Lezione 14 Fenomeni ondulatori

Tipi fondamentali di onde Onde trasversali: l’oscillazione (o la perturbazione) è in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda (il moto del punto P è verticale mentre l’onda viaggia in orizzontale) Onde longitudinali: l’oscillazione (o la perturbazione) è nella stessa direzione di propagazione dell’onda (il movimento è orizzontale come la velocità; ad esempio le onde sonore sono longitudinali) Onde miste: combinazione di moti trasversali e longitudinali. Nelle onde sulla superficie dell’acqua le particelle hanno un movimento quasi circolare. Le onde trasversali richiedono che il mezzo offra resistenza agli sforzi di taglio  nei gas non si possono avere onde trasversali, ma solo longitudinali Fenomeni ondulatori

Come si descrive la propagazione di un'onda? Ad un certo istante l’onda è descritta da una funzione y = f(x) che ne da' la forma spaziale (come se scattassimo una foto) Concentriamo l'attenzione sul punto in cui l'altezza dell'onda e' yM che a un certo istante to = 0 si trova nella posizione xo P Dopo un tempo t l’onda si è spostata di vt, e il punto di ampiezza yM si trova nel punto x1=xo+vt, quindi si ha f(xo) = f(x1) = f(xo – vt), cioe' non sono gli elementi del mezzo a conservare lo spostamento ma i punti sulla forma dell'onda Se tutti i punti viaggiano alla stessa velocita’ la forma della perturbazione non cambia e si sposta mantenendo inalterata la sua forma FIGURE 13.5 (Example 13.1) Graphs of the function y(x, t) = 2.0/[(x - 3.0t)2 + 1] at (a) t = 0, (b) t = 1.0 s, and (c) t = 2.0 s. P Dopo il passaggio della perturbazione, gli elementi del mezzo tornano alla posizione di equilibrio  quello che si propaga e’ la perturbazione, non il mezzo attraversato dalla pertubazione, Fenomeni ondulatori

y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda) A meno di effetti di distorsione l’impulso si propaga rigidamente: la forma resta invariata y = f (x) a t=0. Dopo t lo spostamento verticale del punto P è y = f (x – vt) f(x,t) funzione d’onda FIGURE 13.4 A one-dimensional pulse traveling to the right with a speed v. (a) At t = 0, the shape of the pulse is given by y = f(x). (b) At some later time t, the shape remains unchanged and the vertical position of any element of the medium is given by y = f(x - vt). y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda) Fenomeni ondulatori

Fenomeni ondulatori

Le onde sono spesso prodotte da oscillazioni (anche non regolari) di oggetti che trasmettono energia al mezzo Onde generate da un pennino connesso ad una massa oscillante Onda generata da un singolo impulso in moto lungo una corda tesa Onda acustica generata dalla compressione del fluido Fenomeni ondulatori

Onde sinusoidali y(x,t) = A sin[b(x-vt)] Onda sinusoidale: singoli punti oscillano come oscillatori armonici semplici y(x,t) = A sin[b(x-vt)] Ampiezza della perturbazione nella posizione x all'istante t Fattore oscillatorio Fase dell'onda in radianti, b e' un fattore che fa si che la fase abbia le dimensioni di un angolo Fenomeni ondulatori

vel di propagazione dell'onda Le onde possiedono due tipi di periodicita': Spaziale  se fissiamo t (cioe' scattiamo un'istantanea dell'onda), le oscillazioni si ripetono a intervalli , che e' la lunghezza d'onda Temporale  se ci mettiamo in una posizione fissa e guardiamo gli spostamenti dalla posizione di equilibrio del punto in funzione del tempo, le oscillazioni si ripetono dopo un intervallo di tempo T, che e' il periodo dell'onda t fisso cresta nodo ventre  e T non sono indipendenti: in un periodo T, l'onda si sposta di una lunghezza , cioe' /T= v, vel di propagazione dell'onda x fisso FIGURE 13.6 (a) A graph of the y position of elements of a medium versus x position, measured along the length of the medium. The wavelength  of a wave is the distance between adjacent crests or adjacent troughs. (b) A graph of the y position of one element of the medium as a function of time. The period T of the wave is the same as the time interval required for the element to complete one oscillation. NB: l'onda armonica o onda piana e' infinitamente estesa nel tempo e nello spazio,percio' rappresenta una idealizzazione. In pratica tutte le onde hanno un'estensione limitata nel tempo e nello spazio –si parla di treni di onde o di pacchetti di onde Fenomeni ondulatori

