DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE Lo strato limite è lo strato di fluido in prossimità di una parete solida dove l’azione della viscosità mantiene la velocità prossima a quella della parete. Se la parete è ferma, allora la velocità normale e tangenziale alla parete sono nulle, mentre vicino alla parete sono piccole rispetto a quelle del moto non viscoso ( a potenziale) che si instaura lontano dalla parete. Si consideri il moto a potenziale attorno al corpo riportato sotto. Le linee di corrente sono rettilinee molto lontano dall’oggetto. Il moto a potenziale è soggetto ad una accelerazione attorno al corpo. Inoltre esso soddisfa la condizione di velocità normale nulla alla parete ma non la condizione di non-slittamento alla parete.

Moto a potenziale attorno un oggetto Il moto a potenziale subisce un accelerazione attorno al corpo. Così u(u/s) > 0 lungo le linee di corrente vicino l’oggetto dal punto di stagnazione fino alla sezione A – A’.

Moto effettivo attorno un oggetto Se il corpo è fermo, vi è una regione (per quanto piccola) dove la velocità decade a zero. Tale regione è lo strato limite. Esso è descritto dal numero di Reynolds: lo spessore dello strato limite diminuisce all’aumentare del numero di Reynolds. Consideriamo il caso di numeri di Reynolds alti (ma non tanto da avere moto turbolento) Strato limite

Coordinate locali e spessore dello strato limite Si definisca x la coordinata locale longitidinale ed y quella locale normale alla parete. Sia inoltre (x) una misura dello spessore dello strato limite.

Equazioni di Navier-Stokes e di Continuità per il caso 2D Poichè x-y è un sistema di coordinate locali, esse definiscono un sistema di riferimento curvilineo. Se la curvatura non è troppo alta, le equazioni del moto bidimensionale stazionario (permanente) possono essere approssimate a quelle valide per il sistema cartesiano: N.B: è usata qui solo la pressione dinamica pd. Infatti la pressione totale può essere decomposta come p = ph + pd,, dove la pressione statica ph si elide con il termine gravitazionale.

SCALING La scala caratteristica della velocità nella direzione x è la velocità del moto libero U lontano da parete. La scala spaziale caratteristica nella direzione x è la lunghezza del corpo L. L U

Analisi dimensionale dell’equazione di continuità dentro lo strato limite Il termine u/x è di ordine Consideriamo ora l’equazione dentro lo strato limite. Se la scala spaziale nella direzione normale (y) è assunta pari a  (cioè lo spessore dello strato limite) e la velocità normale è di ordine V, segue dalla stima v/y ~ V/ e dalla relazione che Ne consegue che se /L << 1 allora V/U << 1. L U

Analisi dimensionale dell’equazione della quantità di moto longitudinale all’interno dello lo strato limite L’equazione della quantità di moto longitudinale è Ricordando dal teorema di Bernoulli che pd è di ordine U2 e dalla slide precedente che V ~ (/L) U, i termini dell’equazione sono di ordine: Ricordate: 2u/x2 è di ordine U/L2, e non U2/L2. Moltiplichiamo ora le sopradette stime per L/U2 in modo da ottenere le scale adimensionate per ogni temine relativamente alla scala U2/L:

Dalla slide precedente, la nostra stima dei termini nel bilancio della quantità di moto nello strato limite risulta dove è il numero di Reynolds. Il caso che vogliamo studiare è per alti numeri di Reynolds, così che 1/Re << 1.

I termini viscosi nelle equazioni di Navier-Stokes sono generalmente più piccoli degli altri termini quando il numero di Reynolds è alto. Tuttavia questo non è vero ovunque. Deve infatti esistere una piccola regione dove l’effetto della viscosità diventa importante, tanto da portare la velocità tangenziale a zero in prossimità sulla parete. Tale regione è lo strato limite. Così questo termine può essere trascurato (Re <<, 1), Ma questo termine deve essere mantenuto, indipendentemente dal valore di Re. Così nello strato limite vale la stima

Cosa implica tale stima ? La relazione di scala implica che lo strato limite  diminuisce se il numero di Reynolds Re = (UL)/ aumenta, ma non si annulla mai fintanto che Re rimane finito! Fuori dallo strato limite l’effetto della viscosità può essere completamente trascurato nel bilancio di quantità di moto longitudinale, e dentro lo strato limite l’equazione diventa: L U Questo termine è fondamentale per portare a zero la velocità alla parete

Analisi dimensionale dell’equazione della quantità di moto normale all’interno dello lo strato limite L’equazione per la quantità di moto in direzione normale è Ricordando da Bernoulli che pd scala secondo U2, i termini scalano come: Inoltre ricordando che V ~ (/L)U e moltiplicando ogni termine per (/U2), si ottengono le seguenti scale adimensionate:

SCALING OF THE NORMAL EQUATION OF MOMENTUM BALANCE contd. Dalla slide precedente Ma dalla Slide 14, (/L) ~ (Re)-1/2, quindi la stima diventa Implicando che per alti valori di Re si ottiene,

WHAT DOES THIS ESTIMATE OF PRESSURE SAY? Per valori alti di Reynolds l’equazione di bilancio per la quantità di moto nella direzione normale si riduce: Significa che la pressione dinamica pd(x,y) può essere considerata una costante all’interno dello strato limite. L U Chiamiamo ppd(x,y) la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione del moto a potenziale. Segue allora che pd(x) all’interno dello strato limite può essere ricavato da ppd(x,0): Quindi la soluzione di ogni problema di strato limite richiede anche la soluzione per il moto non viscoso (moto a potenziale).

L’approssimazione per lo strato limite delle equazioni di Navier Stokes Le equazioni per lo strato limite sono: dove ppdp(x) denota la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione di moto a potenziale estrapolata sulla superficie del corpo. Le condizioni al contorno sono L U Così che le componenti tangenziali e normali sono nulle alla parete. Inoltre u deve tendere alla soluzione di moto a potenziale per alti valori di y.