Coloriamo?Coloriamo? Tiziana Calamoneri Roma, 21 Settembre 2009

Elenco dei coautori (in questa ricerca) Italiani: –S. Caminiti –I. Finocchi –E. Fusco –R. Petreschi –B. Sinaimeri –P. Vocca (U. di Lecce) Stranieri: –S. Olariu (Old Dominion Univ.) –G. Fertin (Univ. de Nantes) –A. Pelc (Univ. du Québec) –R.B. Tan (Utrecht & Oklahoma Univ.)

Un problema di colorazione (1) Dato un grafo G, colorare tutti i suoi nodi in modo che nodi adiacenti ricevano colori diversi e minimizzando il numero di colori. Teorema dei quattro colori (cong Guthrie - studente di De Morgan; pubbl Cayley) data una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno un segmento di confine in comune.

Un problema di colorazione (2)

regione della mappa nodo; due regioni corrispondenti sono confinanti arco. Teorema dei quattro colori: I nodi di ciascun grafo planare possono essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due nodi adiacenti non ricevano mai lo stesso colore. Un problema di colorazione (3)

Altre applicazioni (1) Problemi di scheduling In un orario dei corsi, corsi tenuti dallo stesso docente o previsti per lo stesso anno non possono avere lo stesso orario. Minimo numero di ore. Corsi nodi Restrizioni che forzano orari diversi archi Orari colori

Assegnazione di frequenze alle stazioni radio di una rete senza fili Ogni stazione trasmette con una frequenza. Minimizzare il numero di frequenze evitando collisioni… Messaggi trasmessi con frequenze simili nella stessa area (collisioni dirette) o più messaggi in ricezione sulla stessa frequenza vengono persi (collisioni nascoste). Altre applicazioni (2)

Grafo dei conflitti: antenne nodi possibili comunicazioni (e quindi conflitti) archi frequenze colori La semplice colorazione dei nodi non garantisce un risultato corretto. Generalizzazione del problema… Altre applicazioni (3)

L(2,1)-etichettatura (1) Una L(2,1)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dallinsieme 0, …, ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori diversi e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2. Problema della L(2,1)-etichettatura: minimizzare … =4

L(2,1)-etichettatura (2) Il problema della L(2,1)-etichettatura è, in generale, NP-arduo. Diverse vie di ricerca: –trovare classi di grafi per cui il problema si risolve polinomialmente (ad es. grafi completi, alberi, griglie, ecc.) –trovare algoritmi di approssimazione per le altre classi –trovare limitazioni superiori ed inferiori al numero di colori necessari

L(2,1)-etichettatura (3) Osservazione: +1 Esistono grafi che richiedono ( (ad es. il grafo di incidenza di un piano proiettivo (n) di ordine n)

L(2,1)-etichettatura (4) +2 Griggs & Yeh 92) Congettura: per ogni grafo (Jonas 93) + Chang & Kuo 96 + Kràl & Skrekovski 03 + Gonçalves 08 Havet, Reed and Sereni 08 se > 0, ma 0 è circa !!

Applicazioni: –problemi di assegnazione di canali, dove il canale è definito come frequenza, tempo, o codice di controllo, equivalente ad L(h,k) per valori opportuni di h e k –assegnazione di canali in reti ottiche basate sui clusters equivalente a L(0,1) o L(1,1) a seconda del fatto che i clusters contengano uno o più nodi –assegnazione di un codice di controllo nelle reti radio per evitare collisioni nascoste, equivalente a L(0,1) L(h,k)-etichettatura L(2,1)-etichettatura h k

L(2,1)-etichettatura orientata (1) Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura. Una L(2,1)-etichettatura orientata di un grafo orientato G è una funzione che assegna colori dallinsieme 0, …, ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza 1 e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2. Problema della L(2,1)-etichettatura orientata: minimizzare N.B. il minimo valore di può essere molto diverso che nel caso non orientato. Ad es. alberi…

L(2,1)-etichettatura orientata (2) Per alberi non orientati,, ed è linearmente decidibile qual è il valore esatto (Chang & Kuo 96, Hasunama et al. 2008) Per alberi orientati, (Chang & Liaw 03)

Conclusioni (1) Nella vita reale ci sono tanti problemi che possono essere modellati come un problema di colorazione. Allora…

Conclusioni (2) … coloriamo!

Altre applicazioni (2) Allocazione di registri Le (molte) variabili in uso vanno assegnate ad un numero (limitato) di registri. Quando una variabile non è più usata, il suo registro può essere riallocato. Le variabili sono in conflitto se una è usata sia prima che dopo unaltra. Minimizzare il numero di variabili non memorizzate in registri. Variabili nodi Conflitti tra variabili archi Registri colori

È immediato trovare mappe per le quali tre soli colori non sono sufficienti. Non è eccessivamente difficile dimostrare che bastano al più cinque colori. Per dimostrare che siano strettamente necessari almeno quattro colori: 1879: Alfred Kempe. Prima dim. 1880: Peter Tait. Dim. alternativa 1890: Percy Heawood. Errore in Kempe 1891: Julius Petersen. Errore in Tait 1977: Kenneth Appel e Wolfgang Haken: dim. Un problema di colorazione (3)

L(h,k)-etichettatura (1) Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura. Una L(h,k)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dallinsieme 0, …, ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza k e nodi adiacenti abbiano colori a distanza h. Problema della L(h,k)-etichettatura: minimizzare