tra acciaio da precompressione e trave in cls è a sua volta la causa di una perdita di tensione. Tale perdita dipende dunque dal livello della tensione iniziale nei fili

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS Per valutare l’entità di tale perdita si consideri la trave in figura. Il cavo sia disposto con una eccentricità e rispetto al baricentro. Detta p0 la deformazione subita dal cavo all’atto del tiro, c la deformazione del calcestruzzo al livello dell’armatura di precompressione e G la deformazione della fibra baricentrica della trave l’equilibrio tra la risultante di compressione nel csl e la trazione nell’acciaio comporta che Asse baricentrico e Dove Ap è l’area dell’armatura da precompressione, Ac è l’area di calcestruzzo. Essendo lo stato di coazione una pressoflessione la relazione tra c ed G è semplicemente c G J = momento d’inerzia baricentrico

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Il cemento armato precompresso PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS Sostituendo il valore di G nell’equazione di equilibrio precedente si può esprimere la deformazione del cls a livello dell’armatura di precompressione c in funzione della deformazione iniziale del cavo: Asse baricentrico e In definitiva la perdita di tensione nell’armatura di precompressione si determina semplicemente in funzione del tiro iniziale nel cavo No del modulo elastico dell’acciaio e delle caratteristiche geometriche della sezione c G