Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss Seconda Lezione Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss

Riassunto della lezione precedente Struttura dell’atomo Legge di Coulomb per cariche discrete (nel vuoto) Legge di Coulomb per distribuzioni di cariche Definizione di intensità del campo elettrico

Stiamo per fare un po’ di conti su una struttura composta da due cariche, il dipolo: perché? Alcune strutture ed alcune molecole si comportano da dipolo Vedremo nelle prossime lezioni che il campo irradiato da una antenna avrà anche un contributo di tipo “dipolo” E’ un utile esercizio per la natura vettoriale delle grandezze I passaggi che seguono sono un po’ “macchinosi”; vedrete in seguito come è possibile ottenere lo stesso risultato grazie a un potente strumento dovuto a Laplace, il potenziale

Campo Elettrico prodotto da un dipolo Il problema ha simmetria cilindrica: il campo non dipende da f Useremo le coordinate sferiche P

Campo Elettrico prodotto da un dipolo ur P uq

Campo Elettrico prodotto da un dipolo ur Tuttavia vale P uq Se P è molto lontano (d<<r):

Campo Elettrico prodotto da un dipolo In coordinate sferiche ur uz P uq uq ur uz Infatti Inoltre (ricordate?…siamo lontani)

Campo Elettrico prodotto da un dipolo Se definiamo Momento di dipolo elettrico E dipende solo da p: se per es. raddoppiamo q e dimezziamo d, il campo non cambia p si definisce anche come un vettore orientato lungo uz

Dipolo ancorato in un campo elettrico uniforme Momento di torsione t t fa ruotare il dipolo in senso orario fino ad allinearlo al campo Le molecole d’acqua sono dipoli

Il forno a microonde... Il campo esterno varia periodicamente

Esperienza di Millikan Raggi X ionizzano dell’olio minerale Una gocciolina può mantenersi sospesa quando forza gravitazionale e campo elettrico si compensano Il raggio della goccia r si può determinare dalla velocità di caduta della goccia quando il campo è nullo: E condizione iniziale v(0)=0

Esperienza di Millikan Soluzione tipo Sostituendo nella om. (eq caratt.) Sostituendo nella complessiva Imponendo condizione iniziale Quindi: rgoccia=800 kg/m3 raria=1.29 kg/m3 h=1.29 Ns/m2

Materiali: prima classificazione Conduttori : sostanze nelle quali alcune o tutte le cariche elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di forze elettriche (elettroni di conduzione nei metalli, ioni nelle soluzioni acquose). Isolanti (dielettrici): gli elettroni sono vincolati agli atomi (es.: vetro, ebanite). Semiconduttori: classe di materiali intermedia tra i conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre elettricità (es. : silicio, germanio). In realtà in questi la conduzione avviene in modo piuttosto peculiare

Altri materiali Superconduttori (scoperti nel 1911; recenti scoperte nel 1997) Nanotubi e nanofili(scoperti nel 1991)

Modalità di conduzione nei solidi Ciascun elettrone in un solido possiede una energia potenziale (livello energetico) Risultato fondamentale della meccanica quantistica è che non tutte le energie sono possibili: esse sono raggruppate in bande le bande sono separate da regioni che indicano energie che gli elettroni non possono avere: bande proibite In un solido gli elettroni più esterni sono quelli che formano i legami: elettroni di valenza; banda di valenza La conduzione avviene se possiamo mettere in moto elettroni (energeticamente: dobbiamo disporre di elettroni in banda di conduzione [energia cinetica]) Banda di conduzione Energia degli elettroni Banda di valenza

Modalità di conduzione nei solidi Si O Si Si Si Si Si Si Energia degli elettroni Gap piccolo: salto termico (rottura legame) Conduttori: “mare” di elettroni liberi Isolanti (SiO2) Semiconduttori

In presenza di materiale: conduttori Un qualunque campo elettrico interno o tangente alla superficie produrrebbe correnti Le cariche si spostano (correnti) e producono a loro volta un campo, fin quando all’equilibrio non c’è nessuna forza e nessun campo All’equilibrio il campo elettrico interno a un conduttore e quello tangente alla superficie DEVONO essere nulli

In presenza di materiale: Dielettrici In presenza di un oggetto carico, ovvero di un campo elettrico, la nuvola si distorce e l’atomo diviene polare Nuvola elettronica in un atomo in assenza di campo Elettrico: l’atomo è neutro Induzione elettrostatica

In presenza di materiale - + E - + E Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la costante dielettrica relativa er

In presenza di materiale Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m2] Nota: questa espressione è vera se il materiale è “lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, e dipende da E Per una carica puntiforme:

Definizione di FLUSSO in elettromagnetismo Campo Uniforme e Ortogonale ad S n E S q S’ Campo Uniforme ma NON Ortogonale ad S

Definizione di FLUSSO ni Ei dsi Il flusso di un campo vettoriale così definito è una quantità scalare. Tale definizione è quella adottata da Maxwell: “In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface"

Carica puntiforme: flusso attraverso una sfera

Carica puntiforme: flusso attraverso una superficie chiusa arbitraria dW Nota che dA cos(q) è anche la proiezione di dA su una sfera di raggio r: poniamo dA’ (del resto per una sfera centrata sulla carica tutto il campo è ortogonale….) l’elemento di angolo solido è per definizione (in steradianti) Poiché l’angolo solido sotteso da una sfera è 4p steradianti Se nella regione vi sono diverse cariche, la procedura è analoga e i contributi di flusso si sommeranno linearmente: pertanto q può essere considerata la carica netta totale

Osservazioni Legge di Gauss in forma Integrale La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto

Legge di Gauss per D Dielettrico Legge di Gauss in forma Integrale Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D: vediamo come Applichiamo il Th. Di Gauss per il campo elettrico ad una carica +Q circondata da un guscio dielettrico Cariche indotte Dielettrico

Dielettrico Legge di Gauss per D Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per r<=R1 Dielettrico Superficie di Gauss

Dielettrico Legge di Gauss per D Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R1<r<=R2 Dielettrico

Dielettrico Legge di Gauss per D Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R3<=r Dielettrico

Legge di Gauss per D Utilizzando il Teorema di Gauss per D invece Nel Dielettrico in particolare, confrontando le due espressioni: Per mezzi lineari possiamo ipotizzare che la carica indotta Q’ sia proporzionale al campo Si definisce Suscettività Elettrica

A cosa serve D D legato alle sole cariche libere D/e0 Campo elettrico in assenza di dielettrico Per mezzo isotropo, lineare ed omogeneo Si definisce anche vettore Polarizzazione P