Information Retrieval Definizioni e metodi “classici”

Definizioni IR tratta problemi di rappresentazione, memorizzazione, organizzazione e accesso ad informazioni Obiettivo: facilitare l’accesso alle informazioni cui un utente è interessato Un testo libero non può direttamente essere usato per interrogare gli attuali motori di ricerca su Web. Una descrizione degli interessi dell’utente va trasformata in una query, una struttura di dati (usualmente un vettore) adatta all’elaborazione da parte di un motore di ricerca.

Caratterizzare l’interesse dell’utente Caratterizzare l’interesse di un utente non è facile: “trova tutte le pagine che contengono informazioni su squadre di tennis di Università Americane, e che partecipino alle gare NCAA. Mi interessano solo documenti che riportino anche la qualifica di queste squadre negli ultimi 3 anni e la email o telefono del loro allenatore” Rosso: irrilevante per la query Blu: necessitano una qualche forma di ragionamento induttivo, es: MIT is_a Università_Americana march_2002 january_2000 january_2003

..Tuttavia anche in casi più semplici cè il problema del silenzio-rumore Esempio: chi ha inventato il web? http://www.google.it

Dati e informazioni: che differenza? Data retrieval: trovare oggetti che soddisfino condizioni chiaramente specificate mediante una espressione regolare o di algebra relazionale. (FIND person WHERE age>40 AND…OR..). Un errore è segnale di totale fallimento del sistema (la risposta non esiste) Information retrieval: richiede una interpretazione della richiesta dell’utente. I documenti recuperati non possono essere classificati tout court come “buoni” o “cattivi”, ma vanno associati ad una misura di rilevanza rispetto alla richiesta dell’utente (o meglio: all’interpretazione della richiesta!) La nozione di rilevanza è centrale in IR

Perché IR è importante IR aveva una ristretta nicchia di interesse (bibliotecari ed esperti di informazioni, es. agenzie di stampa) L’avvento del Web ha cambiato radicalmente le cose Una sorgente di informazioni virtualmente illimitata Accesso universale ed a basso costo Non esiste un controllo editoriale centralizzato Molti nuovi problemi si pongono: IR è vista come una area chiave per identificare soluzioni appropriate

Le azioni dell’utente in un sistema di IR Retrieval Browsing Database Una sessione di Retrieval comporta la specifica degli interessi dell’utente e la sua trasformazione in una query (usualmente, un insieme di parole chiave o keywords) Se l’interesse dell’utente è mal specificato, o è molto vasto, l’utente può utilizzare una interfaccia interattiva (es. finestre a scelta multipla), visualizzare alcuni documenti proposti, seguire hyperlinks a partire da documenti che più lo interessano, o dettagliare meglio la sua query. Si parla allora di una sessione di Browsing.

Pulling vrs pushing Retrieval e Browsing vengono classificate come azioni di pulling: l’utente “tira fuori” le informazioni richieste Alcuni sistemi sono in grado di prendere iniziative, cioè di sospingere (push) documenti verso l’utente. Ad esempio, filtrando notizie periodicamente sulla base di profili di utente (web assistant, information filtering and extraction).

Una caratterizzazione formale del task IR Def. Un modello di IR è una quadrupla [D,Q,F,R(qi,dj)] dove: D è un insieme di viste logiche, o rappresentazioni dei documenti nella collezione Q è un insieme di viste logiche, o rappresentazioni dei bisogni informativi dell’utente , dette query F è uno schema per modellare le rappresentazioni dei documenti, le query, e le inter-relazioni fra query e documenti R(qi,dj)] è una funzione di rilevanza, o ranking R : QD che definisce un ordine fra i documenti, in relazione alla query qi

Il processo di retrieval (più in dettaglio) Interfaccia utente Operazioni sui testi Operazioni sulla query Indicizzazione ricerca ranking Indici Testi query user need user feedback Documenti pesati Doc. recuperati Vista logica inverted file DB Manager Module Database dei testi Cerco curricula di personale esperto nella progettazione di siti web Personal espert progettazion sit web (espertconosc)(realizzaz progettaz) sit web

Query PROBLEMI NEI SISTEMI DI IR Quanto è corretta la rappresentazione del documento ? Quanto esattamente corrisponde il documento alla query? Quanto è corretta la rappresentazione della query ?? Quanto sono rilevanti i risultati ? Rappresentazione query Query Rappresentazione Documenti Risposta PROBLEMI NEI SISTEMI DI IR Collezione documenti

