Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Notazione (simboli) Obbiettivo: occorre che si mantengano le tracce, in merito al punteggio, relativamente a che soggetto appartiene, a che tempo si riferisca, e a che gruppo appartiene il soggetto. Pertanto servono 3 deponenti. Occorre porre attenzione, poiché i testi talvolta usano notazioni diverse Y ikj k indica il gruppo, con k che varia da 1 a K (k=1,..,K) i è il soggetto, con i che varia da 1 a M (i=1,..,M) (I 1 =68, I 2 =67) j è il tempo, con j che varia da 1 a J (j=1,..,J)

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Esempio Si considerano 68 persone che si preparano per lesame di ammissione. Ognuna fornisce informazioni sullansia nel mese precedente lesame. Per ogni soggetto, si calcolano 4 punteggi nel corso di ogni settimana relativi al livello dansia Si inserisce un gruppo di controllo di 67 soggetti che non devono sostenere esami, e lo si sottopone al medesimo test per lansia con la medesima cadenza settimanale k indica il gruppo, con k che varia da 1 a 2 (k=1,2) i è il soggetto, con i che varia da 1 a M 1 (i=1,.., 68) e M 2 (i=1,.., 67) (M 1 =68, M 2 =67) j è il tempo

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Strumenti analitici: valori attesi Y ikj è una variabile casuale (v.c.). La lettera latina minuscola indica, come usuale, la singola determinazione o realizzazione. Sovente è prudente pensare ad una possibile distribuzione ancor prima di raccogliere i dati Fra i valori che caratterizzano la distribuzione della (v.c.) ricordiamo: Valori minimo e massimo Valore atteso Variabilità attesa

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Regole per gli operatori valori attesi E(X)= x è il momento primo, la media della v.c. X Sia c una costante (un numero reale) E(c*X) = c*E(X) = c* x E(X+c) = E(X)+c = x +c Sia Y unaltra v.c. E(X+Y) = E(X)+E(Y) = x + y E(X-Y) = E(X)-E(Y) = x - y Considerando entrambe le v.c. X e Y, risulta: E( X) = E[(X 1 +X 2 )/2] =( )/2 = l valore atteso della media di due v.c. è la media dei loro valori attesi

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Varianze attese E[(X- x ) 2 ] = V(X)= s x 2 Sia c una costante (numero reale) V(c*X) = c 2 *V(X) V(X+c) = V(X) Sia Y unaltra (v.c.) indipendente da X V(X+Y) = V(X)+V(Y) = s x 2 + s y 2 V(X-Y) = V(X)+V(Y) = s x 2 + s y 2 In generale, siano Y e X due (v.c.) con covarianza nota, Cov (X,Y) = E[(X- x )(Y- y )] = s xy s x s y r xy V(aX+bY) = a 2 V(X)+b 2 V(Y) + 2ab Cov(X,Y) = a 2 s x 2 +b 2 s y 2 + 2ab s x s y r xy

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Esempio Numerico Valore atteso, varianza e deviazione standard nel campione dei 68 candidati agli esami di ammissione risultano pari a: Y 13 = 1.658,.789,.888 Y 14 = 1.979,.805,.897 Se si aggiunge 10 a ciascun punteggio, i risultati sono Y 13 = ,.789,.888 Y 14 = ,.805,.897 Se, invece, si moltiplica ogni punteggio per 10, i risultati sono Y 13 = 16.58, 78.9, 8.88 Y 14 = 19.79, 80.5, 8.97

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Strumenti analitici : richiami di algebra matriciale Liste ordinate di numeri sono dette vettori Liste ordinate di vettori sono dette matrici E.g.

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Definizioni e operazioni sui vettori Definizione: un vettore è una lista ordinata di numeri : a T = [a 1 a 2... a p ] Trasposta Se a è un vettore con p elementi in colonna, allora a T è un vettore con gli stessi elementi disposti in riga. Somma vettoriale Se a e b sono due vettori con p elementi, (a i, b i ), allora a+b è un nuovo vettore con p elementi dati dalla somma dei rispettivi elementi. [a+b] i = [a i + b i ]

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Definizioni e operazioni sui vettori Moltiplicazione vettoriale Se a e b sono due vettori con p elementi, (a i, b i ) allora a T b = a i b i = a 1 b 1 +a 2 b a p b p Esempio a T = [0 0 –1 1] Y = [Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ] Then, a T Y = Y 4 – Y 3 Questo è un esempio di un vettore contrasto

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Operazioni matriciali Definizione di matrice Una matrice può essere considerata una collezione di vettori E.g.. Una matrice di dati si compone di n righe di p variabili La trasposta di una matrice fa divenire colonne le righe e viceversa Somma matriciale [A+B] ij = [a ij + b ij ] Sottrazione di matrici Matrix [A-B] ij = [a ij - b ij ]

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Moltiplicatione di matrici Una matrice Identità, I, è una matrice quadrata con valori unitari sulla diagonale principale e altrove. A*I = A Se A è una matrice quadrata e di rango pieno (non singolare), allora esiste la sua inversa A -1 tale che A*A -1 = I

Metodi statistici per l'analisi del cambiamento 5/3/ Alcune osservazioni sulle moltiplicazioni matriciali In generale, AB ~= BA La proprietà commutativa non è soddisfatta Quando A e B sono quadrate e di rango pieno (A*B) -1 = B -1 *A -1 E soddisfatta la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma A(B+C) = AB + AC Una matrice A può essere moltiplicata per un numero c, detto scalare, che stabilisce lunità della nuova matrice: cA = [cA ij ]