Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria Master universitario di II livello in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Anno Accademico 2011/2012 Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria Esercitazione del 23 gennaio 2012: spazi e tempi di percorrenza in accelerazione spazi e tempi di percorrenza in frenatura

Condizioni di moto Equazione generale del moto: Sosta o quiete: velocità nulla e assenza di forze attive e resistenze Movimento o moto: velocità diversa da zero, resistenze sempre presenti e forze attive presenti o assenti nelle diverse fasi (forze attive assenti = deriva), caratterizzato da fasi a: velocità costante (di regime) T-R=0 → dv/dt=0 velocità crescente (accelerazione) T-R>0 → dv/dt>0 velocità decrescente (decelerazione) T-R<0 → dv/dt<0 Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Soluzione dell’equazione generale del moto con: Separando le variabili ed integrando si ottiene il diagramma del moto: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Integrazione per differenze finite (metodo del Δv) Caratteristica meccanica di trazione T del mezzo, resistenze al moto R e sforzi acceleratori T - R T Tmax R (T – R)m Δv = v2 – v1 T v1 vm v2 vmax v vm = v1 + Δv/2 Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Integrazione per differenze finite (metodo del Δv) Approssimazione: all’interno dell’intervallo di velocità Δv si considera il moto ad accelerazione costante pari al valore dell’accelerazione nel punto medio (am) con P espresso in [t], T ed R in [kg] e Δv in [km/h]. Ricavato l’andamento della velocità in funzione del tempo, essendo ds=vdt, integrando ancora per differenze finite si ottiene la curva dello spazio percorso in funzione del tempo (diagramma di marcia), che costituisce l’obiettivo della presente esercitazione: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

[ / ] v P sin α α Resistenza alla salita È la componente della forza peso lungo l’asse della traiettoria con verso opposto a quello della velocità con: per angoli piccoli. E quindi: v P sin α [ / ] o oo α P Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria 6

Esempi di diagrammi di marcia Diagramma del moto ad accelerazione costante Diagramma del moto ad accelerazione linearmente decrescente Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Integrazione per differenze finite (metodo del Δv) Sostituendo un’accelerazione variabile con un valore medio si commette un errore, per ridurre il quale è necessario ridurre l’ampiezza degli intervalli finiti Δv. Si potevano calcolare gli spazi percorsi anche direttamente dall’equazione generale del moto: ricordando che v=ds/dt → dt=ds/v e quindi: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Fasi del moto analizzate col metodo del Δv (esempio) (*) Y = 1000 P v (1 + ) / [3,6 g (T - R)m] Metodi alternativi al Δv: metodo Δs (si parte fissando gli intervalli di spazio) o Δt (si fissano gli intervalli di tempo). Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria Master universitario di II livello in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Anno Accademico 2011/2012 Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria Esempio di soluzione per il gruppo “B”: spazi e tempi di percorrenza in accelerazione spazi e tempi di percorrenza in frenatura

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione con: e quindi: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione Gli spazi percorsi si possono calcolare, con maggior precisione, partendo direttamente dall’equazione generale del moto. Infatti: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione Caratteristica meccanica di trazione del TAF: T≈214 kN= =214·(1.000/9,81)kg ≈21.814 kg T≈200 kN= =200·(1.000/9,81)kg ≈20.387 kg 65 km/h Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione Soluzione se il tracciato fosse piano: [km/h] [kg] [t] [‰] [s] [m] Vi Vf DV Vm F R P i P·i F-R-P·i Dt SDt Ds SDs 10 5 21800 410 273 21390 4,0 5,5 20 15 417 21383 8,0 16,6 22,1 30 25 432 21368 11,9 27,6 49,7 40 35 453 21347 15,9 38,7 88,5 50 45 481 21319 19,9 49,9 138,3 60 55 517 21283 23,9 61,0 199,3 70 65 20400 559 19841 4,3 24,2 77,4 276,7 N.B. È possibile notare come nel tratto da 0 a 60 km/h, nel quale la caratteristica meccanica è costante, si possano scegliere Δv maggiori ottenendo circa la medesima approssimazione: [km/h] [kg] [t] [‰] [s] [m] Vi Vf DV Vm F R P i P·i F-R-P·i Dt SDt Ds SDs 20 10 21800 413 273 21387 8,0 22,1 40 30 441 21359 15,9 66,4 88,4 60 50 498 21302 23,9 110,9 199,3 70 65 20400 559 19841 4,3 20,2 77,4 276,7 Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione Ma attenzione alla pendenza del tracciato che varia: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in accelerazione Soluzione che tiene conto delle livellette: [km/h] [kg] [t] [‰] [s] [m] Vi Vf DV Vm F R P i P·i F-R-P·i Dt SDt Ds SDs 10 5 21800 410 273 2,5 692 20698 4,1 5,7 20 15 417 20691 8,2 17,1 22,8 30 25 432 20677 12,3 28,6 51,4 40 35 453 20655 16,4 40,0 91,4 50 45 481 20627 20,6 51,5 142,9 60 55 517 14,7 4015 17268 4,9 25,5 75,2 218,2 70 65 20400 559 15826 5,4 26,8 97,0 315,2 Controllare di non aver considerato la pendenza del tracciato pari al 1,47% per una estensione maggiore di quella effettiva. Altrimenti occorre ridurre il Δv (procedimento iterativo). Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in frenatura Equazione generale del moto in caso di frenatura: da cui, integrando, si ottiene: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in frenatura Analogamente, ricordando che dt=ds/v, per gli spazi si ha: da cui, integrando, si ottiene: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in frenatura Nel caso in esame per la forza frenante si ha: con: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria

Spazi e tempi di percorrenza in frenatura Soluzione: [km/h] [kg] [t] [‰] [-] [m] [s] [m/s2] Vi Vf DV Vm R P i f Ff R+Pi+Ff Ds SDs Dt SDt d 60 50 10 55 517 273 0,15 45045 45562 28,51 1,866 1,87 1,49 40 45 481 0,16 48048 48529 21,90 50,42 1,752 1,75 1,59 30 35 453 0,17 51051 51504 16,1 66,5 1,65 5,27 1,68 20 25 432 0,20 60060 60492 9,8 76,2 1,41 4,81 1,98 15 417 0,25 75075 75492 4,7 80,9 1,13 5,94 2,47 5 410 0,35 105105 105515 1,1 82,0 0,81 6,74 3,45 Verificare che il treno possa arrestarsi iniziando a frenare dalla velocità massima di 60 km/h nell’ultima tratta orizzontale (di lunghezza pari a 279 m). Provare ad imporre una decelerazione massima di 2 m/s2: Master in Ingegneria delle Infrastrutture e dei Sistemi Ferroviari Fondamenti di Tecnica ed Economia Ferroviaria