3 fasi fondamentali Operazioni sui testi (query e documenti) Generazione di indici (strutture di puntamento) Ricerca e ranking

Operazioni sui testi Un sistema di IR genera una rappresentazione più generale e astratta dei documenti e delle richieste degli utenti (query) , detta logical view, o rappresentazione. Quando la rappresentazione di un documento comprende l’intero insieme delle parole che lo compongono, si parla di full text logical view. Tuttavia, anche nei moderni computers sono necessarie alcune operazioni di compressione dell’informazione Queste operazioni possono essere finalizzate non solo alla compressione (es. eliminazione di articoli, congiunzioni., lemmatizzazione...) ma anche alla generalizzazione (non rappresentare termini (ambigui) ma concetti )

Indicizzazione dei documenti Ogni documento viene rappresentato mediante un insieme di parole-chiave o termini indice Un termine-indice è una parola ritenuta utile per rappresentare il contenuto del documento In genere, nei sistemi di IR “classici”, gli indici sono nomi, perché maggiormente indicativi del contenuto Tuttavia, nei motori di ricerca vengono considerati tutti i termini (full text representation) Gli indici vengono utilizzati per generare strutture di puntamento ai documenti della collezione, facilitandone il recupero a fronte di una query.

Ranking (ordinamento) Un ranking è un ordinamento dei documenti recuperati che dovrebbe riflettere gli interessi dell’utente E’basato su : Identificazione di gruppi di termini comuni Condivisione di termini pesati Probabilità di rilevanza La classificazione dei modelli di IR è basata si diversi criteri di ranking

Documenti Termini indice documenti match Bisogni Informativi ranking Operazioni sui testi match Bisogni Informativi ranking query

Trattamento dei testi, strutturazione e metodi di Ricerca

1. Trattamento dei testi Come trasformare un documento in un vettore di keywords? Come organizzare i vettori dei documenti in modo da facilitarne il recupero a fronte di una query?

Operazioni sui testi struttura Spaziature, accenti stopwords lemmatizzazione Operazioni+ complesse Doc. Nomi propri, semantica 1.Identificazione delle keywords o “tokens” rilevanti Estrazione indici Struttura (parag, titoli, tags html XML...) Full text Termini indice 2.Definizione di una struttura di memorizzazione dei documenti efficiente ai fini del recupero

Tokenizzazione Un testo va trasformato in una lista di elementi significativi detti token. A volte, la punteggiatura, i numeri, e la differenza fra maiuscole e minuscole possono essere elementi significativi. Anche le etichette html (o xml) possono o meno essere eliminate. Generalmente, più superficiale è l’analisi del testo, più dettagli vengono eliminati. L’approccio più semplice –quello usato dai motori di ricerca- consiste nell’ignorare numeri e punteggiatura e considerare solo stringhe contigue di caratteri alfabetici come tokens.

Tokenizzazione di simboli HTML Cosa fare del testo racchiuso nei comandi html che tipicamente non vengono visualizzati? Alcune di queste stringhe sono indicative del contenuto del testo: Le parole contenute negli URLs (www.acquistionline.it) Le parole contenute nei “meta testi” delle immagini. <meta name=“description” content=“gli sfondi di Vincent Van Gogh per il vostro Desktop”> L’approccio più semplice esclude dalla tokenizzazione tutte le informazioni contenute fra tag HTML (fra “<“ e “>”).

Tipi di documenti Documenti Stringhe di testo Documenti su files (per le query digitate da tastiera) Documenti web: immagini, audio, filmati, ma anche sofware, dati strutturati.. Files Testo Files HTML (ASCII files) (HTML files)

Stopwords Tipicamente vengono eliminate parole ad elevata frequenza in un linguaggio, dette stopwords (es. parole funzionali, in inglese: “a”, “the”, “in”, “to”; o pronomi: “I”, “he”, “she”, “it”, ecc.). Le Stopwords sono ovviamente dipendenti dalla lingua. Vector Space Retrieval (VSR) utilizza un set standard di circa 500 parole inglesi. http://bll.epnet.com/help/ehost/Stop_Words.htm Le stringhe di stopwords vengono memorizzate in una hashtable per essere riconosciute in tempo costante.

