SISS 2005/2006 MECCANICA Antonio Ballarin Denti

CINEMATICA Descrizione geometrica del moto Studiamo: 1) Moto in una dimensione 2) Moto nel piano - Moto uniforme - Moto uniformemente accelerato - Il caso del grave - Natura vettoriale delle grandezze cinematiche - Moto del proiettile

CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE Grandezze fondamentali velocità scalare media in (t 1, t 2 ) velocità scalare istantanea accelerazione media in (t 1, t 2 ) accelerazione istantanea MKS: m/s MKS: m/s 2 Se v m è la stessa per qualunque intervallo di tempo, il moto si dice: uniforme.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO LEGGI FONDAMENTALI Se a t = 0, x 0 = 0: Se a t = 0, anche v 0 = 0: Si ricava quindi: a = cost

Ricapitolando: a = cost a = 0 a = cost v t a = 0 v t Area = vt Area=

caduta libera lungo la verticale Moto uniformemente accelerato Leggi del moto Se a t = 0, y 0 = h e v 0 = 0 : h y 0

SALITA DISCESA tempo di salita tempo di caduta quota raggiunta velocità finale > v 0 distanza percorsa v0v0 Salita e discesa t 1 = t 2 Da cui si ricava:

MOTO IN DUE DIMENSIONI Posizione, velocità e accelerazione sono vettori nel piano Se r e r+dr sono le posizioni a t e t+dt La v di un corpo nel piano, in un punto P ha modulo uguale alla v scalare e direzione tangente alla traiettoria in quel punto r y x P Laccelerazione è determinata dai cambiamenti di modulo direzione e verso della velocità

a = cost

MOTO DEI PROIETTI Prima di Galileo: … teoria dellimpeto Galileo: il moto dei proietti si spiega mediante il concetto di inerzia..la teoria pregalileiana non spiega la forma della traiettoria..

1. Un corpo lanciato cade verticalmente sotto lazione della forza di gravità 2.L inerzia lo fa muovere con velocità costante lungo la verticale y x Foto stroboscopica di due proietti Risultato della combinazione di due moti: Il corpo descrive una PARABOLA

Calcolo esplicito della traiettoria trascurando gli attriti (proietti lenti) Condizioni iniziali: X : il moto è governato dal principio dinerzia Y : il moto è governato dallaccelerazione costante verso il basso

Studiamo y = f(x) partendo da y = f(t ) e conoscendo t = g(x) t = g(x) y = f(t ) Eliminando t si ottiene la traiettoria y = y(x) Equazione cartesiana della parabola galileiana in assenza di attriti dellaria.

qual è laltezza massima y max ? se è fisso, y max è funzione della sola v 0 2 v x 0 V y = 0 y x y max

La Gittata R = x max dove T è il tempo di volo: Quando il corpo torna al suolo, lo spazio percorso è: La gittata è funzione di ed è massima per: R max = sin 2 = 1 ; 2 =90° = 45°

P Parabola di sicurezza Se vogliamo colpire un punto P (x,y) imponiamo:, ma: Sostituendo ho unequazione di II grado in (*) ha 2 soluzioni reali se P(x, y) si trova sotto la parabola di sicurezza (*)

LE LEGGI DI CADUTA DEI GRAVI Sviluppo storico In che modo un corpo acquista velocità mentre cade? Leggi che pongono in relazione spazio di caduta, tempo di caduta, e velocità dei gravi in caduta secondo due studiosi del XIV secolo Alberto di Sassonia e Nicola di Oresme, secondo Leonardo da Vinci ( ) e Galileo Galilei ( ) Necessità di superare una descrizione qualitativa ( forma mentis Aristotelica) mediante misurazioni quantitative (esperimenti) e linguaggio matematico

