Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 LEZIONE N° 4 – STATO LIMITE ULTIMO PER TORSIONE Posizione del problema La torsione di travi in c.a - I° stadio: il comportamento elastico la torsione nelle sezioni monoconnesse La torsione nelle sezioni biconnesse La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLU quadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsione Il modello a traliccio Il progetto delle armature longitudinali Il progetto delle armature trasversali Indicazioni normative Le prescrizioni del D.M. 14.09.05 Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2 La contemporanea presenza di Torsione e taglio Esempio: calcolo dell’armatura a torsione di una trave di un solaio con balcone a sbalzo

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema) Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichi difficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella pratica progettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sono normalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, esse non producono rilevanti effetti indesiderati. Torsione Primaria (Balconi, Scale, etc.) Mt Torsione Secondaria

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema) Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente al variare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave si comporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant, dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momento torcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale. La resistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata della sezione e dalle armature presenti. Mt crescente I° Stadio III° Stadio

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 La torsione in travi in c.a. (I° stadio) SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI) Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di De Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentano un andamento lineare che si annulla a metà dello spessore. Tensioni Tangenziali Rigidezza Torsionale Andamento delle tensioni tangenziali  Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio) SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI) Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcente agente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale dei rettangoli stessi. Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo Mt1 max,i Mt2 N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momenti torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=, ma può essere accettata con tollerabile approssimazione anche in sezioni con spessore non trascurabile. Mt3

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio) SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI) Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensione media lungo lo spessore. SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio) La forza elementare agente sul tratto di sezione di lunghezza ds risulta essere pari a: Il momento esterno Mt dovrà essere equilibrato dalla somma dei momenti che le forze dF hanno rispetto al baricentro della sezione:  Costanza flusso delle tensioni Formula di Bredt se h=cost

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio) SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE) La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovare facilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliando infatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha: SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio) Lavoro Esterno (Teorema di Clapeyron) Energia di deformazione Rigidezza Torsionale Ponendo

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE Mt Le linee isostatiche di una trave cava soggetta a momento torcente sono quelle schematicamente indicate nella figura in basso. Fessura Elemento infinitesimo Riferimento principale

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottare un modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione una sezione cava di spessore h. L’andamento delle linee isostatiche prima illustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compresse di cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facce esterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediante armature longitudinali. TRALICCIO DI RAUSCH h

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse (scorrimento) vale h dove h è lo spessore della sezione tubolare. Per l‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (Fl) e un’altra nella biella compressa (C). La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale. d 1.0<cot<2.0 Armatura Longitudinale p = perimetro sezione tubolare

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura trasversale (staffe) N° staffe intercettare da una biella di cls  Armatura Trasversale

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) CALCOLO ARMATURE A TORSIONE  Fissato l’angolo  e determinata la quantità di armatura longitudinale Al si può determinare l’area delle staffe per unità di lunghezza della trave. In alternativa, fissata l’armatura trasversale e l’angolo  di inclinazione delle fessure si può valutare l’armatura longitudinale. Se poi si valutano indipendentemente armatura longitudinale e trasversale si può ricavare il valore dell’angolo di inclinazione delle bielle 

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) VERIFICA BIELLE COMPRESSE La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. In particolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanza unitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cos Se  = 45° cos Momento ultimo per schiacciamento delle bielle di cls

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2) L’eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporto tra l’area racchiusa dal perimetro esterno e il perimetro esterno p stesso. A h A = area racchiusa dal perimetro esterno p Il valore minino di h = 2 c con c=copriferro L’EC2 impone inoltre che per la verifica delle bielle compresse la resistenza a compressione del cls sia ridotta del fattore  Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce  può essere  0.5

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sono anche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave che garantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamente garantisca l’equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e della tamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e torsione produce un certo grado di interazione tra le due sollecitazione che tuttavia nella pratica progettuale si ritiene opportuno trascurare. Le armature così calcolate si sommano semplicemente. Occorre però verificare la seguente condizione (Ec2) Vd (Taglio di calcolo) Mtd (Momento torcente di calcolo) Mtu = momento torcente ultimo Vu = Taglio ultimo

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio) LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE (EC2) Mtu = momento torcente ultimo per crisi del cls Vu = Taglio ultimo per crisi del cls Vu = Fattore di riduzione della resistenza a compressione