LA PROBABILITA’

Esperimento aleatorio e spazio campionario Chiamiamo esperimento aleatorio ogni fenomeno del mondo reale al quale può essere associata una situazione di incertezza. Es: Lancio di un dado, un sondaggio, l’estrazione del Lotto … L’insieme dei possibili risultati di un esperimento aleatorio si dice spazio campionario, e viene indicato con Ω.

Esercitiamoci Individua lo spazio campionario dei seguenti esperimenti aleatori Esperimento aleatorio Spazio campionario Lancio di un dado Lancio di una moneta estrazione numeri tombola estrazione di uno studente per una interrogazione di matematica

Evento aleatorio Chiamiamo evento uno dei possibili esiti di un esperimento aleatorio. In particolare si parla di evento elementare se l’evento aleatorio coincide con uno degli elementi dello spazio campionario, di evento composto negli altri casi. Esempio: Esperiemento: Estrazione di un numero della tombola: Evento elementare: “esce il numero 5” Evento composto: “esce un numero pari”, oppure “esce un numero maggiore di 50”

Insieme di verità Spazio campionario Ad ogni evento corrisponde un sottoinsieme dello spazio campionario, costituito da tutti e soli gli elementi che lo verificano: questo sottoinsieme è “l’insieme di verità dell’evento” Esempio: Esperimento: lancio del dado Evento aleatorio: esce un numero pari Insieme di verità: A = {2,4,6} 1 2 6 3 4 5 Insieme di verità evento composto Insieme di verità evento elementare

Insieme di verità L’evento che ha come insieme di verità l’intero spazio campionario, e quindi si verifica sempre, viene detto evento certo. L’evento che ha come insieme di verità l’insieme vuoto è detto evento impossibile, in quanto non si verifica mai. Es: Evento aleatorio certo: “esce un numero minore di 7” Evento aleatorio impossibile: “esce il numero 8”. RICORDA I SOTTOINSIEMI BANALI: L’INSIEME STESSO E L’INSIEME VUOTO

Esercitiamoci Individua l’insieme di verità dei seguenti eventi relativi al lancio di un dado. Evento aleatorio Insieme di verità ESCE UN NUMERO DISPARI ESCE UN NUMERO MAGGIORE O UGUALE A 2 ESCE UN NUMERO MULTIPLO DEL 3 ESCE IL NUMERO 7

Dal libro di testo

Definizione di probabilità Chiamiamo probabilità di un evento E un numero che esprime una stima della possibilità che esso si verifichi, e si indica p(E). LA DEFINIZIONE CLASSICA UTILE PER ESTRAZIONI DEL LOTTO, CARTE, DADI… La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli f e il numero degli eventi elementari n dello spazio campionario Ω, nell’ipotesi che questo sia un insieme finito.

Esercitiamoci Evento aleatorio E f n p(E) Estrazione del primo numero della tombola che esca un numero minore di 10. Nel lancio di un dado la probabilità che esca 5. Nel lancio del dado la probabilità che esca un numero minore di 4. Nel mazzo di 40 carte la probabilità che esca un re. Nel mazzo di 40 carte che esca bastoni

Esercitiamoci ancora Un astuccio contiene 4 biro blu, 6 biro rosse, 3 matite, 8 pennarelli. Calcola al probabilità che prendendo a caso un oggetto esso sia: a) Un pennarello b) Una matita c) Una biro blu d) Una biro rossa

Esercitiamoci ancora Supponiamo di aver estratto già un pennarello, calcoliamo nuovamente le probabilità per una seconda estrazione: a) Un pennarello b) Una matita c) Una biro blu d) Una biro rossa

Dal libro di testo

Dal libro di testo

Il teorema della probabilità contraria Consideriamo un esperimento aleatorio : estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte Eventi : “ esce una carta di cuori” e “ non esce una carta di cuori” Questi due eventi sono uno la negazione dell’altro, dal punto di vista insiemistico se E è l’insieme di verità dell’uno il suo complementare Ē è l’insieme di verità dell’altro. Allora p(E) + p(Ē) = 1 Infatti se n è il numero dei casi possibili e f è il numero dei casi favorevoli all’evento E, il numero dei casi favorevoli all’evento Ē è n - f quindi

