Settima Lezione Differenze finite per equazioni differenziali, la corrente, legge di Ohm, Campo magnetico e forza di Lorentz, Effetto di Hall

Riassunto della lezione precedente Energia e densità di energia nei condensatori Interpretazione fisica matrice di capacità Equazioni di Laplace e di Poisson Le funzioni complesse analitiche: come rappresentano possibili soluzioni di Laplace in 2D; lo spigolo a lama di coltello Unicità della soluzione eq di L e P Soluzione eq L. e P con separazione delle variabili e serie

Metodi numerici: differenze finite Una tecnica di “discretizzazione” molto diffusa: discretizzare: sostituire a equazioni differenziali/integrali, equazioni algebriche Costruiamo una griglia di punti, ed in alcuni dei punti il potenziale sia assegnato (condizioni al contorno). Siano i quadretti distanziati h Possiamo espandere in serie di Taylor il potenziale in un intorno del punto (x,y) Combinando le due si ottiene

Metodi numerici: differenze finite Per ogni punto della griglia (x0,y0) possiamo rimpiazzare l’equazione differenziale con il suo equivalente alle differenze finite: in esse non compaiono più derivate ma solo F(x0,y0), che divengono le incognite di un sistema ad n incognite ed n equazioni, n è il numero di punti considerato (x0,y0) (x0+h,y0) Un modo approssimato: notate che, dato un punto ed i 4 confinanti, l’eq di Laplace è soddisfatta se il punto centrale ha un potenziale pari alla media dei punti confinanti Sul sito http://www.av8n.com/physics/laplace.html due file Excel (versione “base” e “avanzata” -con un metodo più veloce-) che implementano quest’ultima strategia

Corrente elettrica Abbiamo visto che in un buon conduttore anche a temperatura ambiente una notevole quantità di elettroni è disponibile per il fenomeno della conduzione Si muovono caoticamente a velocità grandi (ordine 106 m/s), ma data una sezione, statisticamente tanti elettroni entrano quanti escono, ed il flusso medio di carica è nullo Se si applica un campo elettrico, il loro moto caotico trasla lentamente, in direzione opposta al campo, così da aversi un flusso netto di carica: velocità di “deriva”; calcoliamola; seconda legge di Newton Definiamo t tempo medio tra due collisioni

Corrente elettrica In un istante dt quanti portatori attraversano una sezione A? immaginiamo di avere n densità volumetrica di elettroni di conduzione e calcoliamo il flusso E I + j v d t A Se consideriamo v uniforme tutto ortogonale ad A possiamo scalarizzare e togliere l’integrale: Quanta carica portano? Definiamo la corrente Misura in Ampère [C/s] Densità di corrente [A]/[m2]

Legge di Ohm Inserendo nella definizione di J il valore della velocità di deriva: Conducibilità: Siemens/metro [S/m] oppure Resistività: Ohm metro [W m] I V A l Applichiamo una ddp V ad un tratto di conduttore: con un flusso di corrente uniforme, E e J saranno uniformi:

Legge di Ohm Unità di misura R nel sistema SI: ohm= volt/ampère (W) Unità di misura G [1/R] nel sistema SI: siemens= ampère/volt (S) V I (1826, George Simon Ohm)

Semiconduttori intrinseci Abbiamo visto che la conduzione avviene per due contributi: elettroni e lacune Si Si Si Si La velocità dei portatori è legata al campo da un fattore (di solito dipendente dal campo) definito mobilità Si Si Posto: n (m-3) = concentrazione degli elettroni p (m-3) = concentrazione delle lacune Gap piccolo: salto termico (rottura legame) Per semiconduttori intrinseci n=p Semiconduttori

Semiconduttori Drogati Si Si B ---------- accettori Drogati p Si Si Si Si P Drogati n donatori ++++++

Giunzione p-n (diodo) Semiconduttore drogato n: eccesso elettroni Semiconduttore drogato p: eccesso lacune ------ +++ E p n Le lacune diffondono in n e gli elettroni in p, lasciando atomi ionizzati (regioni ”svuotate”) Gli atomi ionizzati producono un campo che impedisce ulteriore diffusione La corrente può riprendere solo se si applica una ddp esterna che cancella tale campo elettrico: effetto soglia Se la ddp esterna produce un campo nella stessa direzione di quello prodotto dagli ioni, aumentano le regioni svuotate

Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n È un caso semplice in cui possiamo trovare la soluzione analitica ------ +++ E p n x -dp dA Supponiamo “svuotamento completo”: nella regione p essendo NA densità accettori Integriamo l’eq di Poisson, che in questo caso è monodimensionale, tra -dp ed x Avendo assunto zero il campo all’esterno della regione di carica; integriamo di nuovo, assumendo zero anche il potenziale in x=-dp (tanto contano le differenze….) In particolare in zero avremo quelle che saranno le condizioni al contorno per la regione n:

Soluzione diretta Poisson in giunzione p-n Nella regione p l’eq sarà analogamente Che, integrata due volte come abbiamo appena fatto, e con le condizioni poste per x=0, danno Nell’ottenere l’eq di sopra abbiamo aggiunto l’ulteriore vincolo della conservazione della carica: dopo la migrazione la quantità totale di carica positiva uguaglia quella negativa, cioè Vedete che la differenza di potenziale massima si ha per x=dn, cioè In assenza di potenziale esterno applicato, tale differenza dipende dalla diffusione, ed è chiamato potenziale di “built-in”. Applicando un potenziale esterno si può modificare la posizione di dp (e dn)

Soluzione diretta ------ +++ E p n x -dp dA eND r(x) -eNA dF/dx F(x)

Potenza Applicata una ddp V scorre una corrente I Il campo, nello spostare la carica dq, compie il lavoro Potenza: Watt=Volt Ampère Nei conduttori: Effetto Joule

Conservazione della carica Se in un volume V la carica diminuisce dobbiamo dedurre che c’è un flusso di cariche (corrente) che esce da tale volume quindi Se applichiamo tale principio ad un volume infinitesimo, in modo analogo con quanto facemmo per la legge di Gauss, otteniamo la legge di conservazione di carica in forma differenziale

Conservazione della carica: 1a legge di Kichhoff Dato un insieme di conduttori che confluiscono in un nodo, ovvero un punto privo di fenomeni di accumulo di carica, il principio di conservazione della carica può essere riscritto convenientemente S

Gli esperimenti di Oersted: il Campo Magnetico Hans Christian Oersted, in Danimarca il 4 settembre del 1820 scoprì che un filo percorso da una corrente elettrica deviava l’ago di una bussola. Non riuscì a dare alcuna spiegazione al fenomeno, anche considerato che l’ago non veniva né attratto né respinto, ma si disponeva ad angolo retto con il filo

Un passo avanti nella comprensione del Campo Magnetico: gli esperimenti di Ampère André Marie Ampère capì immediatamente l’importanza dell’esperimento di Oersted: intuì che una medesima forza dovesse agire tra due fili percorsi da corrente che un ago magnetizzato poteva essere usato per misurare la corrente (concetto che in seguito portò a realizzare il galvanometro) postulò che i magneti naturali contenessero piccoli circuiti con correnti in permanente movimento Pubblicò i risultati il 6 novembre dello stesso anno!

Forza di Lorentz Corrente = cariche in movimento Le cariche, una volta in movimento, producono una forza addizionale: il campo di forza magnetico Tale forza è a sua volta rivelato solo da cariche in movimento …Ma il movimento di chi rispetto a cosa?? E’ una forza che dipende dal sistema di riferimento Definiamo un campo vettoriale B, che chiameremo densità di flusso magnetico o induzione magnetica, per mezzo della forza esercitata su una carica in movimento B si misura in Tesla [Vs/m2] = Weber / m2 oppure Gauss (10-4 T)

Data una carica in moto, cosa “vede” un osservatore in P? Il Campo Magnetico: qualche risultato in “dettaglio” Data una carica in moto, cosa “vede” un osservatore in P? La risposta viene dalle trasformazioni relativistiche che restituiscono: v u E B P Se si sostituisce in E il valore di campo prodotto dalla carica e si definisce Si ha ovvero (nel vuoto) H è “l’intensità del Campo Magnetico” e si misura in Ampère/metro

Effetto di Hall I B F L Sia un conduttore percorso da corrente in un campo magnetico - + Gli elettroni subiscono una deviazione dovuta alla forza di Lorentz Cariche negative si accumulano da un lato e richiamano cariche positive sull’altro Le cariche accumulate inducono un campo elettrico, fino a compensare la forza magnetica (e quindi riprendere il normale moto rettilineo) Nota: forza e spostamento ortogonali: Lavoro Nullo