Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 15 - Ricerca locale Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. © Alberto Montresor

Un approccio miope, ma talvolta efficace è quello della ricerca locale Introduzione Un approccio miope, ma talvolta efficace è quello della ricerca locale se si conosce una soluzione ammissibile (non necessariamente ottima) ad un problema di ottimizzazione, si può cercare di trovare una soluzione migliore nelle “vicinanze” di quella precedente. Si continua in questo modo fino a quando non si è più in grado di trovare soluzioni migliori © Alberto Montresor

1,3,4,7 ha zero inversioni (è ordinata) Shell-sort Definizione In una sequenza di n elementi a1, ..., an, un’inversione è data da una coppia di elementi ai e aj tali che i < j e ai > aj. Il problema dell’ordinamento degli n elementi può essere formulato come problema di ottimizzazione nel modo seguente: ordinamento Data la sequenza a1, . . . , an, trovare una permutazione degli n elementi che minimizzi il numero totale di inversioni Esempio: 1,7,3,4 ha due inversioni 1,3,4,7 ha zero inversioni (è ordinata) © Alberto Montresor

sia π una permutazione degli indici 1,...,n Shell-sort Definizioni si supponga per semplicità che gli n elementi a1, ..., an siano tutti distinti sia π una permutazione degli indici 1,...,n sia aπ la corrispondente permutazione degli elementi. sia aπ − {ai} la sequenza aπ dalla quale è stato tolto un generico elemento ai. Un intorno I(aπ) può essere definito come l’insieme di tutte le permutazioni di aπ che, a meno di un elemento ai, hanno elementi uguali nella stessa posizione relativa: Criterio di miglioramento Le sequenze di I(1,7,3,4) che diminuiscono il numero di inversioni sono 1, 3, 7, 4 e 1, 3, 4, 7 © Alberto Montresor

Lavora riducendo il numero di inversioni nella sequenza originale Shell-sort Insertion sort Lavora riducendo il numero di inversioni nella sequenza originale Vantaggi Richiede pochi passi quando la sequenza è “quasi” ordinata (poche inversioni) Svantaggi Sposta solo elementi adiacenti fra di loro, eliminando ad ogni passo una sola inversione Shell-sort E’ possibile mantenere i vantaggi di Insertion Sort, eliminando gli svantaggi? Algoritmo proposto da Shell nel 1959 © Alberto Montresor

Shell-sort Idea Invece di considerare elementi a distanza 1, considera elementi a distanza... 1093, 364, 121, 40, 13, 4, 1 © Alberto Montresor

Esempio di funzionamento Shell-sort Esempio di funzionamento © Alberto Montresor

Alcuni commenti sulla complessità Shell-sort Alcuni commenti sulla complessità © Alberto Montresor

Ordinamento iterativo, in loco Shell-sort Commenti finali Valida alternativa ad algoritmi asintoticamente più efficienti per valori di n non troppo elevati Ordinamento iterativo, in loco © Alberto Montresor

Una rete di flusso G = (V,E,s,p,c) è data da Problemi di flusso Rete di flusso Una rete di flusso G = (V,E,s,p,c) è data da un grafo orientato G = (V,E), da una coppia di vertici di V detti sorgente s e pozzo p, da una funzione di capacità a valori interi positivi c:V ×V →Z+ ∪{0}, tale per cui c(u,v)=0 se (u,v) ∈ E. Flusso Una funzione a valori interi f : V × V → Z che soddisfa le seguenti proprietà Simmetria opposta: f(u, v) = −f (v, u) per ogni coppia u, v ∈ V Vincolo di capacità: f(u, v) ≤ c(u, v) per ogni coppia u,v ∈ V Conservazione del flusso: ∑v f(u, v) = 0 per ogni nodo u ∈ V − {s, p} © Alberto Montresor

Il valore di un flusso f è la quantità di flusso uscente da s. Definizioni Valore di flusso Il valore di un flusso f è la quantità di flusso uscente da s. Problema flusso massimo Data una rete G=(V,S,s,p,c), si vuole trovare un flusso f* di valore massimo: © Alberto Montresor

