Intelligenza Artificiale II Dimostrazione automatica di Teoremi Appunti del corso: Intelligenza Artificiale II Dimostrazione automatica di Teoremi Prof. Maurizio Martelli DISI Università di Genova 1^ lezione

Calcolo dei predicati linguaggio per esprimere concetti e loro relazioni e che permette di inferire proposizioni da altre considerate vere. SINTASSI (si prescinde dal significato) Alfabeto (a,b,...,A,B,...,(,),..., ⊆,≤,...,←,∃,...) Simboli: - Costanti di oggetti: C (a,b,casa, 23, ...) di funzione: F (+,-, padre, ...) con arità di predicato: P (<,=,pari,...) con arità - Variabili: V (X,Y,...)

Termini: i) una variabile X ∈ V è un termine ii) una costante c ∈ C è un termine iii) l’applicazione (f(t1,...,tn)) di un simbolo di funzione n-ario f ∈ F ad n termini t1,...,tn è un termine iv) non esistono altri termini termine ground - senza variabili (oggetti dell'Universo del discorso) Es.: padre(padre(giovanni))

Calcolo dei predicati Atomi: {p(t1,..,tn) |p ∈ P, t1,..,tn termini} Es.: fattoriale (3,6) uomo(paolo) maggiore(X,3) maggiore(più(X,1),Y) ama(giovanni,maria) ama(padre(giovanni),giovanni) ama(padre(padre(giovanni)),giovanni) maggiore(più(più(1,giovanni),Y),padre(3)) Formule Ben Formate (fbf): - Atomi - frasi logiche: se F, F1, F2 sono fbf - negazione ~F - congiunzione F1∧ F2 - disgiunzione F1∨F2 - implicazione F1← F2 - equivalenza F1↔ F2 - frasi quantificate: se Fè una fbf e X ∈ V - universalmente (∀X.F) - esistenzialmente (∃X.F) - non esistono altre fbf

Calcolo dei predicati Il linguaggio del prim’ordine definito da un alfabeto è l’insieme di tutte le fbf costruite con i simboli dell’alfabeto Occorrenza di variabile vincolata: i) se compare all’interno di un quantificatore ii) se compare nello scope di un quantificatore per quella variabile Una variabile è libera in una fbf se almeno una sua occorrenza è non vincolata Una formula è chiusa se non contiene variabili libere Se f è una formula aperta, ∃(f) e ∀(f) denotano le chiusure esistenziale e universale di f importanza dell' ordine dei quantificatori. Ordine: primo, secondo, ... omega

LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE: SINTASSI, ESEMPI un esempio filosofico (∀X)(uomo(X) → mortale(X)) ∧ uomo(socrate) → mortale(socrate) due degli assiomi di base dei numeri naturali (interpretare f e g come funzioni successore e predecessore la costante 0 come zero il predicato u come uguaglianza ) (∀X)(∃Y)(u(Y,f(X)) ∧ (∀Z)(u(Z,f(X)) → u(Y,Z))) (∀X)( ~u(X,0) → ((∃Y)(u(Y,g(X)) ∧ (∀Z)(u(Z,g(X)) → u(Y,Z))))) nella formula (∀X)p(X,Y), tutte le occorrenze di X sono vincolate, mentre Y è libera Y è libera anche nella formula : (∀X)p(X,Y) ∧ (∀Y)q(Y)

Calcolo dei predicati SEMANTICA (relazione tra frasi e concetti) Dare una interpretazione alle espressioni sintatticamente corrette. Definire se certe espressioni sono vere o false in base al significato che si dà ai componenti l'espressione. • Interpretazione (I): - Dominio D - funzione da C a D - funzione da F a (Dn→D) - funzione da P a (Dn→ {T,F}) • interpretazione intesa, altre int. • assegnamento di variabili (U): - funzione da V a D • assegnamento di termini: (T) combinazione di I ed U

Calcolo dei predicati soddisfacimento ( ⊨I ): ⊨I F[U] vale se F è vera per I e U, cioè interpretata nel dominio D di I. - ⊨ Ip(t1,..,tn)[U] iff pI(I(t1),..,I(tn)) = T - ⊨ I ~F[U] iff ⊨I F[U] non è vera - ⊨ I F1 ^ F2[U] iff ⊨I F1[U] e ⊨I F2[U] - ⊨ I F1 v F2[U] iff ⊨I F1[U] o ⊨I F2[U] - ⊨ I F1 ← F2[U] iff ⊨I F1[U] o non ⊨I F2[U] - ⊨ I F1↔ F2[U] iff ⊨I F1 ← F2[U] e ⊨I F2 ← F1[U] - ⊨ I (∀X.F)[U] iff per ogni d ∈ D ⊨I F[V] con V identica ad U tranne che V(X)=d. - ⊨ I (∃X.F)[U] iff per qualche d ∈D ⊨I F[V] • ⊨ I una interpretazione I che soddisfa F per tutti i possibili assegnamenti di variabile si dice un MODELLO di F: ⊨ I F

LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE: SEMANTICA, ESEMPI f = (∀X) p(X) → q(f(X),a) un’interpretazione I D = {1,2} [a] = 1 [f(1)] = 2 [f(2)] = 1 [p(1)] = F [p(2)] = T [q(1,1)] = T [q(1,2)] = T [q(2,1)] = F [q(2,2)] = T la valutazione di f in I è T (I è un modello di f), se X=1, p(1) → q(f(1),a) = p(1) → q(2,1) = F → F = T se X=2, p(2) → q(f(2),a) = p(2) → q(1,1) = T → T = T

LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE: SEMANTICA, ESEMPI f = (∀X) (∃Y) p(X) Λ q(X,Y) un’interpretazione I D = {1,2} [a] = 1 [f(1)] = 2 [f(2)] = 1 [p(1)] = F [p(2)] = T [q(1,1)] = T [q(1,2)] = T [q(2,1)] = F [q(2,2)] = T la valutazione di f in I è F (I non è un modello di f), se X=1, se Y=1, p(1) ^ q(1,1) = F se Y=2, p(1) ^ q(1,2) = F

Calcolo dei predicati una interpretazione I che soddisfa tutte le formule di un insieme T (teoria) per tutti i possibili assegnamenti di variabile si dice un MODELLO di T: ⊨I T F è conseguenza logica di una teoria T : T ⊨I F iff ogni modello di T è anche modello di F T è soddisfacibile iff T ha almeno un modello T è insoddisfacibile (inconsistente) iff T non ha alcun modello F è valida ⊨ F iff F è soddisfatta per ogni I e per ogni U (ogni interpretazione è un modello)