Stemming Si intende per stemming il processo di riduzione di un termine al lemma o alla radice, in modo da riconoscere variazioni morfologiche della stessa parola. “comput-er”,“comput-ational”, “comput-ation” “compute” L’analisi morfologica è specifica di ogni lingua, e può essere molto complessa (ad esempio in Italiano ben più che in Inglese) I sistemi di stemming più semplici si limitano ad identificare suffissi e prefissi e ad eliminarli.

Porter Stemmer E’ una procedura semplice, che iterativamente riconosce ed elimina suffissi e prefissi noti senza utilizzare un dizionario (lemmario). Può generare termini che non sono parole di una lingua: “computer”, “computational”, “computation” diventano tutti “comput” Vengono unificate parole che in effetti sono diverse (matto e mattone) Non riconosce deviazioni morfologiche (vado e andiamo). http://www.mozart-oz.org/mogul/doc/lager/porter-stemmer/

Errori del Porter Stemmer Errori di “raggruppamento”: organization, organ  organ police, policy  polic arm, army  arm Errori di “omissione”: cylinder, cylindrical create, creation Europe, European

Operazioni più complesse sui testi Analisi morfosintattica I have been be Analisi dei Nomi Propri, date, espressioni monetarie e numeriche, terminologia Medical Instrument inc April 15th, 2003. 15-4-03… 5 millions euros Consiglio di amministrazione, week end, .. Analisi della struttura del testo Es: I termini nel titolo o nei paragrafi hanno un peso maggiore, i termini in grassetto o sottolineati.. Analisi semantica: associare a parole singole o a porzioni di testo dei concetti di una ontologia “L’albergo dispone di piscina..” swimming_pool hotel_facility “L’albergo si trova a Corvara..” Val_Badia Dolomiti .. is_a is_in

Strumenti per l’analisi morfosintattica di testi Treetagger On-line version su: http://www.cele.nottingham.ac.uk/~cctz/treetagger.php Supporta diverse lingue (inglese tedesco italiano..) Analisi delle parti del discorso e analisi dei gruppi sintattici (gruppi nominali, verbali, preposizionali..)

2. Indicizzazione dei documenti Come recuperare le informazioni? Una semplice alternativa consiste nello scandire l’intero testo sequenzialmente Una opzione migliore è quella di costruire strutture di dati chiamate indici per velocizzare la ricerca

Indicizzazione: come memorizzare e recuperare i documenti rappresentati mediante keywords Tecniche di indicizzazione: Inverted files Array di suffissi Signature files

Notazione n: il numero di tokens nel testo m: lunghezza di un vettore v: taglia del vocabolario (quante parole diverse) M: memoria a disposizione

Inverted Files Definizione: un inverted file è un meccanismo orientato alla manipolazione di parole, per indicizzare una collezione di documenti in modo da velocizzare il processo di ricerca. Struttura di un inverted file: Vocabolario: l’insieme di parole diverse nel testo (NOTA: la taglia di V dipende dalle operazioni effettuate sui testi) Occorrenze: liste che contengono tutte le informazioni necessarie per ogni parola del vocabolario (posizione nel testo, frequenza, documenti nei quali appaiono, ecc.)

Esempio Testo: Inverted file 1 6 12 16 18 25 29 36 40 45 54 58 66 70 That house has a garden. The garden has many flowers. The flowers are beautiful Occorrenze Vocabolario beautiful flowers garden house 70 45, 58 18, 29 6

Spazio di memoria Lo spazio necessario per memorizzare il vocabolario non è eccessivo. Secondo la legge di Heap il vocabolario cresce come O(n), dove  è una costante compresa fra 0.4 e 0.6 nei casi reali Viceversa, le occorrenze richiedono uno spazio molto maggiore. Poiché vi è un riferimento per ogni occorrenza della parola nel testo, lo spazio necessario è O(n) per ogni riga. Per ridurre lo spazio necessario, si può utilizzare una tecnica detta indirizzamento di blocco (block addressing)

Indirizzamento di blocco Il testo viene suddiviso in blocchi Le occorrenze puntano ai blocchi in cui appare la parola Vantaggi: Il numero dei puntatori di blocco è minore del numero dei puntatori di posizione Tutte le occorenze di una parola all’interno di uno stesso blocco hanno un solo puntatore Svantaggi: Se è richiesta l’identificazione esatta del termine, è necessario scandire “online” i blocchi di interesse