onda verso destra  y = A sin (k x – wt) lunghezza d’onda l periodo T L'argomento del fattore oscillatorio deve avere le dimensioni di un angolo, cioe' deve essere adimensionale e al tempo stesso dipendere dalla combinazione x-vt  si introduce quindi la quantita' b = 2/ ´ k detto numero d'onda che ha dimensioni [L]-1 (inverso di una lunghezza), cosi' che la fase sia un numero privo di dimensioni fisiche Ma  /T= v  v = /T  y = A sin (k x – wt) lunghezza d’onda l periodo T frequenza = 1/ T velocita' di prop. V = l / T ampiezza A numero d’onda k=2p/l pulsazione ω= 2p/T = 2 FIGURE 13.8 A one-dimensional sinusoidal wave traveling to the right with a speed v. The brown curve represents a snapshot of the wave at t = 0, and the blue curve represents a snapshot at some later time t. onda verso destra Fenomeni ondulatori

Meccanismo di propagazione delle onde meccaniche La propagazione delle onde dipende da una proprieta’ inerziale del mezzo, cioe’ capacita’ di immagazzinare energia cinetica e da una sua proprieta’ elastica, cioe’ capacita’ di immagazzinare energia potenziale elastica La relazione  = v (1) fissa la relazione fra lunghezza d'onda e periodo: la sorgente fissa per esempio la frequenza (p es quanto rapidamente agito la mano nell'acqua); le proprieta' fisiche fissano la velocita' di propagazione v, la relazione (1) fissa  Il periodo dell'onda (cioe' la frequenza) e' lo stesso della sorgente, esso non cambia durante il moto (ie se v diminuisce, lambda aumenta e viceversa) Fenomeni ondulatori

Il fronte d’onda In un mezzo omogeneo e isotropo le onde si propagano in linea retta Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti dello spazio a t = costante in cui la fase dell'onda ha lo stesso valore, cioe' il luogo dei punti che ad un dato t hanno la stessa ampiezza I fronti d'onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda Fronte d’onda piano: la sorgente e' una sorgente a simmetria piana a sinistra Fronte d’onda circolare: la sorgente delle onde è una sorgente puntiforme al centro Vista trasversale Fenomeni ondulatori

I raggi d’onda La direzione di propagazione di un'onda e' individuata dal raggio dell'onda I raggi sono le direzioni perpendicolari ai fronti d'onda Fronte d’onda piano: i raggi sono tutti paralleli fra loro (tecnicamente individuano la giacitura del piano) Fronte d’onda circolare o sferica: la sorgente delle onde è un punto al centro, i raggi sono semirette radiali raggio raggio Fenomeni ondulatori

Onde sferiche o circolari Sasso che cade in acqua Se la velocità dell’onda è la stessa in tutte le direzioni, il fronte d’onda coincide con il luogo geometrico dei punti equidistanti dalla sorgente e raggiunti dall’onda stessa all'istante considerato. Ad esempio: Sorgente Fronte d’onda Esempi Puntiforme Onde sferiche o circolari Sasso che cade in acqua Filiforme Onde cilindriche Onda sonora generata da una fila di auto in colonna Piana Onde piane Lamina bidimensionale vibrante Fenomeni ondulatori

Fronti d'onda Fenomeni ondulatori

Energia delle onde Le onde trasmettono energia ne quantita' di moto: se appendiamo una piccola massa alla corda, essa si solleva quando viene raggiunta dalla perturbazione  essa acquista energia cinetica e potenziale (poiche' la sua quota viene variata) a spese di quella trasportata dall'onda FIGURE 13.16 (a) A pulse traveling to the right on a stretched string on which an object has been suspended. (b) Energy is transmitted to the suspended object when the pulse arrives. Fenomeni ondulatori

Intensita' di un'onda Oltre alla frequenza, lunghezza d'onda e velocita' di propagazione, c'e' anche un altro parametro importante per un'onda: la sua intensita' E' definita come la potenza che attraversa un fronte d'onda di "area" unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione I = P/S e si misura in W/m2 Come ci accorgiamo quando un "intenso" rumore ci impedisce di dormire O un'onda marina "intensa" ci manda a gambe all'aria in riva al mare O quando "non c'e' campo" per il telefonino... In tutti i casi non importa quale sia la velocita' o frequenza, importa quanta energia riceviamo per unita' di superficie sensibile (timpano, corpo, antenna), la potenza totale ricevuta dipende poi da quanto e' grande la superficie ricevente: P = I£S Fenomeni ondulatori