Calcolo dei predicati • teoria assiomatica - assiomi logici (logicamente validi) - assiomi non logici (conoscenza specifica) - regole di inferenza (permettono di ricavare nuove fbf da insiemi di fbf) Es: Modus Ponens: A B← A B • dimostrazione : sequenza finita di fbf (f1,..,fn), ciascuna delle quali è un assiomi o è derivata dalle precedenti mediante una regola di inferenza. • teorema: ultima formula di una dimostrazione • se T è un insieme di formule (assiomi non logici) T ⊢ A indica che A è un teorema per la teoria T. • ⊢ A indica che A è un teorema (formula logicamente valida)

Equivalenza tra sintassi e semantica • Correttezza: i teoremi di una teoria sono veri in tutti i modelli della teoria • Completezza: le fbf che sono vere in tutti i modelli della teoria (seguono logicamente dagli assiomi) sono teoremi della teoria. • il calcolo dei predicati del prim'ordine è corretto e completo (nel caso di assenza di assiomi non logici, i teoremi coincidono con le formule valide)

Stile dichiarativo della PL _______________________________ orientato ad utenti non programmatori grande potere espressivo programma come insieme di formule (assiomi) computazione come costruzione di una dimostrazione di una formula (goal) Calcolo dei predicati del prim'ordine sintassi semantica dim. di --correttezza-> conseguenza teoremi <-- copletezza-- logica limitazione nel tipo di formule (clausole Horn) e utilizzazione di particolare tecniche per la dimostrazione di teoremi (unificazione e risoluzione)

Conseguenze logiche e insoddisfacibilità  • Teorema di deduzione T |= F G iff T {F} |= G • Teorema: Sia S un insieme di formule (chiuse), f una formula (chiusa), di un linguaggio del prim'ordine L f è una conseguenza logica di S iff l'insieme S {~f} è insoddisfacibile Sia I un modello di S, I è anche un modello di f e quindi non di ~f. Quindi non esiste interpretazione che sia modello di S e di ~f. Sia I una interpretazione che sia modello di S ma non di ~f. I è anche modello di f. Quindi f è conseguenza logica di S 2^lezione

Forme Normali H=G iff i valori di verità coincidono per ogni interpretazione Leggi di Equivalenza HG = (HG)(GH) HG = H(~G) HG = GH HG = GH (HP)G = H(PG) (HP)G = H(PG) (HP)G = (HG)(PG) (HP)G = (HG)(PG) Hf = H Ht = H Ht = t Hf = f HH = t HH = f ~(H) = H ~(HP) = ~HP ~(HP) = ~H~P

Forme Normali Principio di rimpiazzamento: In una formula si può rimpiazzare una sua parte con una formula equivalente ed il valore di verità non cambia. Letterale: atomo o negazione di atomo Forma normale congiuntiva: F1F2Fn con Fi = L1 L2 Lm Forma normale disgiuntiva: F1F2Fn con Fi = L1 L2 Lm Procedura di trasformazione: (1) e (2) (9), (10) e (11) (5) + semplificazioni

(Q1x1)(Q2x2)(Qnxn) (M) Forme Normali Forma normale prenessa (prenex): (Q1x1)(Q2x2)(Qnxn) (M) (Qixi) è  xi o xi. M è una formula senza quantificatori (Q1x1)(Q2x2)(Qnxn) è il prefisso M è la matrice (spesso in f.n. congiuntiva o disgiuntiva)

Forme Normali Leggi di Equivalenza Procedura di trasformazione: 1a) (Qx)F[x]G = (Qx)(F[x]G) 1b) (Qx)F[x]G = (Qx)(F[x]G) 2a) ~((x)F[x]) = (x)(~F[x]) 2b) ~((x)F[x]) = (x)(~F[x]) 3a) (x)F[x](x)G[x] = (x)(F[x]G[x]) 3b) (x)F[x](x)G[x] = (x)(F[x]G[x]) 4a) (Q1x)F[x](Q2x)G[x] = (Q1x)(Q2y)(F[x]G[y]) 4b) (Q1x)F[x](Q2x)G[x] = (Q1x)(Q2y)(F[x]G[y]) Procedura di trasformazione: (1) e (2) (9) (10) (11) (2a,2b) ridenominazione variabili, (1a,1b)(3a,3b)(4a,4b) (5) + semplificazioni

Forma standard di Skolem Sia F = (Q1x1)(Q2x2)(Qnxn) (M) Prendiamo (Qrxr) del tipo (xr) e si esaminino i (Qixi) con i<r. se non vi è nessun quantificatore universale (i<r. Qi= ) sostituiamo ogni occorrenza di xr in M con una costante c (diversa da tutte le altre in M) e togliamo (Qrxr). b) altrimenti, consideriamo s1,s2,sm :  i≤m. si<r e Qsi= . Sostituiamo ogni occorrenza di xr in M con un nuovo simbolo di funzione f (diverso da tutti gli altri in M) applicato ad xs1,xs2,xsm (f(xs1,xs2,xsm)) e togliamo (Qrxr).

Clausole disgiunzione di atomi o negazioni di atomi, in cui le variabili sono implicitamente quantificate universalmente A1 A2 AnB1 B2 ~Bm La clausola vuota [] corrisponde a F è equivalente a (A1 A2 An) (B1  B2 Bm) che si scrive (conclusione premesse) A1,A2 AnB1,B2, Bm insieme di clausole: congiunzione di clausole.

Teorema di Skolemizzazione • una teoria del prim'ordine si può ridurre in forma a clausole con semplici trasformazioni sintattiche: T diventa T' vale la seguente proprietà: T è insoddisfacibile iff lo è T' • Teorema: Sia S un insieme di clausole che rappresenta una forma standard di Skolem di una formula F F è insoddisfacibile iff S è insoddisfacibile • si può anche rappresentare la conoscenza direttamente in forma a clausole • è comunque una forma particolarmente conveniente per il compito di dimostrare automaticamente teoremi

Trasformazione in forma a Clausole 1. " x. $y. (P(x)ÚQ(x,y)) ® R(x) (eliminazione del connettivo ®) 2. " x. $y. ~(P(x)ÚQ(x,y)) Ú R(x) (riduzione della portata della negazione) 3. " x. $y. (~P(x) Ù ~Q(x,y)) Ú R(x) (distribuzione del connettivo Ú) 4. " x. $y. (~P(x)Ú R(x)) Ù (~Q(x,y) Ú R(x)) (Eliminazione del quantificatore esistenziale, introduzione di funzioni di Skolem) 5. " x. (~P(x)Ú R(x)) Ù (~Q(x,f(x)) Ú R(x)) (eliminazione del quantificatore universale) 6. (~P(x)Ú R(x)) Ù (~Q(x,f(x))Ú R(x)) (eliminazione del connettivo Ù) Insieme di clausole: {~P(x)Ú R(x), ~Q(x,f(x)) Ú R(x)}

