Nella lezione precedente: Abbiamo definito e caratterizzato un’antenna “corta” Calcolato il campo lontano di un dipolo a mezz’onda Antenna Marconiana Monopolo in quarto d’onda su piano di massa Altezza efficace di un’antenna verticale/Orizzontale su piano di massa Altezza efficace di una spira elementare Caratteristiche di un’antenna filiforme rettilinea di lunghezza arbitraria Calcolo della sua impedenza di ingresso: i metodi variazionali Il dipolo ripiegato

Nella lezione precedente: Antenne a banda larga: a onda progressiva Antenne a banda larga: a elica

Dipolo Ripiegato + Riprendiamo un attimo il dipolo ripiegato Abbiamo detto che si analizza considerando la sovrapposizione degli effetti: sovrapponiamo un “modo linea” con corrente di ritorno (caso dispari) ed un “modo antenna” (caso pari) V IA+ IT IA- IT + V/2 IA V/2 + IT + Per il modo antenna: per l’ipotesi sulla spaziatura, vi sarà una differenza di fase trascurabile tra i campi radiati dai singoli conduttori: campo tot. In zona lontana doppio rispetto al singolo conduttore Per il modo linea: per la stessa ipotesi, i campi irradiati si cancellano

Dipolo Ripiegato L’impedenza di ingresso sarà: V IA+ IT IA- IT L’impedenza di ingresso sarà: Ora, nel caso linea, i punti A e B sono allo stesso potenziale per questioni di simmetria. V/2 + IT A B Del resto, nel caso antisimmetrico, come sappiamo, potremmo inserire un muro elettrico nel mezzo. Quindi è come se A e B fossero cortocircuitati. Se indichiamo con ZT l’impedenza di ingresso di un tratto di linea di lunghezza L chiuso su corto circuito, avremo

Dipolo Ripiegato essendo quindi: + V/2 IA Per il modo di antenna invece questi due punti sono allo stesso potenziale V/2, quindi li possiamo mettere in contatto + V/2 IA Dove ZD non differisce di molto dall’impedenza di ingresso di un dipolo ordinario

Dipolo Ripiegato Quindi l’impedenza complessiva di ingresso: Nel caso particolare di dipolo ripiegato di lunghezza 2L=l/2 abbiamo che bL=p/2 Il corto della linea è diventato un aperto e ZT=¥ per cui Quindi ricordando che un dipolo a mezz’onda in risonanza ha una impedenza reale di 70 W, il dipolo ripiegato presenterà un’impedenza di ingresso di circa 280 W.

Dipolo Ripiegato Il dipolo ripiegato ha inoltre una banda intrinsecamente più larga: infatti l’ammettenza di ingresso in condizioni di risonanza è La parte immaginaria ha un effetto compensativo quando si è fuori risonanza, mentre è nulla alla risonanza.

Schiere o “Array” di antenne All’aumentare della lunghezza, un’antenna filiforme presenta crescenti caratteristiche direttive del lobo principale Tuttavia aumenta il numero di lobi secondari vanificando gran parte del vantaggio Per avere caratteristiche direttive occorre usare molteplici antenne e dimensionarle per sfruttare fenomeni di interferenza in aria: le schiere Il campo a grande distanza sarà quindi la somma vettoriale dei campi a grande distanza di ciascun elemento

Schiere o “Array” di antenne: parametri di progetto Disposizione (lineare, circolare, rettangolare ecc.) Distanza relativa tra gli elementi radianti Ampiezza delle eccitazioni su ciascun elemento Fase delle eccitazioni su ciascun elemento Diagramma di radiazione di ciascun elemento

Schiera di due dipoli elementari x y z I0 I0’ z' r' r f' f q q' d dl Due dipoli a distanza d e con correnti diverse Il campo nel punto di osservazione sarà Al solito faremo le approssimazioni (per il modulo)

Schiera di due dipoli elementari mentre per la fase x y z I0 I0’ z' r' r f' f q q' d dl

Schiera di due dipoli elementari Se poi poniamo x y z I0 I0’ z' r' r f' f q q' d dl cioè una sorgente in relazione ad ampiezza e sfasamento dell’altra, avremo Fattore di schiera (array factor) Campo di un singolo elemento in un punto di riferimento (solitamente l’origine)

Schiere Allora abbiamo ottenuto che il campo lontano è il prodotto del campo del singolo elemento della schiera per un fattore che dipende solo dalla schiera (posizione relativa d, sfasamento a, rapporto tra le ampiezze a) [purché la schiera coinvolga un solo tipo di radiatori] Il diagramma di radiazione si può quindi ottenere con la “moltiplicazione dei diagrammi” A tal fine occorre valutare il fattore di schiera: poiché non dipende dalle caratteristiche direttive degli elementi della schiera, si può valutare usando una schiera di antenne isotrope con la stessa distribuzione delle sorgenti e spaziatura (e topologia)

Schiere: (es. ) caratteristiche di due dip Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari con uguale eccitazione distanti l/2 I =I ’ (a=1, a =0); d= l /2 Campo lontano Diagramma di radiazione y z Grafichiamolo sui vari piani: XZ (f=0) x z