Esempio Testo: Inverted file: Block 1 Block 2 Block 3 Block 4 That house has a garden. The garden has many flowers. The flowers are beautiful Vocabolario Occorrenze beautiful flowers garden house 4 3 2 1

In alcuni modelli IR vengono memorizzate solo le coppie Dk,tfik system computer database science D2, 4 D5, 2 D1, 3 D7, 4 Termini indice df 3 2 4 1 Dj, tfj File Indice Lista delle Occorrenze    dfi = numero di documenti in cui compare il termine ti tfik = frequenza del termine ti nel documento Dk

Dimensioni di un Inverted File in termini di % (approssimate) della taglia dell’intera collezione 45% 19% 18% 73% 26% 25% 36% 1.7% 64% 32% 2.4% 35% 0.5% 63% 47% 0.7% In % delle parole In % dei documenti~10k In % di blocchi da 256 K Percentuale di riduzione Piccole collezioni (1Mb) Collezioni medie (200Mb) Collezioni grandi (2Gb)

Ricerca su inverted indexes-files L’algoritmo di ricerca basato su indici inversi opera in tre fasi successsive: Ricerca nel vocabolario: le parole presenti nella query vengono ricercate nel vocabolario Recupero delle occorrenze: viene estratta la lista delle occorrenze di tutte le parole incluse nella query e presenti nel vocabolario Manipolazione delle occorrenze: la lista delle occorrenze viene elaborata, per generare una risposta alla query

Ricerca su inverted indexes(2) La ricerca parte sempre dal vocabolario, che dovrebbe essere memorizzato separatamente I vocabolari vengono memorizzati in strutture di tipo hashing, tries o B-trees Alternativamente, le parole possono essere memorizzate in ordine alfabetico (si risparmia in spazio, maggior tempo di ricerca)

Costruzione del vocabolario Il vocabolario viene generato scandendo i testi del repository Vengono effettuate operazioni preliminari sui testi, di cui abbiamo parlato, al fine di limitare la taglia del vocabolario (stemming e stop words) Ad ogni parola del vocabolario, quale che sia la struttura dati utilizzata, viene associata la lista delle occorrenze nei documenti Ogni parola incontrata in un testo viene prima cercata nel vocabolario: se non viene trovata, viene aggiunta al vocabolario, con una lista inizialmente vuota di occorrenze.

Costruzione del vocabolario (2) Una volta che si siano esaminati tutti i testi, il vocabolario viene memorizzato con la lista delle occorrenze. Vengono generati due files: Nel primo file, vengono memorizzate in locazioni contigue le liste delle occorrenze Nel secondo file, il vocabolario è memorizzato in ordine lessicografico (alfabetico), e viene generato per ogni parola un puntatore alla sua lista di occorrenze nel primo file. L’intero processo ha un costo O(n) nel caso peggiore. La ricerca (binaria) ha un costo O(logn)

Memorizzazione del vocabolario in un trie n. ordine dei caratteri 1 6 12 16 18 25 29 36 40 45 54 58 66 70 That house has a garden. The garden has many flowers. The flowers are beautiful b f g h ... beautiful:70 flowers:45 a o garden:18,29 has: 12,36 house: 6

Modelli strutturati del testo La ricerca e indicizzazione per parole-chiave considera il documento come una struttura piatta Se cerco “consiglio di amministrazione” potrei trovare documenti in cui queste parole compaiono ma non sono correllate Inoltre, il peso di una parla è lo stesso sia che la parola compaia nel testo che, ad es. nel titolo

Modelli strutturati (2) Definizioni: Match point: la posizione nel testo in cui occorre una parola o sequenza di parole Regione: una porzione contigua di testo (frase, paragrafo..) Nodo: un componente strutturale del testo, ad esempio un capitolo, una sezione..