Intensita' di un'onda 3D I = P/(4R2) L'energia trasportata e' trasferita al mezzo dalla sorgente (che deve compiere lavoro) Se nel mezzo non ci sono sorgenti o pozzi che possono immettere o assorbire energia, l'energia totale dell'onda si conserva Nel corso della propagazione il fronte d'onda si espande, aumentando la dimensione, p. es. la superficie nel caso di onde sferiche  la stessa energia si distribuisce su una superficie sempre piu' grande S R1 R2 Se la sorgente emette una potenza P (=E/t), dopo un tempo T1, la stessa potenza si trova distribuita su un fronte d'onda di superficie A1 a distanza R1 dalla sorgente, P1 = P; dopo un tempo T2, la stessa potenza P e' distribuita su un fronte d'onda a distanza R2, P2 = P tenendo conto che A =4R2 Dato che I = P/S  P = I1A1 = I2A2  I2 = (A1/A2)I1 = (R12/R22)I1 Quindi, se misuriamo l'intensita' I1 a distanza R1, sappiamo che essa decresce con il quadrato della distanza dalla sorgente (ie pensate fissati e noti I1 ed R1) Dato che deve essere P = IA = I 4 R2, cioe' quando sommiamo l'intensita' su tutto il fronte d'onda dobbiamo ritrovare la stessa potenza emessa dalla sorgente  I = P/(4R2) Fenomeni ondulatori

Intensita' sonora L'orecchio umano percepisce l'intensita' sonora con una scala logaritmica Fenomeni ondulatori

Esempio Fenomeni ondulatori

Principio di sovrapposizione In matematica: proprietà algebrica dei sistemi di equazioni lineari, se esistono più soluzioni, ogni combinazione lineare di queste sarà ancora soluzione del sistema. In fisica: stesso principio dove “le equazioni” sono le equazioni dinamiche del sistema (per es. equazioni del moto) e le soluzioni sono le evoluzioni temporali del sistema. se F1(x,t) ed F2(x,t) soluzioni F(x,t) = a F1(x,t) + b F2(x,t) è ancora soluzione Fenomeni ondulatori

…applicato alle onde In ogni punto dello spazio in cui due onde incidono, l’oscillazione complessiva è la somma algebrica delle oscillazioni delle due onde incidenti. Le onde generano figure complesse nelle regioni in cui si “scontrano”,ma, apparentemente si ignorano, emergendo da queste zone esattamente come vi erano entrate. Fenomeni ondulatori

Le perturbazioni hanno lo stesso segno quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in fase): l'ampiezza risultante e' amplificata (rispetto alle singole onde) FIGURE 14.1 (Left) Two pulses traveling on a stretched string in opposite directions pass through each other. When the pulses overlap, as in (b) and (c), the net displacement of each element of the string equals the sum of the displacements produced by each pulse. Because each pulse produces positive displacements of the string, we refer to their superposition as constructive interference. (Right) Photograph of the superposition of two equal and symmetric pulses traveling in opposite directions on a stretched spring. Fenomeni ondulatori

La perturbazioni hanno segno opposto quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in opposizione di fase): l'ampiezza risultante e' diminuita (rispetto alle singole onde) FIGURE 14.2 (Left) Two pulses traveling in opposite directions with displacements that are inverted relative to each other. When the two overlap as in (c), their displacements subtract from each other. (Right) Photograph of the superposition of two symmetric pulses traveling in opposite directions, where one is inverted relative to the other. Fenomeni ondulatori

Sovrapposizione e interferenza La combinazione di onde nella stessa regione di spazio è detta interferenza Fenomeni ondulatori

Sovrapposizione ed interferenza di onde sinusoidali Caso di onde che si propagano nella stessa direzione e verso Fenomeni ondulatori

interferenza e coerenza Quando due sorgenti hanno in ogni punto una differenza di fase costante nel tempo (ma che puo' cambiare da punto a punto nello spazio) si dicono coerenti L'interferenza avviene solo fra sorgenti coerenti (ecco perche' quando parliamo in piu' d'uno, p es, non si ha interferenza) Si puo' dimostrare che Itot = (I12 + I22 + 2I1I2cos(/2))1/2 interferenza costruttiva interferenza distruttiva Infatti se  = (t) (cioe' se la differenza di fase dipende dal tempo) e la variazione e' casuale perche' le due sorgenti emettono in modo indipendente, allora il valor medio della funzione cos(t) e' =1 e quindi Itot = I1 + I2 e non c'e' interferenza interferenza "media" Fenomeni ondulatori

