Corso di Chimica Fisica II 2013 Marina Brustolon 14bis. Un po’ di matematica

Alcune delle immagini che appaiono in questa lezione sono state ricavate dal libro:

Matrici Matrice quadrata = numero delle righe eguale al numero delle colonne Elemento di matrice Elementi di matrice diagonali Elementi di matrice fuori diagonale

Traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali : Se A12=A21 la matrice si dice simmetrica Se A12=A21= 0 la matrice si dice diagonale Traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi diagonali : trA= A11+A22 Determinante di una matrice quadrata |A| = detA Si scambiano le righe con le colonne Matrice trasposta di A:

Moltiplicazione di due matrici

Matrice rettangolare Anche le matrici rettangolari si possono moltiplicare. Per poter moltiplicare due matrici è necessario solo che il numero di colonne della prima sia eguale al numero di righe della seconda. ecc.

Matrici rettangolari con una sola colonna o una sola riga Vettore colonna Vettore riga (è la trasposta del vettore colonna)

Questo sistema di equazioni lineari nelle incognite c1 e c2 può essere facilmente riscritto utilizzando la regola di moltiplicazione tra matrici: Applicando la regole di moltiplicazione tra matrici abbiamo infatti: e quindi

Equazione agli autovalori per la matrice A Ac = c Supponiamo di avere che: con  costante. Equazione agli autovalori per la matrice A Questa equazione corrisponde a : cioè:

Vi ricorda qualcosa? Il sistema di equazioni lineari ed omogenee : è risolvibile solo se il determinante dei coefficienti delle incognite è eguale a zero: Questa equazione si chiama equazione secolare per la matrice A Vi ricorda qualcosa?

Sviluppando il determinante per una matrice simmetrica otteniamo: Le radici reali di questa equazione del secondo ordine sono: con 1 e 2 sono gli autovalori della matrice A.

Trascurando S, le equazioni sono Per la molecola biatomica , applicando il principio variazionale abbiamo ottenuto il sistema di equazioni: Trascurando S, le equazioni sono e il determinante secolare: ha la stessa forma di: Gli autovalori hanno la stessa forma di 1 e 2

e risolvendolo, troviamo i valori delle incognite c1 e c2 : Inserendo ciascuno dei due autovalori a turno nel sistema di equazioni: e risolvendolo, troviamo i valori delle incognite c1 e c2 : I cij sono gli autovettori della matrice A.

Diagonalizzazione di A Definiamo la matrice degli autovettori: e la matrice degli autovalori: Si dimostra che Questa equazione rappresenta la diagonalizzazione della matrice simmetrica A mediante la trasformazione con la matrice dei suoi autovettori. I coefficienti sono normalizzati, corrispondono quindi ad un vettore di lunghezza unitaria.