Grafichiamolo sul piano YZ (f=p/2) Schiere: (es.) caratteristiche di due dip. Elementari con uguale eccitazione distanti l/2 Grafichiamolo sul piano YZ (f=p/2) x y z y z sinq x y Grafichiamolo sul piano XY (J=p/2)

Impedenza mutua Per avere il diagramma desiderato, dovremo imporre una certa distribuzione di corrente A tal fine occorre conoscere con precisione l’impedenza di ingresso Tuttavia l’impedenza di ingresso di un’antenna è alterata dalla presenza dell’altra: occorre tener conto dei “mutui accoppiamenti” Il modo corretto di trattare un problema in generale è usando una matrice di impedenza che tenga conto di tutto La valutazione di tale matrice è un problema complesso (si è per esempio risolto di nuovo con tecniche variazionali per due antenne filiformi) Per schiere lunghe e con elementi uguali l’effetto del mutuo accoppiamento può talvolta essere ignorato

Impedenza mutua

Schiere Lineari Uniformi n elementi lungo una linea retta equispaziati Correnti ugual ampiezza Sfasamento progressivo x dcosf f 1 2 n-1 d

Schiere Lineari Uniformi La differenza di cammino dell’onda prodotta da due elementi successivi è Cui corrisponde uno sfasamento per differenza di cammino E a cui si sovrappone lo sfasamento della corrente, per cui i campi generati da due elementi successivi arrivano sfasati all’osservatore di x dcosf f 1 2 n-1 d

Schiere Lineari Uniformi Quindi il campo totale sarà Fattore di Schiera Notate che il fattore di schiera è di fatto una serie geometrica del tipo Che ha come somma Quindi il fattore di schiera diventa Simile al Sinc ma periodico (di 2p)

Schiere Lineari : Polinomio associato Se avessimo considerato un array lineare ad elementi equispaziati, ma non necessariamente con la stessa ampiezza di corrente, avremmo più in generale ottenuto Notate che il fattore di schiera è di fatto un polinommio complesso del tipo Tale polinomio si definisce polinomio associato della schiera, introdotto da Schelkunoff nel 1943 Vale quindi il teorema: il fattore di schiera di una schiera ad N elementi è un polinomio di grado N-1; viceversa ogni polinomio di grado N-1 può essere interpretato come fattore di schiera di una schiera ad N elementi equispaziati

Schiere Lineari: Polinomio associato Dato poi che il prodotto di due polinomi è ancora un polinomio, si ha il corollario: Date due schiere lineari, esiste sempre una schiera il cui fattore di schiera è il prodotto dei rispettivi fattori

Schiere Lineari Uniformi Tornando al caso uniforme: Il fattore graficato in Y Notate che Al crescere del numero di elementi il lobo principale (Y =0) si stringe Il numero di lobi secondari aumenta Ma la loro ampiezza diminuisce La larghezza del lobo principale è doppia rispetto a quella dei lobi secondari Visto che il fattore di schiera è calcolato considerando antenne isotrope, esso è simmetrico rispetto all’asse della schiera stessa

Schiere Lineari Uniformi Quindi basta considerare il solo intervallo 0<f<p. Il che, ricordando Implica Spazio visibile della schiera y p -p AF -2p 2p kd+a -kd+a Spazio visibile Può capitare che nello spazio visibile cada più di un lobo principale: tali lobi vengono definiti “Grating Lobes”

Schiere Lineari Uniformi Per esempio: il fattore di schiera è periodico Per cui il lobo principale (Y=0) si ripete Implica Essendo f0 l’angolo del primo lobo Quindi E’ chiaro che più lobi principali cadono nello spazio visibile se tale equazione ha soluzione reale, ovvero se Per m=1 diventa

Schiere Lineari Uniformi Il massimo principale è chiaramente Quindi Per avere una schiera Broadside (lobo principale ortogonale all’asse della schiera) x Schiera lungo z

Schiere Lineari Uniformi Per avere una schiera Endfire (lobo principale lungo l’asse della schiera) oppure x

Schiere Lineari Uniformi Avremo punti in cui il fattore di array si annulla: questi si dicono zeri di radiazione. Nel caso di schiere uniformi avremo quindi quindi gli zeri sono q=1,2.. Ma diverso dai multipli di N ovvero, ricordando il valore di Y chiaramente, all’aumentare del numero di elementi N, anche il numero di zeri aumenta

Schiere Lineari Uniformi Tra due zeri (approssimativamente a metà per N grandi) avremo un massimo. Avremo quindi massimi secondari in corrispondenza dei massimi del numeratore del fattore di schiera ovvero Il primo massimo è per m=1; infatti se mettessimo m=0, avremmo come massimo p/N; ma sappiamo che il primo massimo è a Y=0, il primo nullo è a 2p/N, quindi non può esserci un massimo tra il primo nullo ed il primo zero (massimi e zeri devono alternarsi).