Confrontiamo le leggi di Leonardo e Galileo … Siano s P ed s t lo spazio incrementale e lo spazio totale percorsi in successive unità di tempo t Legge degli interi consecutivi Legge dei numeri dispari LEONARDOGALILEO Quando t = 1, s P = c, quindi c è numericamente uguale allo spazio che qualsiasi grave percorrerà nella 1° unità di tempo nel suo moto di caduta. Nel SI, c ha un valore di circa 4,9 m/s 2 ed ha lo stesso valore per tutti i gravi che cadono nel vuoto in prossimità della superficie della Terra. Quale formulazione scegliere per descrivere la caduta di un grave? Quella che non entra in contraddizione con lesperienza

La fotografia mostra la caduta di una sfera in successivi istanti di tempo (CRONOFOTOGRAFIA). Con gli orologi moderni possiamo studiare direttamente la caduta libera e verificare i risultati di Galileo. Un dispositivo emette lampi di luce a intervalli di tempo orologio regolari: è il nostro orologio. Tra ogni coppia di immagini consecutive è trascorso lo stesso intervallo di tempo. Si misurano gli spazi percorsi con una scala graduata. Dati di questo tipo sono ideali per scegliere tra la legge di Leonardo e quella di Galileo per lo spazio percorso in successivi intervalli di tempo.

Scegliamo la legge di Galileo Spazio percorso tra un lampo ed il consecutivo, s P. Spazio di caduta totale s t Spazio di caduta totale s t GALILEOLEONARDO cc 3c 5c 7c 9c 11c …. 3c 4c 5c 2c 6c

1)1) 2)2) Sostituendo 1 in 2 si ottiene: Per h = 0 E quindi per a = cost = 2c: Questa accelerazione costante è così importante che la denotiamo con un simbolo proprio: g = accelerazione di gravità Legge della caduta dei gravi

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE Lintensità della forza è proporzionale al prodotto delle masse dei punti materiali e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Ogni corpoogni altro Ogni corpo esistente nelluniverso attira ogni altro corpo costante di gravitazione universale. corpo con una forza gravitazionale. G è la costante di gravitazione universale. Le forze di gravitazione esistenti tra due punti materiali (tra loro opposte per il principio di azione e reazione) hanno come retta di applicazione la retta individuata dalle posizioni dei due punti. universalità direzione e verso intensità

È una legge fondamentale di natura … Spiega la legge empirica di Keplero che pone in relazione il raggio di un orbita R con il suo periodo T : una Forza che decresce come 1/R 2 porta ad orbite che sono sezioni coniche (ellissi, cerchi, parabole e iperboli). forza gravitazionale in cielo Spiega la legge empirica di Galileo per la caduta libera dei gravi: la terra esercita sopra ogni corpo una forza di attrazione gravitazionale. forza gravitazionale in terra La fisica della terra diventa identica alla fisica del cielo

La forza risultante sulla mela si ottiene sommando vettorialmente tutte le forze ( F 1, F 2,…) che si esercitano tra particella della mela e particella della Terra. Vale il principio di sovrapposizione : …con il calcolo integrale si dimostra che… due corpi a simmetria sferica che non si toccano si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata nel centro. la Terra e la mela si possono trattare come punti materiali. PROPRIETÀ ESCLUSIVA DELLE LEGGI IN CUI LA FORZA È INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA DISTANZA.

In entrambi i casi il numero di linee di forza che attraversano la superficie sferica si conserva. Lintensità della forza esercitata da una sorgente sferica: RAPPRESENTAZIONE DELL INTENSITÀ DEL CAMPO GRAVITAZIONALE CON LE LINEE DI FORZA (a)(b) Linee di forza dovute ad una massa puntiforme (a) nel centro di una sfera di osservazione e (b) in un punto decentrato: (*) (d)(c) Linee di forza dovute (c) ad una distribuzione a simmetria sferica di masse puntiformi m i e (d) alla stessa massa totale di (c) concentrata nel centro. In entrambi i casi il numero di linee di forza che attraversano la superficie sferica è direttamente proporzionale alla massa totale della sorgente. (a), (b), (c), (d) rappresentano la (*)

Determinazione della forza che si esercita su una massa puntiforme (punto materiale), situata allinterno di uno strato sferico. STRATI SFERICI La forza gravitazionale dovuta a una massa distribuita simmetricamente su uno strato sferico è: uguale a quella che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro; nulla ovunque allinterno dello strato. Una retta che interseca una sfera forma lo stesso angolo rispetto alla normale alla sfera in entrambi i punti di intersezione.