Interferenza di onde sferiche Nelle strisce intorno alle linee A le 2 perturbazioni si rinforzano, producendo ampie oscillazioni. In ogni punto arrivano assieme le creste emesse dalle 2 sorgenti, poi le gole, poi le creste... Nelle strisce attorno alle linee N le 2 perturbazioni si annullano e lasciano l’acqua quasi imperturbata. In ogni loro punto arriva una cresta della prima e una gola della seconda, poi una gola della prima e una cresta della seconda..... L'interferenza e' causata dal differente cammino che le due onde fanno per arrivare in un punto P: esistono direzioni lungo le quali si ha effetto costruttivo o distruttivo P Fenomeni ondulatori

Riflessioni a un'estremita' Se un'estremita' e' fissa, quando l'onda raggiunge il punto fisso, l'ampiezza dell'onda in P e' zero (perche' e' fisso), cioe' e' un nodo L'estremo esercita una forza sulla parete verso la parete; per reazione la parete esercita una forza uguale e opposta sulla corda verso il basso La forza di reazione genera un impulso che viaggia a ritroso nel verso opposto a quello incidente FIGURE 13.12 The reflection of a traveling pulse at the fixed end of a stretched string. The reflected pulse is inverted, but its shape remains the same. Fenomeni ondulatori

Se l’estremità della corda è libera l’impulso incidente viene riflesso senza essere invertito, cioe' e' un antinodo (ventre o cresta) Infatti l'elemento di corda all'estremita' libera della corda, nel momento di max ampiezza, esercita una forza sulla parete pari alla tensione e perpendicolare alla parete, che per reazione esercita una forza uguale e contraria sulla corda invertendone la direzione del moto, ma non la fase perche' non vi sono componenti verticali della reazione FIGURE 13.13 The reflection of a traveling pulse at the free end of a stretched string. In this case, the reflected pulse is not inverted. R T Fenomeni ondulatori

Fenomeni ondulatori I fenomeni ondulatori sono molto diffusi in natura ed hanno delle caratteristiche comuni. Le onde che si prestano a facili osservazioni sono quelle che si formano sulla superficie dell’acqua Una perturbazione provoca progressivamente creste e valli che si propagano nelle due direzioni. Sasso gettato in uno stagno si ha la formazione di anelli concentrici che si allargano. Il profilo dell’onda è la sinusoide disegnata per illustrare il moto del pendolo. Onda meccanica lungo una corda, una molla, sulla superficie di un liquido Fenomeni ondulatori

Fenomeni ondulatori La distanza tra due creste (o tra due valli o in generale la più piccola distanza tra due punti in cui l’ampiezza dell’onda è uguale) si chiama lunghezza d’onda. Un punto fisso dello spazio, ad esempio un sughero che galleggia sull’acqua si muoverà su e giù nel tempo con lo stesso andamento sinusoidale. Tornerà alla sua posizione originale in un periodo. Frequenza: n. oscillazioni in un secondo f = 1/T (Hertz=1/s) Ampiezza di oscillazione Lunghezza d’onda Ampiezza Fenomeni ondulatori

Tipi di onde Onde trasversali (onda lungo la corda, sulla superficie d’acqua) Onde longitudinali (onda di percussione in un solido, molla si comprime o si dilata una tratto di molla) vibrazione propagazione vibrazione propagazione Fenomeni ondulatori

Propagazione di un’onda Le onde “viaggiano”: fotografando l’onda a due istanti diversi l’onda apparirà la stessa ma traslata, spostata, in una direzione. Ogni punto dello spazio ritorna alla sua posizione originaria in un periodo, in tale intervallo di tempo l’onda si sarà spostata in modo da apparire identica, il che avviene se l’onda ha “viaggiato” per una lunghezza d’onda (λ, lettera greca lambda). La velocità di propagazione dell’onda sarà quindi (moto rettilineo uniforme): v = λ/T= λf Oscillazioni smorzate: energia dissipata per effetto di attriti -> graduale diminuzione dell’ampiezza Oscillazioni forzate: energia rifornita al sistema -> graduale aumento dell’ampiezza t S(t) o S(t) o t Fenomeni ondulatori

Sovrapposizione di onde Cosa avviene quando due onde si incontrano nel loro moto? Quando due o più onde attraversano lo stesso mezzo, lo spostamento di una qualsiasi particella del mezzo è la somma degli spostamenti che le singole onde le imprimono. P.es.: Se arrivano due creste o due avvallamenti contemporaneamente, le ampiezze si sommano Se arrivano contemporaneamente una cresta ed un avvallamento, le ampiezze si compensano L’ interferenza è il segno distintivo del comportamento ondoso. Se due onde della stessa ampiezza e della stessa lunghezza d’onda si sovrappongono in modo tale che le creste dell’una coincidano con le valli dell’altra il risultato sarà: nessuna onda! Risonanza: amplificazione dell’ampiezza delle oscillazioni per effetto di un impulso periodo della stessa frequenza. Le onde circolari il raggio diviene sempre più grande. A grande distanza, le creste acquistano il profilo quasi di una retta (fronte d’onda) perpendicolare alla direzione di propagazione. Fenomeni ondulatori