Skolemizzazione S è inconsistente iff S1 è inconsistente Lemma sia S una formula in forma prenessa (Q1 X1)…(Qn Xn) M(X1,…,Xn), con Qr primo quantificatore esistenziale, ed S1 la formula (" X1)…(" Xr-1) (Qr+1 Xr+1)… (Qn Xn) M(X1,…,Xr-1,f(X1,…,Xr1),Xr+1,…,Xn) S è inconsistente iff S1 è inconsistente

Skolemizzazione Prova supponiamo S inconsistente e S1 consistente, esiste I tale che S1 è vera in I: per tutti gli X1,…,Xr-1 esiste almeno un elemento, f(X1,…,Xr-1), tale che è vera in I (Qr+1Xr+1)…(QnXn) M(X1,…,Xr-1,f(X1,…,Xr-1),Xr+1,…,Xn) quindi S sarebbe vera in I ii) supponiamo S1 inconsistente e S consistente, esiste I (su D) tale che S è vera in I per tutti gli X1,…,Xr-1 esiste almeno un elemento Xr tale che è vera in I (Qr+1 Xr+1)… (Qn Xn) M(X1,…,Xr-1,Xr,Xr+1,…,Xn) Sia I‘ l’interpretazione ottenuta estendendo I con una funzione f, tale che, per tutti gli X1,…,Xr-1 in D, f(X1,…,Xr-1) = Xr per tutti gli X1,…,Xr-1 (Qr+1 Xr+1)… (Qn Xn) M(X1,…,Xr-1,f(X1,…,Xr-1),Xr+1,…,Xn) è vera in I', cioè S1 sarebbe vera in I'

S è inconsistente iff C è inconsistente. Skolemizzazione Teorema Sia C l’insieme di clausole risultante dalla skolemizzazione dell’insieme di fbf S. S è inconsistente iff C è inconsistente. Prova S può essere un’unica formula in forma prenessa. Si assuma che in S esistano m quantificatori esistenziali e si consideri la sequenza di formule S0 = S Skè ottenuto da Sk-1, sostituendo il primo quantificatore esistenziale in Sk-1 con una funzione di Skolem gk, k=1,…,m Sm= C Per il lemma precedente, Sk è inconsistente iff Sk-1 è inconsistente, quindi C è inconsistente iff S è inconsistente

Skolemizzazione Sia C l’insieme di clausole risultante dalla skolemizzazione dell’insieme di fbf S se S è consistente, C non è necessariamente equivalente a S Esempio • S = { ($X) p(X) } • C = { p(a) } • un’interpretazione I D = {1,2} [a] = 1 [p(1)] = F [p(2)] = T • I è un modello di S e non di C

LA METODOLOGIA DI PROVA 1. W è conseguenza logica di T iff siano S un insieme di formule e f una formula di un linguaggio del prim’ordine L f è una conseguenza logica di S iff l’insieme S È {~f } è insoddisfacibile 2. {T È ~W} è insoddisfacibile iff sia C l’insieme di clausole risultante dalla skolemizzazione dell’insieme di fbf S S è inconsistente iff C è inconsistente 3. T', insieme di clausole ottenuto skolemizzando {T È ~W} è insoddisfacibile iff un insieme di clausole C è insoddisfacibile iff non ha modelli di Herbrand 4. T' non ha modelli di Herbrand basta considerare le interpretazioni su un particolare dominio, l’Universo di Herbrand 3^lezione

UNIVERSO E BASE DI HERBRAND Sia L un linguaggio del prim’ordine, il cui insieme di costanti non sia vuoto (se è vuoto, lo consideriamo formato da una costante arbitraria a) L’Universo di Herbrand di L (UL) è l’insieme di tutti i termini ground di L Un termine (atomo) ground è un termine (atomo) che non contiene variabili Un’istanza ground di una clausola C in L è una clausola ottenuta da C sostituendo le variabili con termini di UL La Base di Herbrand di L (BL) è l’insieme di tutti gli atomi ground di L, cioè di tutte le formule ottenute applicando i predicati di L agli elementi di UL

UNIVERSO E BASE DI HERBRAND Universo di Herbrand per un insieme di clausole S: H0 = {c0,…,cn} ci costanti in S (sempre almeno una) Hi+1 = Hi È {f(t1,…,tn)| f è un simbolo di funzione n-ario e i tjÎHi } HU = È Hi Base di Herbrand per un insieme di clausole S: B = {p(t1,…,tn)| p è un simbolo di predicato n-ario e i ti ÎHU } Esempio: il linguaggio L della teoria del prim’ordine 1. p(0,X,X) 2. ~p(X,Y,Z) V p(s(X),Y,s(Z)) UL = {0,s(0),s(s(0)),…} BL = {p(0,0,0), p(s(0),0,0),p(s(0),s(0),0),…}

INTERPRETAZIONI DI HERBRAND (H-interpretazione) per L è un’interpretazione tale che: i) il suo dominio è UL ad ogni costante a di L è assegnata la costante stessa ad ogni funzione n-aria f di L è assegnata la funzione da (UL)n a UL, che assegna il termine f(t1,…,tn) alla n-upla di termini t1,…,tn ad ogni predicato n-ario p in L è assegnato un insieme di n-uple di termini di UL

INTERPRETAZIONI E MODELLI DI HERBRAND ogni H-interpretazione per L è determinata in modo univoco da un sottoinsieme qualunque (anche vuoto) di BL, che definisce l’insieme degli atomi ground che sono veri sia A un insieme di formule chiuse del linguaggio del prim’ordine L un modello di Herbrand (H-modello) di A è una qualunque H-interpretazione I tale che tutte le formule in A sono vere in I abusi di notazione: Universo, Base, Interpretazioni, Modelli di Herbrand indiciati dall’insieme di formule (programma) invece che dal relativo linguaggio del prim’ordine

INTERPRETAZIONI DI HERBRAND: UN ESEMPIO l’insieme di clausole A 1. p(0,X,X) 2. ~p(X,Y,Z) V p(s(X),Y,s(Z)) UA = {0,s(0),s(s(0)),…} BA = {p(0,0,0), p(s(0),0,0),p(s(0),s(0),0),…} IA1= {p(0,0,0), p(0,s(0),s(0)),p(s(0),0,s(0)), p(0,s(s(0)),s(s(0))),…} IA2= {p(0,0,s(0)), p(0,s(0),s(0)),p(s(0),0,s(0)), IA2 non è certamente un H-modello di A

