Filtri adattativi

Sintesi della funzione di trasferimento del filtro FA-1 FILTRI ADATTATIVI Sintesi della funzione di trasferimento del filtro Progetto di filtri Adattamento Un filtro adattativo e’ simile ad una rete neurale lineare MA I parametri del filtro sono continuamente cambiati secondo un criterio predefinito (di ottimizzazione), senza un esplicito controllo dell’utilizzatore (MEMORIA A BREVE TERMINE) La rete neurale non si addestra più dopo il training (MEMORIA A LUNGO TERMINE)

COMBINATORE LINEARE ADATTATIVO FA-2 x(n) w0 z-1 w1 y(n) w2 z-1 S wi = ? Criterio di progetto (sintesi) Risposta desiderata d(n) (filtro adattativo) z-1 wD-1 Linea di ritardo d(n) x(n) y(n) + H(z) - Regressore lineare (senza bias) dalla serie in ingresso alla serie desiderata, di ordine D. (n) CRITERIO

FILTRO OTTIMO w ? + - d(n) y(n) x(n) MSE= J = <2(n)> (n) FA-3 FILTRO OTTIMO w ? + - d(n) y(n) x(n) MSE= J = <2(n)> (n) funzione costo (n)=d(n)-y(n)

Equazioni di Wiener-Hopf FA-4 Equazioni di Wiener-Hopf con Funzione di autocorrelazione nel tempo Funzione di cross-correlazione nel tempo

Con notazione vettoriale: FA-5 Con notazione vettoriale: Con:

IL PRINCIPIO DI ORTOGONALITÀ FA-6 Errore ortogonale all’ingresso Errore ortogonale all’uscita

LA SOLUZIONE DI WIENER FA-7 d(n) e(n) x(n-D+1) w x(n) L’uscita del filtro è la proiezione del segnale desiderato nello spazio degli ingressi La soluzione di Wiener per la minimizzazione di J è analitica e richiede l’inversione della matrice di correlazione (alto costo computazionale) w = R-1p

LA SOLUZIONE ITERATIVA FA-8 J Es: D=2 w(1) w(2) Jmin wottimo Minimizzare il funzionale Forma quadratica 2-D Paraboloide J = Jminimo w = wottimo n indice iterazione taglia dello step pn direzione della ricerca wn+1= wn- pn

Stima di Widrow e Stearns (Least Mean Square - LMS) FA-9 R Rn; g gn Alto costo computazionale Stima di Widrow e Stearns (Least Mean Square - LMS) Aggiornamento iterativo derivato dal considerare il solo valore istantaneo dell’errore

Non richiede l’inversione di matrici Non richiede il calcolo di R e p FA-10 Non richiede l’inversione di matrici Non richiede il calcolo di R e p

IL FILTRO DI WIENER COME APPROSSIMATORE DI FUNZIONI FA-11 x(n) d(n)=f(x(n)) Il filtro deve trovare un’approssimazione lineare di f(.) Dati temporali approssimazione nello spazio del segnale Il combinatore lineare effettua una regressione nello spazio del segnale Le basi dello spazio del segnale sono l’ingresso e i campioni ritardati

PROPRIETA’ DELLA SOLUZIONE ITERATIVA FA-12  Taglia dello step Massimo autovalore di R  Costante di tempo Minimo autovalore di R Nella pratica: (Potenza del segnale ai taps) R definisce la proprietà dell’algoritmo di learning

APPLICAZIONI FA-13