Esempio del teorema della probabilità contraria Se p è la probabilità di un evento E, allora la probabilità Ē dell’evento contrario è p(Ē) = 1 – p Se il mazzo ha 52 carte: Dato l’evento E: “ esce una carta di cuori” p(E)= 13/52=1/4 Allora Ē: “non esce una carta di cuori” p(Ē)= 1 - 1/4=3/4

Esperimento aleatorio: estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte Esercitiamoci Esperimento aleatorio: estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte EVENTO SIMBOLO PROBABILITÀ Esce una donna E Ē

L’evento unione Esperimento aleatorio: estraiamo una pallina da un’urna che ne contiene di rosse, nere e gialle. Evento aleatorio: “esce una pallina rossa o nera” Possiamo considerare E come l’unione dei seguenti eventi: A : “ esce una pallina rossa” B : “ esce una pallina nera” E = A U B

Evento Unione In definitiva: Eventi incompatibili A∩B = vuoto F1 casi favorevoli evento A F2 casi favorevoli evento B Il numero dei casi favorevoli all’evento E sarà f1+f2 Eventi compatibili A∩B ≠ vuoto K in numero degli elementi dell’insieme A∩B Il numero dei casi favorevoli all’evento E sarà f1+f2-k In definitiva:

Esercitiamoci 1 Considera i due eventi relativi al lancio di un dado “si ottiene il numero 5” e “ si ottiene un numero pari”. Calcola la probabilità dell’evento unione di quelli considerati. E se gli eventi dei quali si considera l’unione fossero “ si ottiene il numero 5” e “ si ottiene un numero dispari?

Esercitiamoci 2 Si estrae una carta a caso da un mazzo da 40. Calcola la probabilità dell’evento E : “esce un sette o una carta di spade” dopo aver individuato i due eventi che formano E.

Risposte corrette Esercizio 1 2/3; 1/2 Esercizio 2: 13/40

La probabilità condizionata Avere delle informazioni in più, modifica il valore della probabilità di un evento? ESEMPIO 1: Estrazione di una carta da un mazzo di 52 e consideriamo l’evento A: “esce una figura”. Possiamo dire subito che p(A) = Supponiamo che qualcuno abbia visto che è B: “uscita una carta di fiori”, come cambia la valutazione di p(A) con questa nuova informazione? p*(A) =

La probabilità condizionata ESEMPIO: Un’urna contiene 20 palline rosse, 10 palline nere tutte uguali per forma, dimensione e peso; di quelle rosse si sa che 15 sono di vetro e le altre sono di plastica, mentre di quelle nere 2 sono di vetro e 8 sono di plastica. Sia A: “la pallina estratta è di vetro”. Possiamo dire subito che p(A) = Supponiamo che qualcuno abbia visto che “la pallina estratta è rossa”, come cambia la valutazione di p(A) con questa nuova informazione? p*(A) =

La probabilità condizionata e l’evento intersezione Considerati due eventi aleatori di un medesimo esperimento aleatorio, si dice che la probabilità condizionata di A rispetto a B, e si indica col simbolo La probabilità che si verifichi A supposto di sapere che si è verificato B. Diremo eventi INDIPENDENTI se Come nell’esempio 1 Diremo che i due eventi sono DIPENDENTI se Come nell’esempio 2

L’evento intersezione e il teorema della probabilità composta ESEMPIO 1: Estrazione di una carta da un mazzo di 52 e consideriamo l’evento E: “esce una figura di fiori”. Lo pensiamo come evento intersezione di A: “esce una figura” e B: “esce una carta di fiori” p(E) = p( A ∩ B ) p(B) p(A|B)