CLAUSOLE E INTERPRETAZIONI DI HERBRAND Teorema: Ogni insieme consistente di clausole S ha un H-modello Prova sia I un modello di S e definiamo la H-interpretazione (corrispondente) I' = { p(t1,…,tn) Î BS | p(t1,…,tn) è vera in I } è evidente che anche I' è un modello di S [attenzione al caso di assenza di costanti] Corollario Un insieme di clausole S è insoddisfacibile iff non possiede modelli di Herbrand il teorema ed il corollario non valgono per insiemi di formule chiuse arbitrarie

UNA TEORIA CONSISTENTE SENZA H-MODELLI 1. p(a) 2. ~(" X) p(X) la teoria è consistente, come dimostrato dal modello D = {0,1} a = 0 p(0) = t p(1) = f l’Universo di Herbrand {a} la base di Herbrand {p(a)} le H-interpretazioni {} {p(a)} nessuna H-interpretazione è un modello! il problema è legato alle quantificazioni esistenziali:c’è ($ X)~p(X) nell’assioma 2; nella versione skolemizzata introdurrebbe una nuova costante (di Skolem)

CLAUSOLE E H-INTERPRETAZIONI: PROPRIETA' una H-interpretazione è un sottinsieme della base e si può pensare di reppresentarla come l'insieme di tutti i letterali ground veri I = {p(a), ~p(f(a)), p(f(f(a))), ....} una istanza ground c' di una clausola c è soddisfatta in una H-interpretazione I iff c' Ç I ≠ Æ. una clausola c è soddisfatta in una H-interpretazione I iff ogni istanza ground lo è. una clausola c è falsificata in una H-interpretazione I iff c'è almeno una istanza ground che lo è. un insieme di clausole S è insoddisfacibile iff per ogni H-interpretazione I, c'è almeno una istanza ground di qualche c in S che non è soddisfatta da I.

CLAUSOLE, H-INTERPRETAZIONI E PROGRAMMAZIONE LOGICA la maggior parte della teoria della programmazione logica ha a che fare solo con clausole è sufficiente restringersi alle H-interpretazioni alcune parti della teoria (completamento per trattare la negazione) richiedono l’uso di fbf non clausali è necessario considerare interpretazioni arbitrarie

ALBERI SEMANTICI l’insieme di tutte le H-interpretazioni può essere rappresentato da un albero (l’albero semantico), i cui archi sono etichettati da assegnamenti di valori di verità agli atomi della Base di Herbrand tali che: per ogni nodo N vi è un numero finito di archi che partono da N (L1, …,Ln). Sia Qi la congiunzione di tutti i letterali che etichettano Li. Q1Ú …ÚQn è una formula proposizionalmente valida. per ogni nodo N, sia I(N) = insieme dei letterali che etichettano gli archi del cammino dalla radice a N. I(N) non contiene coppie complementari (A, ~A).

ALBERI SEMANTICI Sia BS = {A1, A2,…,An,…} la Base di Herbrand della teoria S un corrispondente albero semantico binario: se l’Universo e la Base di Herbrand sono infiniti (se esiste almeno un simbolo di funzione), l’albero semantico è un albero binario infinito

ALBERI SEMANTICI Ogni cammino sull’albero semantico è una H-interpretazione: l’insieme degli atomi positivi del cammino Ad ogni nodo N è associata la H-interpretazione (parziale) I(N). Un albero semantico è completo se per ogni foglia N, I(N) contiene A o ~A per ogni A in BS.

NODI DI FALLIMENTO un nodo n dell’albero semantico è un nodo di fallimento per l’insieme di clausole S, se esiste almeno una clausola c di S tale che c’ (un’istanza ground di c) è falsa nell’H-interpretazione In tutte le clausole di S (tutte le loro istanze ground) non sono false in tutte le H-interpretazioni Im con m antenato di n, cioè nessun nodo m antenato di n è un nodo di fallimento.

ALBERI SEMANTICI CHIUSI un albero semantico è chiuso, se ogni suo cammino contiene un nodo di fallimento. può essere rappresentato da un albero binario finito, le cui foglie sono i nodi di fallimento. un nodo n dell’albero semantico è un nodo inferenza per l’insieme di clausole S, se tutti i suoi immediati successori sono nodi fallimento.

TEOREMA DI HERBRAND (versione 1) Un insieme di clausole S è insoddisfacibile iff per ogni albero semantico completo c'è un corrispondente albero semantico finito e chiuso. Prova si assuma S insoddisfacibile, sia T il suo albero semantico, sia r un cammino di T poiché S è insoddisfacibile, Ir deve rendere falsa un’istanza ground c' di una clausola c in S essendo c' una disgiunzione finita di atomi ground, deve esistere un nodo di fallimento ad una distanza finita dalla radice di T essendo questo vero per ogni ramo, T è chiuso si assuma T chiuso ogni cammino contiene un nodo di fallimento ogni H-interpretazione rende falso S S è insoddisfacibile

TEOREMA DI HERBRAND: UN ESEMPIO la teoria del prim’ordine p(a,a) ("X)("Y) p(X,Y) ® p(f(X),f(Y)) la formula “da provare” ($X) p(f(a),X) la sua negazione ("X)~p(f(a),X) l’insieme di clausole c1: p(a,a) c2: ~p(X,Y) Ú p(f(X),f(Y)) c3: ~p(f(a),X) l’Universo di Herbrand: {a,f(a),f(f(a)),…} la Base di Herbrand: {p(a,a), p(f(a),a), p(f(a),f(a)), p(a,f(a)),…}

TEOREMA DI HERBRAND: UN ESEMPIO c1: p(a,a) c2: ~p(X,Y) Ú p(f(X),f(Y)) c3: ~p(f(a),X) l’albero semantico è chiuso (i nodi di fallimento sono etichettati con la clausola che “fallisce” in quel nodo)

TEOREMA DI HERBRAND: UN ESEMPIO • la costruzione dell’albero semantico e la determinazione dei nodi di fallimento costituisce una procedura che permette di semidecidere se una formula è conseguenza logica di un insieme di assiomi il metodo è semantico alla ricerca di procedure (“sintattiche”?) più efficienti

TEOREMA DI HERBRAND (versione 2) Un insieme di clausole S è insoddisfacibile se e solo se esiste un insieme finito insoddisfacibile S' di istanze ground di clausole di S Sulla versione 2 del teorema sono basati i primi metodi per la verifica automatica di insoddisfacibilità: (Gilmore[1960], Davis&Putnam [1960],…) 4^lezione