Esempio MATCH POINT NODO REGIONE

Proximal Nodes Il testo viene rappresentato con una struttura gerarchica Gli indci vengono definiti mediante gerarchie multiple Ogni struttura di indicizzazione è una gerarchia composta da: capitoli, sezioni, sottosezioni, paragrafi, linee Ognuno di questi componenti è un NODO Ad ogni nodo è associata una regione di testo

Proximal Nodes Capitolo Sezione Sottosezione Paragrafo consiglio 10 256 48,324

Proximal Nodes Ogni nodo può essere contenuto in un altro nodo Due nodi sullo stesso livello non si possono sovrapporre L’informazione fornita dagli inverted indexes complementa quella degli indici gerarchici

Proximal Nodes E’ possibile fare query del tipo: Le query sono espressioni regolari, è possibile cercare stringhe e far riferimento a componenti strutturali

Conclusioni sui metodi di archiviazione-indicizzazione Il meccanismo inverted file è il più adeguato nel caso di archivi testuali statici Altrimenti, se la collezione è volatile (ad esempio il web) la sola opzione è una ricerca online (Spiders, nel seguito di questo corso). In questo caso i metodi di trattamento dei testi devono essere semplici per garantire rapidità (li vedremo nella seconda parte: Web information retrieval)

3. Metodi di Ranking: Come ordinare i documenti per “rilevanza” rispetto ad una query

Ranking Supponiamo di avere a disposizione una visione logica, e questa sia data da un insieme di parole-chiave o keywords. Un banale matching di parole chiave fra documenti e query spesso fornisce risultati modesti, gli utenti sono insoddisfatti. Inoltre, spesso gli utenti non sono in grado di esprimere i loro interessi mediante un elenco appropriato di keywords Il problema è resto più grave se siamo nell’ambito Web IR Un ranking appropriato dei documenti ha un effetto notevole sulle prestazioni (vedi i motori di ricerca)

Una tassonomia dei modelli di ranking Teoria degli insiemi Fuzzy Extended Boolean Modelli Classici booleano vettoriale probabilistico Algebrici Generalized Vector Lat. Semantic Index Neural Networks U s e r T a k Retrieval: Adhoc Filtering Non-Overlapping Lists Proximal Nodes Modelli strutturali Probabilistici Inference Network Belief Network Browsing Browsing Flat Structure Guided Hypertext

Modelli “classici”: concetti base Non tutti i termini sono ugualmente importanti per la rappresentazione di un testo (o query). Nella selezione di termini indice è importante assegnare un peso di rilevanza alle varie parole. L’importanza di un termine indice è rappresentata da un valore che ad esso viene associato Sia ki un termine indice dj un documento della collezione wij un peso associato a (ki,dj) Il peso wij quantifica l’importanza dell’indice ki per descrivere il contenuto del documento

Modelli “classici”: concetti base (2) ki è un termine indice dj è un documento N è il numero totale di documenti in D K = (k1, k2, …, kt) è l’insieme dei termini indice t è la taglia del vocabolario wij >= 0 è un peso associato con (ki,dj) wij = 0 indica che un termine non appartiene al documento vec(dj) =dj=dj =(w1j, w2j, …, wtj) è un vettore pesato associato a dj gi(dj) = wij è una funzione che restituisce il peso associato alla coppia (ki,dj)

Set theoretic models: Modello Booleano Un modello molto semplice basato sulla set theory Le query vengono rappresentate mediante espressioni booleane La semantica è precisa Il formalismo è elegante q = ka  (kb  kc) Es: (automobili  (vendita  fabbricazione) I termini sono presenti o assenti. Dunque, wij  {0,1} Esempio q = ka  (kb  kc) DNF = (1,1,1)  (1,1,0)  (1,0,0) (forma normale disgiuntiva), = componente congiuntivo (vettore)

Modello Booleano (1,1,1) (1,0,0) (1,1,0) ka kb kc q = ka  (kb  kc)

Problemi del modello Booleano Il retrieval è basato su criteri di decisione binari, non esiste la nozione di corrispondenza parziale Non viene fornito un ordinamento parziale dei documenti (non c’è ranking!!) Gli utenti trovano difficile trasformare le loro richieste informative in una espressione booleana Gli utenti formulano spesso query booleane troppo semplicistiche (congiunzioni di termini) Di conseguenza, le query booleane restituiscono o troppo pochi (silenzio) o troppi (rumore) documenti

Modello vettoriale Definisci: wij > 0 ogni volta che ki  dj wiq  0 associato alla coppia (ki,q) = (w1j, w2j, ..., wtj) = (w1q, w2q, ..., wtq) Ad ogni termine ki è associato un vettore unitario I vettori unitari si assumono essere ortonormali (Cioè si assumono occorrere indipendentemente l’uno dall’altro nei documenti) I t vettori unitari formano una base ortonormale in uno spazio t-dimensionale In questo spazio, query e documenti sono rappresentati mediante vettori pesati

Lo spazio vettoriale t1 t2 t3 d1 d2  Lo spazio ha una dimensionalità pari al numero di termini nel vocabolario.

