SOLUZIONE DELLO STRATO LIMITE SU UNA PARETE PIANA Si consideri il seguente scenario Un Moto a potenziale stazionario presenta una velocità longitudinale costante pari a U. Una lastra infinitamente sottile è posizionata all’interno di tale moto in direzione parallela alla velocità U (0 angolo di incidenza). La viscosità dovrebbe ritardare il flusso, così creando uno strato limit su entrambi i lati in maniera simmetrica. Il moto si assume laminare. La teoria dello strato limite permette di calcolare l’attrito sulla piastra.

Un moto a potenziale rettilineo e stazionario presenta pressione nulla ovunque Un moto a potenziale stazionario e rettilineo è descritto dalle seguenti relazioni Secondo il terorema di Bernoulli applicato ai moti a potenziale, la pressione dinamica ppd è legata al campo di moto secondo Dalle due ultime equazioni allora si ottiene

Le equazioni approssimate dello strato limite allora diventano: Condizioni al contorno

Spessore nominale dello strato limite Nel seguito  indicherà lo spessore nominale dello strato limite, che è definito come il valore di y per il quale u = 0.99 U, cioè

Variazione longitudinale dello strato limite Si consideri una piastra lunga L. Basandosi sulle precedenti stime si può scrivere oppure dove C è una costante. Secondo il medesimo ragionamento lo spessore nominale dello strato limite fino ad una distanza x  L dal bordo è pari

Soluzioni autosimili Si supponga che la soluzione ha la proprietà che quando u/U è diagrammata in funzione di y/ (dove (x) è lo spessore nominale dello strato limite) allora si ottiene una funzione universale, in cui non compare nessun’altra dipendenza da x. Tale soluzione è detta soluzione autosimile. Soluzione autosimile Soluzione no autosimile

Per una soluzione autosimile del profilo di velocità si deve avere dove g1 è una funzione universale, indipendente da x (posizione lungo la piastra). Poichè abbiamo ragione di credere dove C è una costante, è possibile riscrivere la soluzione autosimile come Si noti che  è una variabile adimensionale.

Ma il nostro problema ammette soluzioni autosimili? Il problema è: Questo problema può essere ridotto usando le funzioni di corrente (u = /y, v = - /x) alla seguente equazione:

Metodo per tentativi Noi vogliamo che la funzione di corrente fornisca la velocità u = /y soddisfacente la forma autosimile Così possiamo ipotizzare che dove f è un’altra funzione autosimile. Ma questo non funziona. Infatti, usando l’apice per denotare la derivazione rispetto a , se  = f() allora Ma Così che

Cioè se assumiamo Allora otteniamo Da questo primo fallimento nella scelta è possibile capire qual’è la scelta giusta non OK OK

Un altro tentativo Se assumiano Allora si ottiene quindi Così abbiamo trovato una forma di  che soddisfa la condizione di autosimilitudine per la velocità! Dobbiamo ora risolvere la funzione f().

Riduzione da equazione alle derivate parziali a equazione alle derivate ordinarie Il nostro obiettivo è ridurre l’equazione alle derivate parziali ad un equazione alle derivate ordinarie per f(), dove Per fare ciò è necessario ricavare le seguenti relazioni

Il passo successivo è ricavare I termini dell’equazione Cioè abbiamo bisogno di conoscere /y, 2/y2, 3/y3, /x and 2/yx, dove Inoltre sappiamo già che: Così

Usando di nuovo Risolviamo le due rimanenti derivate:

Ricapitolando,

Ora, sostituendo in si ottiene che equivalente a scrivere

Condizini al contorno Dalla Slide 9, le condizioni al contorno sono Ma abbiamo già dimostrato che Inoltre poichè  = 0 quando y = 0, le condizioni al contorno si riducono a Così si hanno tre condizioni al contorno per una equazione differenziale del terzo ordine

SOLUZIONE Vi sono diversi modi per risolvere tale equazione numericamente La soluzione è riportata sotto graficamente

Spessore nominale dello strato limite Si ricorda che lo spessore nominale  è definito in modo che u = 0.99 U quando y = . Poichè u = 0.99 U quando  = 4.91 e  = y[U/(x)]1/2, segue che la relazione per lo spessore nominale dello strato limite è Oppure In questo modo è stata determinata la costante C introdotta nella Slide 5.

Calcolo della forza di trascinamento sulla piastra Si consideri una piastra di lunghezza L e larghezza b: Lo sforzo tangenziale o (forza di trascinamento per unintà di superficie) agente su una faccia della piastra è dato Poichè il campo di moto è assunto uniforme in direzione laterale, la forza totale di trascinamento (su una sola faccia) è data a Il termine u/y = 2/y2 è dato dalla Slide 17 come b L

Lo sforzo di taglio o(x) sulla piastra è allora dato Dalla soluzione di f si ottiene f’’(0) = 0.332, quindi Così lo sforzo alla parete varia come x-1/2. Un esempio è riportato nella slide successiva per il caso U = 10 m/s,  = 1x10-6 m2/s, L = 10 m e  = 1000 kg/m3 (acqua).

U = 0.04 m/s L = 0.1 m  = 1.5x10-5 m2/s  = 1.2 kg/m3 (aria) Si noti che o =  per x = 0.

In realtà la forza di trascinamento converge ad un valore finito: Noi possiamo esprimere le medesime relazioni in forma adimensionale definendo un coefficiente adimensionale di attrito cD come Quindi segue che Per valori di U, L,  E  della precedente slide, e b = 0.05 m, si ottiene che ReL = 267, cD = 0.0407 e FD = 3.90x10-7 Pa.

La relazione è riportata sotto.

REFERENCE La soluzione qui presentata è la soluzione di Blasius-Prandtl per lo strato limite su una lastra piana. Maggiori dettagli sono forniti da: Schlichting, H., 1968, Boundary Layer Theory, McGraw Hill, New York, 748 p.