Metodi di verifica algoritmo per generare sistematicamente le istanze ground delle clausole (la procedura di Herbrand): al passo i-esimo si istanziano le clausole sostituendo le variabili con termini di HUk tale che k ≤ i b) algoritmo per verificarne l’insoddisfacibilità: un qualunque algoritmo per il calcolo proposizionale non fattibile, perché il numero di clausole generate cresce in modo esponenziale il principio di risoluzione di Robinson [1965] un metodo sintattico, basato sulla versione 1 del T. di Herbrand evita la generazione di insiemi di istanze ground

DAVIS E PUTMAN Regola della tautologia Regola del singolo letterale Cancellare le clausole che sono tautologie Regola del singolo letterale S={{L},{...,L,...},{...,~L,...},...} S'={ {...,~L,...},...} se S'={} S è soddisfacibile, altrimenti prosegui con S"={ {..., ,...},...} Regola del letterale puro Se un letterale L non compare mai come ~L è puro, si può ottenere un nuovo insieme di clausole eliminando tutte quelle che contengono L Regola di divisione S={{A1,L},...,{An,L},{B1,~L},...,{Bm,~L}, R} S1={{A1},...,{An},R} S2={{B1},...,{Bm}, R} S è insoddisfacibile iff lo è S1Ú S2

IL METODO DI RISOLUZIONE: SCHEMA un insieme di clausole S è insoddisfacibile se contiene la clausola vuota [] (contraddizione!) oppure da S si può derivare la clausola vuota [] il principio di risoluzione è una regola di inferenza sia S' l’insieme ottenuto aggiungendo all’insieme di clausole S le clausole derivabili da S con il principio di risoluzione se S è insoddisfacibile, anche S' è insoddisfacibile l’albero semantico (chiuso) di S' è strettamente “più piccolo” di quello di S iterando l’applicazione del principio di risoluzione si ottiene un insieme di clausole S* il cui albero semantico è costituito dalla sola radice la radice è un nodo di fallimento S* contiene []

IL PRINCIPIO DI RISOLUZIONE NEL CALCOLO PROPOSIZIONALE estensione della regola del letterale unico di Davis&Putnam siano c1 e c2 due clausole qualunque c1 = a11 Ú a21 Ú … Ú an1 c2 = a12 Ú a22 Ú … Ú am2 tali che i letterali ai1 e aj2 sono complementari il risolvente di c1 e c2 è la clausola a11Ú … Ú ai-11Ú ai+11Ú … Ú an1Ú a12Ú … Ú aj-12Ú aj+12Ú … Ú an2 disgiunzione delle clausole ottenute eliminando i letterali complementari esempi c1 = p Ú r c2 = ~p Ú q c1,2 =r Ú q c1 = ~p Ú q Ú r c2 = ~q Ú s c1,2 = ~p Ú r Ú s c1 = ~p Ú q c2 = ~p Ú r c1,2 non esiste il risolvente, se esiste, di due clausole unitarie è la clausola vuota []

CORRETTEZZA DEL PRINCIPIO DI RISOLUZIONE NEL CALCOLO PROPOSIZIONALE Teorema Date due clausole c1 e c2, un risolvente c di c1 e c2 è conseguenza logica di c1 e c2 Prova siano c1 = a Ú c1', c2 = ~a Ú c2' e c = c1' Ú c2', con c1' e c2' disgiunzioni di letterali sia I un modello di c1 e c2 in I è falso a oppure ~a supponiamo sia falso a c1' non può essere vuoto e deve essere vero in I (altrimenti I non sarebbe un modello di c1) è vero in I anche c = c1' Ú c2' analogamente, se ~a è falso, c1' (e quindi c) vero in I quindi, in ogni caso, c è vero in I come vedremo nel contesto dei linguaggi del prim’ordine, il principio di risoluzione è una regola di inferenza completa per la dimostrazione dell’insoddisfacibilità di un insieme di clausole un insieme di clausole S è insoddisfacibile se e solo se la clausola vuota [] può essere ricavata da S, applicando il principio di risoluzione

PRINCIPIO DI RISOLUZIONE NEI LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE c1 = p(X) Ú q(X) c2 = ~p(f(Y)) Ú r(Y) servono letterali complementari, che esistono se consideriamo opportune istanze di c1 e c2 c1' = p(f(a)) Ú q(f(a)) c2' = ~p(f(a)) Ú r(a) c1,2' = q(f(a)) Ú r(a) c1" = p(f(Y)) Ú q(f(Y)) c2" = ~p(f(Y)) Ú r(Y) c1,2" = q(f(Y)) Ú r(Y) c1,2" è più generale di c1,2', ed è anzi la più generale fra le clausole ottenibili da c1 e c2 mediante il procedimento istanziazione + risoluzione proposizionale ogni altra clausola è una istanza di c1,2" c1,2" è il risolvente di c1 e c2 deduzione di c da S: c1,...,cn tale che ogni ci è una clausola di S o un risolvente di clausole precedenti e cn = c refutazione: deduzione di [] da S

SOSTITUZIONI una sostituzione J è un insieme finito della forma {v1 ¬ t1,…, vn ¬ tn} vi è una variabile ti è un termine diverso da vi le variabili vi, i=1,…,n sono tra loro distinte una sostituzione è una funzione da variabili a termini la sostituzione vuota è denotata da e una sostituzione è ground se tutti i ti, i=1,…,n sono ground siano J = {v1 ¬ t1,…, vn ¬ tn} una sostituzione ed E una espressione (termine, atomo, insieme di termini, etc.) l’applicazione di J ad E è l’espressione ottenuta da E sostituendo simultaneamente ogni occorrenza di vi, i=1,…,n con il termine ti il risultato dell’applicazione (denotato da EJ) è una istanza di E la sostituzione J è grounding per l'espressione E se EJ è una istanza ground di E

SOSTITUZIONI siano J = {X1 ¬ t1,…, Xn ¬ tn} e l = {Y1 ¬ u1,…, Ym ¬ um} due sostituzioni la composizione di J e l (denotata da J ° l) è la sostituzione così definita i) costruiamo l’insieme {X1 ¬ t1l,…, Xn ¬ tnl, Y1 ¬ u1,…, Ym ¬ um} ii) eliminiamo dall’insieme gli elementi Xi ¬ til tali che til = Xi iii) eliminiamo dall’insieme gli elementi Yj ¬ uj tali che Yj occorre in {X1,…, Xn} Alcune delle proprietà delle sostituzioni: la composizione di sostituzioni è associativa (J ° l)° m = J ° (l ° m) la sostituzione vuota è identità sia sinistra che destra J ° e = e ° J = J