Rappresentazione grafica Esempio: D1 = 2T1 + 3T2 + 5T3 D2 = 3T1 + 7T2 + T3 Q = 0T1 + 0T2 + 2T3 T3 T1 T2 D1 = 2T1+ 3T2 + 5T3 D2 = 3T1 + 7T2 + T3 Q = 0T1 + 0T2 + 2T3 7 3 2 5 E’ D1 o D2 + simile a Q? Come misurare il grado di similarità?

Misura del coseno 2 t3 t1 t2 D1 D2 Q 1 Si misura il coseno dell’angolo fra due vettori. Il prodotto scalare (al numeratore) è normalizzato con la lunghezza dei vettori. CosSim(dj, q) = D1 = 2T1 + 3T2 + 5T3 CosSim(D1 , Q) = 10 / (4+9+25)(0+0+4) = 0.81 D2 = 3T1 + 7T2 + 1T3 CosSim(D2 , Q) = 2 / (9+49+1)(0+0+4) = 0.13 Q = 0T1 + 0T2 + 2T3 D1 è 6 volte migliore di D2 usando la misura del coseno.

Similarità nel modello vettoriale j dj q 

Pesatura dei termini nel modello vettoriale Una misura del peso di un termine in un documento deve tenere conto di due fattori : Quantificazione del peso che il termine ha nel documento: Fattore tf (term frequency) Quanto il termine aiuta a discriminare il documento dj dagli altri documenti in D Fattore idf (inverse document frequency) Dove: N numero di doc. nella collezione, ni numero dei documenti in cui il termine ki appare wij = tf(i,j) * idf(i)

Peso dei termini nella query Salton e Buckley suggeriscono:

Vantaggi e svantaggi del modello vettoriale Il peso dei termini migliora la qualità delle risposte Poiché possono verificarsi matching parziali fra documenti e query, è possibile ottenere risposte che approssimino le richieste dell’utente La formula del coseno dell’angolo consente di ordinare i documenti rispetto al grado di similarità con la query Svantaggi: Si basa sull’assunzione che i termini siano fra loro indipendenti. Ma non è provato che questo sia un vero svantaggio..

Il modello vettoriale: Esempio I k1 k2 k3 idf(k1)=log(7/5)=0,146 idf(k2)=log(7/4)=0,243 idf(k3)=log(7/3)=0,367 “coincidenze” tf

Esempio I (continua) Calcolo sim(d1,q): w1,1=10,145=0,145 w2,1=0 w3,1=0,367 w1,q= (0,5+0,5 1) 0,145=0,145 w2,q=0,243 w3,q=0,367

Il modello vettoriale: Esempio II k1 k2 k3

Il modello vettoriale: Esempio III k1 k2 k3

Extended Boolean Model Il modello booleano è semplice ed elegante Ma non consente ranking Il modello booleano può essere esteso mediante la nozione di corrispondenza parziale e di pesatura dei termini Combina le caratteristiche del modello vettoriale con le proprietà dell’algebra booleana

Extended Boolean Model Il modello extended Boolean (introdotto da Salton, Fox, e Wu, 1983) si basa su una critica di una assunzione-base dell’algebra booleana Sia: q = kx  ky o q = kx  ky la query wxj = fxj * idf(x) peso associato a [kx,dj] max(idf(i)) fxj è la frequenza normalizzata di kx in dj  0 wxj 1 Inoltre, indichiamo wxj = x and wyj = y

qor = kx  ky; wxj = x and wyj = y (1,1) kx.ky ky dj+1 dj y = wyj distanza normalizzata  kx  ky (0,0) x = wxj kx x e y sono i pesi normalizzati di kx e ky in dj: dj è tanto più simile a q quanto più il punto di coord (x,y) è distante da (0,0) sim(qor,dj) =

qand = kx  ky; wxj = x e wyj = y (1,1) ky dj+1 y = wyj dj (0,0) x = wxj kx Nel caso di un and, il punto ottimale è 1,1 che corrisponde a kx  ky

Extended Boolean Model Se esistono t termini indice, il modello può essere esteso ad uno spazio t-dimensionale Espressioni and-or es: (k1k2)k3