Diagramma del modulo della forza gravitazionale in funzione della distanza dal centro della Terra nellipotesi di massa volumica m v uniforme. APPLICAZIONE Qual è la forza gravitazionale che si esercita su un corpo posto ad una distanza r dal centro della Terra? La forza che cerchiamo è dovuta unicamente allo materia contenuta in una sfera di raggio r. Lo strato di materia situato allesterno del corpo non esercita forza. orientata radialmente. diretta verso il centro della Terra. F(r) r Lineare proporzionale a r -2

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA TERRA MTMT Legge di gravitazione universale + Secondo principio della dinamica Legge di Galileo …da cui: costante! In prossimità della Terra tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione costante indipendente dalla massa del corpo. … C.V.D

Le traiettorie di un sasso lanciato orizzontalmente con differenti velocità da un monte conducono al moto orbitale. ( Principia ) IN CONSEGUENZA ALLA FORZA GRAVITAZIONALE LA LUNA È IN CADUTA LIBERA SULLA TERRA…. La luna ha la velocità giusta per ruotare intorno alla Terra: cade continuamente, ma in virtù della curvatura della Terra, non la raggiunge mai. Una mela in caduta libera sulla Terra percorre 4,9 m in 1 s; nello stesso tempo la Luna in caduta libera percorre 0,14 cm. > Previsione di Newton sullo spazio di caduta della luna in 1 s Previsione..

Geometria per determinare lo spazio di caduta della Luna in un tempo di caduta di 1 s. d = spazio orizzontale che la Luna percorre in 1 s. verifica: MOTO REALE DELLA LUNA Per Pitagora: Ottimo accordo con il valore previsto teoricamente: un esperienza eseguita sulla Terra rivela le leggi del cielo.

SATELLITI ARTIFICIALI IN ORBITE CIRCOLARI Moto circolare uniforme: accelerazione centripeta di modulo costante v 2 /r. Sul satellite agisce la forza gravitazionale: Tale F impartisce al un accelerazione centripeta: lorbita del satellite è un cerchio. v r MTMT m sat Grandezze pertinenti al moto orbitale dei satelliti Velocità alla quale la forza gravitazionale terrestre fa sì che lo spazio che il satellite percorre cadendo sia tale da mantenerlo nella sua orbita. Relazione tra il periodo T ed il raggio dellorbita: caso particolare della 3° legge di Keplero.

FORZA CENTRIFUGA a 0 : è laccelerazione centripeta ( segno - ) rispetto al sistema di riferimento inerziale r : distanza dallasse di rotazione : velocità angolare del sistema di riferimento v = r : velocità del punto f C cresce al crescere di r ed è diretta verso lesterno: FORZA CENTRIFUGA Nei sistemi di riferimento che ruotano di moto circolare uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è presente una forza f C data da:

Esempio: Moto circolare uniforme di un corpo vincolato ad un palo da una fune: mm 1) Nel sistema di riferimento inerziale: Diagramma delle forze: T = mv 2 / r 2) Nel sistema di riferimento in rotazione: T = mv 2 / r f c = mv 2 / r

Applicazione: CENTRIFUGHE Per separare le particelle solide in un liquido, f c ha unazione più efficace della sola gravità R m 2 R mg F RIS mg Asse centrifuga …la rotazione genera f c orizzontale … Sulla particella agisce quindi: F RIS = m 2 R + m g = gravità efficace AUMENTA LA VELOCITÀ DI DERIVA centrifuga ultracentrifuga , , PROPRIETÀ (S -1 ) R(cm) 2 R 2 R/g