SOSTITUZIONI: ESEMPIO J = {X ¬ f(Y), Y ¬ Z} l = {X ¬ a, Y ¬ b, Z ¬ Y} Costruzione di J ° l i) {X ¬ f(b), Y ¬ Y, X ¬ a, Y ¬ b, Z ¬ Y} ii) {X ¬ f(b), X ¬ a, Y ¬ b, Z ¬ Y} iii) {X ¬ f(b), Z ¬ Y} Costruzione di l ° J i) {X ¬ a, Y ¬ b, Z ¬ Z, X ¬ f(Y), Y ¬ Z} ii) {X ¬ a, Y ¬ b, X ¬ f(Y), Y ¬ Z} iii) {X ¬ a, Y ¬ b}

UNIFICAZIONE DI INSIEMI DI ESPRESSIONI sia dato un insieme di espressioni (termini, atomi, etc.) {E1,…, Ek} una sostituzione J è un unificatore per {E1,…, Ek} iff E1J = E2J = …= EkJ un insieme {E1,…, Ek} è unificabile iff esiste una sostituzione J tale che J è un unificatore per {E1,…, Ek} l’insieme {p(a,Y), p(X,f(b))} è unificabile dato che la sostituzione J = {X ¬ a, Y ¬ f(b)} è un unificatore per l’insieme un unificatore J per l’insieme {E1,…, Ek} è l’unificatore più generale (most general unifier, mgu) iff per ogni unificatore l dell’insieme {E1,…, Ek} esiste una sostituzione m tale che l = J ° m esiste un algoritmo (algoritmo di unificazione), che, dato un insieme di espressioni E = {E1,…, Ek}, rivela la sua non unificabilità, oppure calcola un unificatore più generale per E

MGU DI DUE ESPRESSIONI: UN ALGORITMO NAïF inizia con t1 , t2 ed una sostituzione µ0 inizialmente vuota scandisci le due espressioni da sinistra a destra se le due espressioni sono uguali, termina con successo e restituisci la corrente sostituzione µk (mgu di {t1 , t2}) altrimenti, siano t1,i and t2,i le prime due sottoespressioni diverse se nè t1,i nè t2,i sono una variabile, termina con fallimento altrimenti, supponiamo che t1,i sia la variable V se t2,i contiene V, termina con fallimento altrimenti, applica la sostituzione {V ¬ t2,i} a t1 e t2 µi = µi-1 ° {V ¬ t2,i} riprendi la scansione delle espressioni dove era stata sospesa da notare che le sostituzioni cicliche causano fallimento (l’occur check è necessario!)

MGU DI DUE ESPRESSIONI: UN ESEMPIO E = {p(a,X,f(g(Y))), p(Z,f(Z),f(U))} µ0 = e t1,1 = a t2,1 = Z µ1 = e ° {Z ¬ a} = {Z ¬ a} E1 = {p(a,X,f(g(Y))), p(a,f(a),f(U))} t1,2 = X t2,2 = f(a) µ2 = {Z ¬ a} ° {X ¬ f(a)} = {Z ¬ a, X ¬ f(a)} E2 = {p(a,f(a),f(g(Y))), p(a,f(a),f(U))} t1,3 = g(Y) t2,3 = U µ3 = {Z ¬ a, X ¬ f(a)} ° {U ¬ g(Y)} = {Z ¬ a, X ¬ f(a), U ¬ g(Y)} E3 = {p(a,f(a),f(g(Y)))} µ3 è un mgu per E

Teorema di Unificazione Se W è un insieme di espressioni finito, non vuoto ma unificabile, allora l'algoritmo di unificazione terminerà sempre al passo del successo e l'ultima sostituzione finale è un m.g.u. per W; altrimenti terminerà con fallimento. 5^ lezione

PRINCIPIO DI RISOLUZIONE NEI LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE Se la clausola c = L1 Ú…Ú Ln contiene un insieme di letterali unificabile, con unificatore più generale s, la clausola [L1 Ú…Ú Ln]s viene detta fattore unitario di c c = p(X) Ú p(f(Y)) Ú q(X) i primi due letterali sono unificabili con mgu {X ¬ f(Y)} p(f(Y)) Ú q(f(Y)) è un fattore unitario di c date due clausole senza variabili a comune (eventualmente ottenute per ridenominazione delle variabili) c1 = L1Ú...Ú Ln c2 = L'1Ú...Ú L'k se esistono Li ed L'j (unificabili) con unificatore più generale q tale che [Li]q = [~L'j]q la clausola (risolvente binario di c1 e c2) [L1Ú...ÚLi-1ÚLi+1Ú...ÚLnÚL'1Ú...ÚL'j-1ÚL'j+1Ú...ÚL'k]q è conseguenza logica di c1 e c2

PRINCIPIO DI RISOLUZIONE NEI LINGUAGGI DEL PRIM’ORDINE Li e L'j vengono detti i letterali su cui si è risolto un risolvente di c1 e c2 è un risolvente binario di [un fattore unitario di] c1 e di [un fattore unitario di] c2 Es: da a¬b e b¬c deriva a¬c da a¬b e b,d¬c deriva a,d¬c da ¬b,d e b¬c deriva ¬c,d Es: c1= ~p(s(0),s(0),W) Ú ~p(W,s(0),W1) c2= ~p(X,Y,Z) Ú p(s(X),Y,s(Z)) s = {X ¬ 0, Y ¬ s(0), W ¬ s(Z) } c1,2 = ~p(s(Z),s(0),W1) Ú ~p(0,s(0),Z)

IL METODO DI RISOLUZIONE un insieme di clausole S è insoddisfacibile se contiene la clausola vuota [] oppure da S si può derivare la clausola vuota [] sia S' l’insieme ottenuto aggiungendo all’insieme di clausole S tutti i fattori unitari di clausole di S ed i risolventi binari di coppie di clausole in S se S è insoddisfacibile, anche S' è insoddisfacibile l’albero semantico (chiuso) di S' è strettamente “più piccolo” di quello di S iterando l’applicazione del principio di risoluzione (generazione di fattori e risolventi) si ottiene un insieme di clausole S* il cui albero semantico è costituito dalla sola radice, la radice è un nodo di fallimento, S* contiene []

IL PRINCIPIO DI RISOLUZIONE É UNA REGOLA DI INFERENZA CORRETTA teorema: se c è una clausola e c' un suo fattore unitario, c' è conseguenza logica di c dimostriamo che ogni istanza è conseguenza logica supponiamo che c' sia falsa in una interpretazione M che è un modello di c un’istanza ground di c' deve essere falsa in M un’istanza ground di c è falsa in M M non può essere un modello di c