Un flusso nullo è una funzione f0 :V ×V →R+ ∪{0} tale che f0(u,v) = 0. Definizioni Capacità residua La capacità residua di un flusso f in una rete G = (V, E, s, p, c) è una funzione r :V ×V →R+ ∪{0} tale che r(u,v) = c(u,v)−f(u,v). Rete residua La rete di flusso residua R=(V, Er, s, p, r) ha lo stesso insieme di nodi, la stessa sorgente e pozzo, la capacità residua r, mentre l’insieme Er contiene un arco per tutte le coppie di nodi u,v tali che r(u,v) > 0 Flusso nullo Un flusso nullo è una funzione f0 :V ×V →R+ ∪{0} tale che f0(u,v) = 0. Somma di flussi f1+f2 è una funzione tale per cui (f1+f2)(u,v) = f1(u)+f2(v) © Alberto Montresor

Un cammino aumentante per f è un cammino da s a p in R. Definizioni Cammino aumentante Un cammino aumentante per f è un cammino da s a p in R. Capacità del cammino è uguale alla capacità più piccola tra quelle di tutti gli archi (u, v) che compaiono nel cammino Flusso aumentante Dato un cammino aumentante (u1, u2), (u2, u3), ..., (un-1, un) con s≡u1, p=un, e la sua capacità δ, si definisce un flusso aumentante g come segue: g(ui-1, ui) = δ, g(ui, ui-1) = δ g(u,v) = 0 altrimenti © Alberto Montresor

Metodo delle reti residue Idea informale Si costruisce il flusso ottimo a partire da un flusso ammissibile, cercando nell’intorno di quest’ultimo. Il flusso corrente f viene inizializzato con il flusso nullo f0 Si ripeteno le seguenti operazioni Si calcola la rete residua R=(V,E,s,t,cf) ottenuta dalla rete originale sostituendo la capacità residua alla capacità originale Si cerca un flusso aumentante g per R Si somma g ad f finché g ≠ f0 © Alberto Montresor

Metodo delle reti residue © Alberto Montresor

Versione in Java © Alberto Montresor

Versione in Java © Alberto Montresor

Esempio © Alberto Montresor

Esempio © Alberto Montresor

La capacità del taglio è c(S, P ) = ∑u∈S,v∈P c(u, v). Definizioni Un taglio (S,P) è una partizione dell’insieme dei nodi tale che s∈S, p∈P, S∪P =V, ed S∩P =∅. La capacità del taglio è c(S, P ) = ∑u∈S,v∈P c(u, v). Un taglio di capacità minima è detto taglio minimo. Se f è un flusso ed (S, P) è un taglio, allora il flusso che attraversa il taglio è © Alberto Montresor

Alcune proprietà interessanti Lemma Il valore di un flusso è uguale al flusso che attraversa un qualsiasi taglio, il quale a sua volta non supera la capacità del taglio stesso, cioè che |f| = f(S,P) ≤ c(S,P) Dimostrazione: alla lavagna Teorema (flusso massimo / taglio minimo) Le condizioni seguenti sono tra loro equivalenti: f è un flusso massimo non esiste alcun cammino aumentante per f esiste un taglio (S,P) tale che |f| = c(S,P) © Alberto Montresor

Assume che la capacità siano intere Alcune varianti Ford-Fulkerson (1956) Si trova un cammino aumentante utilizzando un qualunque algoritmo di visita Assume che la capacità siano intere Ogni cammino aumentante aumenta il flusso di almeno 1 Complessità: O(|f*| (m+n)) (valore del flusso massimo × costo di una visita) Edmonds-Karp (1972) Basato su visite in ampiezza Complessità: O(nm2) Nota: caso particolare di Ford-Fulkerson, vale il limite superiore più stretto Algoritmo dei tre indiani (Kumar, Malhotra, Maheswari, 1978) Complessità: O(n3) © Alberto Montresor