Schiere Lineari Uniformi Quindi il primo lobo secondario si ha per L’ampiezza del primo lobo secondario è allora pari a se N grande (così l’argomento del seno è piccolo ed approssimiamo il seno con il suo argomento L’ampiezza del lobo principale era per Y=0, ovvero larghezza N Quindi in un array lineare uniforme, il primo lobo secondario ha ampiezza 2/3p il lobo principale, ovvero circa -13.5dB sotto al lobo principale indipendentemente dal numero degli elementi

Schiere Lineari Uniformi Tale quantità (rapporto tra l’ampiezza del primo lobo secondario e l’ampiezza del lobo principale, espresso in dB (20Log) si definisce SSL (Side Lobe Level) Quanto trovato dimostra che al crescere di N si arriva ad un punto in cui non si riesce a migliorare tale rapporto che vale al piu’ -13.5 dB per questo genere di schiere

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Il calcolo della direttività è, almeno in linea di principio, semplice …anche se vengono fuori espressioni da incubo…. con Per il fattore di schiera consideriamo N sorgenti puntiformi, che generano quindi un campo lontano Dove A è una costante che dipenderà dalla potenza irradiata dalla schiera

Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Broadside Il risultato per una schiera broadside, che viene fuori riesprimendo in una sommatoria il fattore di schiera, è che se rappresentata al variare del numero di elementi e della spaziatura, graficamente restituisce

Schiere Lineari Uniformi: Direttività schiera Endfire Invece per una schiera endfire

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata Consideriamo: Array lungo Trascuriamo radiazione lobi secondari Assumiamo che tutta la potenza sia irradiata in un angolo solido corrispondente alla larghezza del fascio a metà potenza DqHP Quindi: angolo solido a metà potenza Cui corrisponde una superficie Quindi la densità di potenza della direzione di massima radiazione

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata Quindi: Occorre ora valutare gli angoli nei diversi tipi di schiere Broadside DfHP f N Il campo nella direzione di max vale N Quindi occorre trovare il valore angolare dove esso si riduce di radice di 2: cerchiamo

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata Ora vale: DfHP f N Quindi vera per un’antenna molto direttiva (lobo stretto)

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata In definitiva dobbiamo risolvere l’equazione: cui corrisponde la soluzione approssimata Rispetto alla variabile J invece la schiera è perfettamente simmetrica (simmetria cilindrica rispetto all’asse), quindi Quindi la direttività diventa

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata Nel grafico della direttività rappresenta la tangente alla curva di direttività (nel caso del disegno la tangente è per N=10)

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata Endfire DfHP f ricordate? occorre ora però quindi e l’equazione da risolvere diventa con soluzione approssimata

Schiere Lineari Uniformi: Direttività Approssimata In questo caso, però, la simmetria cilindrica intorno all’asse produce (considerando che irradia in direzione dell’asse) E la direttività diventa

Schiere Lineari non Uniformi Poniamo di avere N elementi equispaziati: il fattore di array è chiaramente evidenziamo nello sfasamento an la parte di sfasamento progressivo scrivendo Deviazione Sfasamento progressivo zn An La porzione di cerchio unitario descritta da z quando f varia tra 0 è p è l’intervallo di visibilità

Schiere Lineari non Uniformi Notate che l’intervallo di visibilità è esattamente un giro per d=l/2, meno per d< l/2 e più di un giro per d> l/2 (grating lobes….) Notate poi che per un polinomio di grado N-1 ci sono N-1 zeri (alcuni possono essere multipli), ed il polinomio può essere riscritto come e il modulo quadrato semplicemente

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale Ha l’obiettivo di NON avere lobi secondari consideriamo due elementi, a distanza d ed alimentati da correnti di ugual ampiezza; il fattore di schiera sarà Sappiamo ora che è possibile costruire un secondo array che ha fattore di schiera pari al quadrato di quello dato, ovvero non rappresenta una schiera uniforme, poiché la ampiezze delle correnti sono nel rapporto 1:2:1, sebbene si tratti di una schiera di elementi equispaziati con fattore di fase progressivo

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale La stessa procedura si può eseguire elevando il polinomio alla m-esima potenza, ottenendo la “schiera binomiale”, con fattore essendo ora tale funzione ha un unico zero di molteplicità m in z=-1 Quindi un unico lobo (purché la spaziatura sia meno di mezza lunghezza d’onda!)

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale Facciamo un grafico al variare dell’ordine Quindi: non ci sono lobi laterali il lobo principale diviene via via più stretto però: Il lobo principale è molto più largo (a parità di elementi) rispetto ad una schiera uniforme Notiamo: la schiera a 3 elementi binomiale ha correnti con ampiezza 1:2:1 (triangolare), ovvero rastremata ai bordi

Schiere Lineari non Uniformi: schiera binomiale Una proprietà che deriviamo (e che risulta poi del tutto generale) è Addolcire la distribuzione spaziale di corrente, in modo che essa diminuisca verso gli estremi della schiera, riduce l’entità dei lobi laterali, ma allarga il lobo principale E’ possibile generalizzare il progetto delle antenne binomiali, considerando potenze m-esime di distribuzioni con più di due elementi. Il numero di zeri ovviamente aumenta (non più solo -1) e quindi ci sono lobi laterali, ma possono essere molto più bassi di una schiera uniforme