IL PRINCIPIO DI RISOLUZIONE É UNA REGOLA DI INFERENZA CORRETTA teorema: se c1 e c2 sono clausole e c è un loro risolvente binario, c è conseguenza logica di c1 e c2 il risolvente può essere calcolato componendo due regole (l’istanziazione e la risoluzione proposizionale) che sono state dimostrate essere regole di inferenza corrette

TEOREMA DI CORRETTEZZA DEL METODO DI RISOLUZIONE Se dall’insieme di clausole S è possibile derivare con il principio di risoluzione la clausola vuota [] , l’insieme S è insoddisfacibile dimostrazione [] è uno dei risolventi generati a partire dalle clausole di S [] è conseguenza logica di S tutti i modelli di S sono anche modelli di [] [] (la contraddizione) non ha alcun modello anche S non ha alcun modello

LEMMA DI GENERALIZZAZIONE Siano c'1 e c'2 istanze di c1 e c2 sia c' un risolvente di c'1 e c'2 esiste un risolvente c di c1 e c2 tale che c' è una istanza di c dimostrazione c1 = A11 V…V A1n e c2 = A21 V…V A2m non hanno variabili comuni (eventualmente si ridenomina) c' = [ A11t V…V A1i-1t V A1i+1t V…V A1nt V A21t V…V A2j-1t V A2j+1t V…V A2mt]g = [ A11 V…V A1i-1 V A1i+1 V…V A1n V A21 V…V A2j-1 V A2j+1 V…V A2m] t ° g, dove c'1 = c1t, c'2 = c2 t, g è l’mgu di A1it e ~A2jt, cioè [A1it]g = ~[A2jt]g A1i e ~A2j sono unificabili, in quanto t ° g è un loro unificatore esiste un loro unificatore più generale s tale che t ° g = s ° m per una opportuna sostituzione m esiste un risolvente di c1 e c2 rispetto ai letterali A1i e A2j c = [ A11 V…V A1i-1 V A1i+1 V…V A1n V A21 V…V A2j-1 V A2j+1 V…V A2m]s c' = [ A11 V…V A1i-1 V A1i+1 V…V A1n V A21 V…V A2j-1 V A2j+1 V…V A2m] s ° m = cm

NODI DI INFERENZA consideriamo l’albero semantico chiuso di un insieme di clausole S insoddisfacibile, un nodo di inferenza è un nodo dell’albero semantico, tale che entrambe i suoi successori sono nodi di fallimento se le clausole che falliscono nei successori del nodo di inferenza n sono ck e cj, possiamo inferire da ck e cj una nuova clausola rkj (che è proprio un risolvente) tale che: rkj fallisce nel nodo n o in un nodo antenato di n

NODI DI INFERENZA: ESEMPIO C1: P(a,a) C2: ~P(X,Y) Ú P(f(X),f(Y)) C3: ~P(f(a),X)

NODI DI INFERENZA: ESEMPIO • le clausole che falliscono sotto il nodo d’inferenza sono C2 e C3 • il risolvente di C2 e C3 è C4 = ~P(a,Y) fallisce sopra il nodo di inferenza • il nuovo albero semantico è infatti

IL LEMMA SUI NODI DI INFERENZA Dalle clausole che falliscono nei successori di un nodo di inferenza n possiamo inferire una nuova clausola (che è proprio un risolvente) che fallisce in un nodo n’ sopra n. Dimostrazione sia n un nodo di inferenza, siano n1 e n2 i nodi di fallimento suoi immediati successori, e sia mn+1 l’atomo assegnato a vero o a falso sotto il nodo n poiché n1 e n2 sono nodi di fallimento, mentre n non lo è, devono esistere due istanze ground c'1 e c'2 delle clausole c1 e c2 tali che c'1 e c'2 sono false in n1 e n2 rispettivamente e non sono falsificate da n c'1 e c'2 devono contenere ~mn+1 e mn+1 rispettivamente il risolvente rispetto a questi due letterali c' = (c'1 - ~mn+1 ) È (c'2 - mn+1 ) fallisce in un nodo n’ sopra n poiché sia (c'1 - ~mn+1 ) che (c'2 - mn+1 ) sono falsificati da n (l’unico letterale che non falliva è stato tolto!) per il lemma di generalizzazione, esiste un risolvente c di c1 e c2, tale che c' è una istanza ground di c (anche c fallisce in n’)

TEOREMA DI COMPLETEZZA DEL METODO DI RISOLUZIONE Se l’insieme di clausole S è insoddisfacibile, è possibile derivare da S in un numero finito di passi con il principio di risoluzione la clausola vuota [] Dimostrazione S è insoddisfacibile, quindi ha un albero semantico chiuso finito T se T è formato da un solo nodo (la radice), S deve contenere [], perché nessuna altra clausola può essere falsificata dalla radice altrimenti, T ha almeno un nodo di inferenza (in caso contrario ogni nodo avrebbe almeno un successore non di fallimento e si potrebbe trovare un cammino di T infinito, contro l’ipotesi di finitezza) per il lemma dei nodi di inferenza, esiste un risolvente c di clausole in S, che fallisce almeno in n sia T' l’albero semantico (chiuso) di S È {c} il numero di nodi di T' è strettamente minore di quello di T il procedimento può essere iterato, finché, dopo un numero finito di passi (l’albero iniziale è finito!) si raggiunge la clausola vuota [] e si ottiene un albero semantico chiuso formato dalla sola radice

UN ESEMPIO la teoria la formula da provare la sua negazione (clausola) 1. p(0,X,X) 2. ~p(X,Y,Z) V p(s(X),Y,s(Z)) la formula da provare $W. p(s(0),0,W) la sua negazione (clausola) 3. ~p(s(0),0,W) la prova (mostrata sotto forma di albero di rifiuto)

UN ESEMPIO le premesse (assiomi) la conclusione i funzionari di dogana hanno perquisito tutti coloro che sono entrati in Italia, ad eccezione dei VIP alcuni spacciatori di droga sono entrati in Italia e sono stati perquisiti solo da spacciatori di droga nessuno spacciatore era un VIP la conclusione alcuni funzionari erano spacciatori e(X) rappresenta “X è entrato in Italia”; v(X) rappresenta “X era un VIP”; p(X,Y) rappresenta “Y ha perquisito X”; f(X) rappresenta “X era un funzionario di dogana”; s(X) rappresenta “X era uno spacciatore di droga” ("X)(e(X) Ù ~v(X)) ® ($Y)(p(X,Y) Ù f(Y)) ~ e(X) V v(X) V p(X,g(X)) ~ e(X) V v(X) V f(g(X)) ($X)s(X) Ù e(X) Ù ("Y)(p(X,Y) ® s(Y)) s(a) e(a) ~ p(a,Y) V s(Y) ("X)(s(X) ® ~ v(X)) ~ s(X) V ~ v(X) ($X)s(X) Ù f(X) la cui negazione è ~ s(X) V ~ f(X)