L’evento intersezione e il teorema della probabilità composta ESEMPIO 2: Estrazione di una pallina dall’urna dell’esempio, consideriamo l’evento E: “la pallina estratta è rossa e di vetro”. Lo pensiamo come evento intersezione di A: “la pallina è di vetro” e B: “la pallina è rossa” p(E) = p( A ∩ B ) P(B) p(A|B)

Teorema della probabilità composta Dati gli eventi A e B di un medesimo esperimento aleatorio, la probabilità dell’evento A ∩ B è uguale al prodotto della probabilità di uno dei due eventi per la probabilità condizionata dell’altro, supposto che il primo si sia verificato. p(A∩B) = p(A|B) • p(B) oppure p(A∩B) = p(B|A) • p(A)

ESEMPIO 1 Si lancia una moneta e contemporaneamente di estrae una pallina da un’urna che ne contiene 2 rosse, 3 bianche e 5 nere e si vuole valutare la probabilità dell’evento E: “esce testa e viene estratta una pallina rossa.”

ESEMPIO 2 Da un’urna che contiene 2 palline rosse, 3 bianche e 5 nere e si vuole valutare la probabilità dell’evento E: “escono due palline bianche” nei due casi: La pallina estratta viene rimessa nell’urna (reimbussolamento) La pallina estratta non viene rimessa nell’urna.

bisogna applicare sia l'unione che l'intersezione ESEMPIO 3 Un dado viene truccato in modo che i numeri dispari abbiano una probabilità di uscire maggiore di quella dei numeri pari ed in particolare ciascun numero pari ha probabilità 1/9 mentre ciascun numero dispari ha probabilità 2/9 . Se si lancia un dado tre volte, calcoliamo la probabilità dei seguenti eventi: Escono tre numeri dispari Escono due numeri pari e un numero dispari. Per valutare le probabilità composte di un esperimento che viene ripetuto più volte, è utile ricorrere al DIAGRAMMA AD ALBERO. bisogna applicare sia l'unione che l'intersezione

risposte Esempio 1: 1/10 Esempio 2: 9/100; 1/15 Esempio 3: 8/27; 2/9

Dal libro di testo

Dal libro di testo

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Prepariamoci all’INVALSI

Prepariamoci all’INVALSI Quale tra i seguenti eventi ha maggiore probabilità di verificarsi? A. Ottenere testa sette volte di seguito nel lancio di una moneta. B. Ottenere somma 3 nel lancio simultaneo di tre dadi a sei facce. C. Estrarre uno dopo l’altro i quattro assi da un mazzo di quaranta carte. D. Ottenere 6 per tre volte di seguito nel lancio ripetuto di un dado a sei facce.

Prepariamoci all’INVALSI

Dal libro di testo

Prepariamoci all’INVALSI Nella città di Springfield sono in circolazione solamente due tipi di automobile, le Furlong, che sono i 2/5 del totale, e le Toyoma, che costituiscono i rimanenti 3/5. Qual è la probabilità di vedere per strada due Furlong, una di seguito all’altra?

RISPOSTE NUMERO DIAPOSITIVA RISPOSTA CORRETTA 30 1/6 31 A 32 B 33

Prepariamoci all’INVALSI

Prepariamoci all’INVALSI Osservando per un intervallo di tempo le automobili in transito in un certo punto della città, si è potuta compilare la seguente tabella relativamente al colore delle automobili di una marca X: Dovendo fare una previsione riguardo alla prossima automobile di marca X che si osserverà, in base a questa tabella, quale tra le seguenti affermazioni ritieni falsa?   A. Se è di modello C, è più probabile che sia nera piuttosto che rossa. B. Se è blu, è più probabile che sia di modello A piuttosto che B o C. C. È più probabile che sia bianca o nera piuttosto che di qualsiasi altro colore. D. La probabilità che sia blu e di modello C è 1/6

Prepariamoci all’INVALSI

Prepariamoci all’INVALSI

RISPOSTE NUMERO DIAPOSITIVA RISPOSTA CORRETTA 35 C 36 37 38 A