Onde ed ostacoli Cosa avviene se le onde nel loro cammino incontrano un ostacolo che impedisce la propagazione (come una sponda)? Si può osservare, che se il fronte d’onda è piano e l’ostacolo anche, l’onda si riflette e dopo aver urtato contro l’ostacolo ripartendo in modo tale che l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione Angolo di incidenza Angolo di riflessione Sponda Propagazione delle fronti d’onda Fenomeni ondulatori

Cosa succede se la corda ha una lunghezza finita. P Cosa succede se la corda ha una lunghezza finita? P. Es ha i due estremi fissi o = (1 +2)/2 Fenomeni ondulatori

ytot = y1 + y2 = 2Asin(kx)cos(wt) Poniamo per semplicita' o = 0 y1 = A sin (kx – wt); y2 = A sin (kx + wt) ytot = y1 + y2 = 2Asin(kx)cos(wt) la dipendenza dal tempo è fattorizzata L’onda risultante NON si propaga: è stazionaria In un punto x si ha un'oscillazione armonica di pulsazione  con un'ampiezza A' = 2Asin(kx) che dipende da x FIGURE 14.8 Standing wave patterns at various times produced by two waves of equal amplitude traveling in opposite directions. For the resultant wave y, the nodes (N) are points of zero displacement and the antinodes (A) are points of maximum displacement. Fenomeni ondulatori

Si hanno nodi (ampiezza nulla) per ytot = 2A sin(kx)cos(t) Si hanno nodi quando sin(kx) = 0  Si hanno antinodi (ventri o creste) quando sin(kx) = §1 (+creste, - nodi)  FIGURE 14.7 Multiflash photograph of a standing wave on a string. The vertical displacement from equilibrium of an individual element of the string is proportional to cos t. That is, each element vibrates at an angular frequency . The amplitude of the vertical oscillation of any element on the string depends on the horizontal position of the element. Each element vibrates within the confines of the envelope function 2A sin kx. Fenomeni ondulatori

Onde stazionarie nelle corde L’onda è sottoposta a condizioni al contorno: solo le onde che hanno nodi alle estremità sono permesse (quantizzazione) n/2l = L ovvero l = 2L/n Fenomeni ondulatori

FIGURE 14. 9 (a) A string of length L fixed at both ends FIGURE 14.9 (a) A string of length L fixed at both ends. The normal modes of vibration form a harmonic series. In each case, the shape of the string is shown at several instants within one period: (b) the fundamental frequency, or first harmonic; (c) the second harmonic; and (d) the third harmonic. Fenomeni ondulatori

Serie armonica Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con l = 2L/n La frequenza dei modi normali è pertanto: n=1 frequenza fondamentale, n>1 armoniche superiori Le frequenze dei modi normali sono frequenze di risonanza NB: le considerazioni svolte si applicano invariate alle onde longitudinali Fenomeni ondulatori

Onde stazionarie ad estremi liberi Stesso meccanismo ma con estremità aperte antinodi (creste o ventri) con due estremità aperte λ è come nelle corde e n = n1 = n (v/2L) n = 1, 2, 3, … con v velocità del suono nel mezzo I palazzi, per esempio, sottoposti a sollecitazioni trasversali "vibrano" come corde, alle frequenze naturali n e si possono aveere conseguenze disastrose in condizioni particolari Fenomeni ondulatori

Leziome 15 Fenomeni ondulatori

Onde in mezzi diversi Se le onde durante il loro moto passano repentinamente da una zona in cui l’acqua ha una certa profondità diversa cambia la loro velocità di propagazione e si ha il fenomeno della rifrazione V1 V2 La moneta che riappare Fenomeni ondulatori

Attività sulle onde Osservazione di onde superficiali sull’acqua facendo vibrare a mano una matita o un righello appena immersi nell’acqua Osservazione di onde trasversali su corde legando una corda abbastanza pesante ad un estremo e scuotendo in senso verticale l’estremo opposto di possono creare queste onde e osservare le riflessioni Osservazioni su onde longitudinali in lunghe molle elicoidali La chitarra Il flauto di Pan Registrazioni di suoni di frequenza variabile Le onde trasportano energia! Fenomeni ondulatori

Fonti Halliday, Resnick, Fondamenti di Fisica, Masson, 1996 Sette, Lezioni di fisica Fenomeni ondulatori