UN ESEMPIO (2) ~ e(X) V v(X) V f(g(X)) (3) s(a) (4) e(a) (1) ~ e(X) V v(X) V p(X,g(X)) (2) ~ e(X) V v(X) V f(g(X)) (3) s(a) (4) e(a) (5) ~ p(a,Y) V s(Y) (6) ~ s(X) V ~ v(X) (7) ~ s(X) V ~ f(X) la dimostrazione per risoluzione (8) ~ v(a) da (3) e (6) (9) v(a) V f(g(a)) da (2) e (4) (10) f(g(a)) da (8) e (9) (11) v(a) V p(a,g(a)) da (1) e (4) (12) p(a,g(a)) da (8) e (11) (13) s(g(a)) da (5) e (12) (14) ~ f(g(a)) da (7) e (13) (15) [] da (10) e (14) notare che si sono usate tutte le clausole e che si sono generati solo alcuni dei risolventi

IL METODO DI RISOLUZIONE il metodo di risoluzione è un potente metodo di dimostrazione sintattico (basato su una sola regola di inferenza) non piace a coloro cui piacciono le prove sono poco naturali e poco convincenti inoltre richiede la skolemizzazione, che “fa perdere informazione” è molto più efficiente degli altri metodi basati sul teorema di Herbrand l’astuzia principale sta nell’unificazione in molti casi produce comunque una tale esplosione nel numero di risolventi generati da risultare inutilizzabile anche perché vengono generate molte clausole irrilevanti e ridondanti da qui l’interesse per particolari strategie di applicazione del principio di risoluzione, che generino meno clausole garantiscano la completezza risoluzione a livelli di saturazione (S0= S, S1= {risolventi a partire da S0}, ...) strategie di cancellazione (tautologie, clausole sussunte: C sussume D sse $s. D Ê Cs) 6^ lezione

STRATEGIE DI RISOLUZIONE Risoluzione semantica (1) interpretazione particolare per dividere le clausole in 2 insiemi ordinamento dei simboli di predicato per determinare una scelta sulla applicazione della risoluzione Hyperisoluzione (positiva o negativa) (1a) interpretazione particolare tutta positiva o negativa

STRATEGIE DI RISOLUZIONE Set of support strategy(1b) individuare SÊT tale che S-T è soddisfacibile e non scegliere mai di risolvere clausole in S-T. Lock resolution(2) ogni letterale è indicizzato e si applica la risoluzione solo ai letterali con indice minore di ogni clausola (non si può mescolare con altre strategie).

Esempio S= { ~q Ú ~ p Ú r, r Ú p, r Ú q, ~r} S’= { ~q Ú r, ~p Ú r, ~q Ú ~ p , p, q} S’’= {~q, ~p, r} S’’’= {[]} ---- I= {~q, ~p, ~r} S1 = {~q Ú ~ p Ú r, ~r}  {~q Ú r, ~ p Ú r} S2 = {r Ú p, r Ú q}  {p, q}  {r} p>q>r: ~q Ú r r []

STRATEGIE DI RISOLUZIONE un esempio di strategia completa la AF-resolution (ancestry-filtered resolution), che costruisce alberi di rifiuto con la proprietà AF un albero di rifiuto è ancestry-filtered se ogni suo nodo è una clausola della teoria iniziale, oppure un risolvente con almeno una clausola genitrice nella teoria iniziale, un risolvente di due clausole ci e cj, con ci antenato di cj teorema Se una teoria è insoddisfacibile, possiede almeno un albero di rifiuto ancestry-filtered E’ simile alla strategia lineare, su cui si basa la programmazione logica

RISOLUZIONE LINEARE un’altra strategia completa dall’insieme S viene prelevata una clausola c0 (clausola iniziale) un albero di rifiuto lineare ha la seguente proprietà: per i=1,…,n-1 ci+1 è un risolvente di ci (clausola centrale) e bi (clausola laterale) ogni bi appartiene a S oppure è un cj per j<i

RISOLUZIONE LINEARE

RISOLUZIONE LINEARE teorema di completezza se S è insoddisfacibile e S- c0 è soddisfacibile, esiste un albero di rifiuto lineare con clausola iniziale c0

RISOLUZIONE INPUT E UNIT input resolution è un caso particolare della risoluzione lineare, in cui tutte le clausole laterali sono clausole di S non sono permessi risolventi fra risolventi non è completa, ma assomiglia molto alla SLD-resolution utilizzata nella programmazione logica unit resolution il risolvente è ottenuto da almeno una clausola unitaria (come la input non completa) SL ed SLD resolution

UN ESEMPIO La teoria ~q Ú p q Ú p ~p Ú q La formula da dimostrare Risoluzione lineare

UN ESEMPIO Input resolution

Clausole Horn clausola con al più un letterale positivo clausole definite: Regole A¬ B1, B2,..., Bm. Fatti A. clausole negative: (goal) ¬ B1, B2,..., Bm. clausole Horn sono un sottinsieme vero delle clausole: non tutte le formule del calcolo dei predicati del prim'ordine sono esprimibili con esse. clausole definite esprimono 'conoscenza' programma logico = insieme di cl. definite clausole negative: domanda $X1...Xn.(B1Ù B2Ù...Ù Bm) negazione per applicare la refutazione ~$X1...Xn.(B1Ù B2Ù...Ù Bm) "X1...Xn.(~B1Ú ~B2Ú...Ú ~Bm)

Risoluzione SLD risoluzione Lineare con funzione di Selezione per clausole Definite. si parte da un insieme di clausole definite (il programma P) ed un'unica clausola negativa (il goal G) ogni risolvente è sempre ottenuto da una clausola definita ed una negativa, riottenendo così un'altra clausola negativa (il nuovo goal) si deve selezionare a quale letterale del goal applicare la risoluzione (regola di sel. R). una derivazione SLD è una sequenza massimale (finita o no) di goal (G0,G1,...), di clausole di P (c0, c1,...) e di sostituzioni (q0, q1,...): G0 è il goal iniziale G ci non ha variabili a comune con G,ci,...,ci-1 Gi+1 è ottenuto da Gi = ¬ A1, A2,..., Am e ci = A¬ B1, B2,..., Bn [Aj]qi = [A]qi Gi+1 = ¬ [A1,...,Aj-1,B1, B2,..., Bn,Aj+1,..., Am]qi

Esempio di derivazione SLD una refutazione è una sequenza di goal che termina con il goal vuoto. una derivazione finita che non termina con la clausola vuota è detta fallita.