Scuola di Storia della fisica Corso di formazione levoluzione del concetto di campo dallottocento ai giorni nostri MEMO Multicentro Educativo di Modena Sergio Neri Col patrocinio del Comune di Modena 27 novembre – 1 dicembre 2006

Che cosa dà in più una descrizione del campo elettromagnetico in linguaggio quadridimensionale Silvio Bergia Dipartimento di Fisica, Univ. di Bologna INFN, Sezione di Bologna

Il campo elettromagnetico in linguaggio quadridimensionale Elettromagnetismo e relatività: le intuizioni einsteiniane in (suoi) sommari resoconti. Elettromagnetismo e relatività: le intuizioni einsteiniane in (suoi) sommari resoconti. Equazioni classiche per il campo elettromagnetico nel vuoto Equazioni classiche per il campo elettromagnetico nel vuoto Trascrizione in forma quadridimensionale Trascrizione in forma quadridimensionale Le regole di trasformazione per le componenti dei campi diventano automatiche Le regole di trasformazione per le componenti dei campi diventano automatiche Semplici esempi significativi che a posteriori confermano le intuizioni einsteiniane e provano a illustrare il titolo Semplici esempi significativi che a posteriori confermano le intuizioni einsteiniane e provano a illustrare il titolo

Elettromagnetismo e relatività: i nessi intravisti da Einstein <<Dass die Elektrodynamik Maxwells - wie dieselbe gegenwärtig aufgefasst zu werden pflegt – in ihner Anwendung auf bewegte Körper zu Asymmetrien führt, welche den Phänomena nicht anzuhaften scheinen, ist bekannt. Man denke z.B. an die elektrodynamiche Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Leiter. Das beobachtbare Phänomenon hängt hier nur ab von der Relativbewegung von Leiter und Magnet, während nach der üblichen Auffassung die beiden Fälle, das der eine oder der andere dieser Körper der bewegte sei, streng voneinander zu trennen sind>>. A.Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik (4) 17, 891, 1905.

<<Che lettrodinamica di Maxwell – come si suole intenderla ordinariamente – nella sua applicazione a corpi in moto porti ad asimmetrie che non appaiono aderire ai fenomeni è noto. Si pensi p. es. allinterazione elettrodinamica fra un magnete e un conduttore. Il fenomeno osservabile dipende qui solo dal moto relativo di conduttore e magnete, mentre secondo il punto di vista consueto i due casi, che sia luno o laltro di questi corpi quello in moto, sono da tenere rigorosamente distinti luno dallaltro>>.

What led me more or less directly to the special theory of relativity was the conviction that the electromotive force […] acting on a body in motion in a magnetic field was nothing else but an electric field. Einstein a Robert S. Shankland, The MichelsonMorley Experiment, Scientific American, Novembre 1964, pp Discusso in: Arthur I. Miler, Albert Einsteins special theory of relativity – Emergence (1905) and early interpretation ( ), Addison- Wesley, 1981.

S N Analisi qualitativa nel sistema di riferimento in cui è in quiete il magnete:

SN Analisi qualitativa nel sistema di riferimento in cui è in quiete la spira:

Equazioni classiche per il campo elettromagnetico nel vuoto Equazioni di Maxwell nel vuoto (sistema di Gauss)

Equazioni di collegamento Sostituendo nella Poiché

Libertà di gauge La divergenza diè arbitraria: (condizione di Lorentz)

Trascrizione in forma quadridimensionale Linvarianza della carica elettrica ci dà subito un risultato. Partiamo dalla definizione di densità σ di carica: Moltiplichiamo membro a membro per: sono le componenti di un quadrivettore

Equazioni per i potenziali Nel gauge di Lorentz

Introdotto il tensore del campo elettromagnetico (matrice rappresentativa delle sue componenti covarianti )

le equazioni di collegamento si compendiano nelle:

Le equazioni di Maxwell non omogenee nelle matrice rappresentativa delle componenti controvarianti del tensore

Le equazioni di Maxwell omogenee dove il simbolo [ ] significa antisimmetrizazione sui tre indici, e la virgola derivazione rispetto a nelle

La condizione di Lorentz Le trasformazioni di gauge nelle si può poi scrivere come

Le regole di trasformazione per le componenti dei campi diventano automatiche Che le componenti del campo elettrico e del vettore induzione siano diventate componenti di un singolo tensore ha una prima conseguenza formalmente importante: dalle regole prescritte per come si trasformano le componenti di un tensore passando da una base ad unaltra si ricavano in modo univoco le regole di trasformazione per le componenti del campo elettrico e del campo magnetico.

Ricordiamo le regole di trasformazione per le componenti di un tensore del secondordine espresso in termini delle sue componenti contravarianti: Λ è la matrice rappresentativa della trasformazione di Lorentz considerata

Consideriamo una trasformazione di Lorentz speciale, per la quale cone

La matrice della trasformazione è allora la Daltra parte, lasi può riscrivere ossia:

La matrice rappresentativa del tensore campo elettrico nella nuova base si ottiene quindi come prodotto delle tre matrici in parentesi. Il risultato è la matrice con i seguenti elementi significativi:

Luso della trasformazione speciale non pregiudica la generalità del risultato:

Analogamente, per il campo magnetico:

Due esempi significativi che provano a illustrare il titolo (il secondo conferma a posteriori le intuizioni einsteiniane) Carica in quiete in S: campo magnetico in S Carica in quiete in S: campo magnetico in S Magnete in quiete in S: campo elettrico in S Magnete in quiete in S: campo elettrico in S

Rispetto ad un sistema di riferimento S in moto rispetto a quello in cui cè solo un campo elettrico sussiste anche un campo magnetico. È lecito dire che se IN questa stanza cè una carica in movimento IN essa è presente un campo magnetico? In S è presente solo un campo elettrico:

Fissiamo lattenzione sul fatto che le componenti del vettore campo elettrico e del vettore induzione diventano componenti di un unico tensore. Così come qualche componente di un vettore può annullarsi in una qualche base o, da nulla che era in una, acquistare un valore finito in unaltra, le componenti di un tensore possono essere o meno presenti a seconda della base scelta.

In S è presente solo un campo magnetico: Rispetto ad un sistema di riferimento S in moto rispetto a quello in cui cè solo un campo magnetico sussiste anche un campo elettrico. What led me more or less directly to the special theory of relativity was the conviction that the electromotive force […] acting on a body in motion in a magnetic field was nothing else but an electric field.