Studiamo la velocità di deriva Forza su particella solida di massa m in liquido di massa m 0 e viscosità Gravità efficace corretta per Archimede Forza viscosa resistiva Allequilibrio F RIS = 0, v = v D Per una particella sferica di raggio r K = 6 r Velocità Deriva cresce con r 2 ( corpi grandi! ) :

energia meccanicaenergia elettrica Trasformazione lenergia di un corpo è la misura del lavoro che esso può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova LEnergia nella mutevolezza delle forme e degli scambi di energia, lenergia totale di un sistema (isolato) si conserva. Caratteristica fondamentale di questa grandezza è che ad essa è associato un principio di conservazione : Lesistenza di principi di conservazione è una delle principali scoperte in fisica e rimane inalterata anche nella fisica moderna. Accrescono la nostra comprensione della dinamica e ne semplificano lanalisi.

LEnergia presenta una molteplicità di forme e di processi di scambio: lavoro meccanico, energia cinetica, energia potenziale, calore…. Il lavoro rappresenta lenergia impressa ad un corpo da una forza esterna. Una forza compie lavoro ogni volta che produce uno spostamento del corpo su cui agisce. Nel caso di FORZA COSTANTE : Il lavoro fatto da una F costante è dato dal prodotto dellintensità della F per la proiezione dello spostamento subito dal suo punto di applicazione nella direzione della F. Nel caso di FORZA VARIABILE : Il lavoro fatto da una F variabile quando il suo punto di applicazione si sposta da A a B lungo una curva è dato da: F F ds P1P1 P2P2 lunita di misura è il Joule

Energia cinetica Interpretiamo E cin come: energia associata al moto. Il lavoro compiuto dalla F modifica l E cin Se un corpo di muove sotto lazione di più forze di risultante F : Grandezza scalare Unità di misura: Joule Dipende da m e dallo stato di moto istantaneo di un corpo ( v) …per uno spostamento finito si ottiene: TEOREMA DELLENERGIA CINETICA: (1° risultato verso lindividuazione di un principio di conservazione…) L E cin di un corpo può essere modificata (aumentata E > 0, diminuita E > 0) quando una forza compie un lavoro L 0 e si ha: L = E cin

Energia potenziale U Interpretiamo U come l energia associata alla posizione. È la misura del lavoro che un corpo può compiere in virtù della sua posizione in un campo di forze conservativo. Tale lavoro non dipende dal percorso per andare dal punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B. U è definita a meno di una costante : è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia potenziale senza ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di U e la forza come gradiente. e vale: A B I II

CONSERVAZIONE DELLENERGIA MECCANICA TOTALE LENERGIA MECCANICA TOTALE DI UN SISTEMA È UNA COSTANTE DEL MOTO SE IL SISTEMA È ISOLATO E GLI OGGETTI CHE LO COMPONGONO INTERAGISCONO SOLO MEDIANTE FORZE CONSERVATIVE lllllllllllllll Si definisce Energia Meccanica la quantità: E tot = E cin + U Legge fondamentale di natura: più efficace e profonda del metodo newtoniano

Applicazione: il piano inclinato Galileo solleva la sfera alla quota h dotandola di energia potenziale U. Lasciata libera la sfera acquista velocità v. Durante il moto vale: θ mg h r E tot = U = mgh v = 0 Trovo la costante ponendomi in z = h. Vale: per z h z E = mgh E = mgz + ½ mv²

Si definisce il sistema da studiare. Si sceglie una posizione di riferimento per U=0 e la si usa coerentemente. Si scrive lenergia totale del sistema nel punto, per esempio A, in cui si vuole determinare una certa quantità incognita (come la velocità o la quota); E A = U A + K A. Si trova un altro punto, per esempio il punto B, in cui si conosce tutto riguardo al moto del corpo e si scrive lenergia totale in quel punto: E B = U B + K B. La conservazione dellenergia implica che E A = E B ; si eguagliano le due energie e si risolve rispetto alla quantità incognita. PROCEDIMENTO GENERALE IMPORTANTE: Il procedimento vale anche per forze continuamente variabili