Alberi ricoprenti minimi Alcune applicazioni Lunedì 17 novembre 2003

Problema Dato un grafo G = (V, E) e una funzione di costo c: E R, determinare un sottografo T(U,X) ricoprente (U = V), connesso e aciclico (albero) di costo minimo Minimum Spanning Tree problem (MST) Istanza: Grafo G = (V,E) con n = |V|, m = |E| Funzione di costo c e : E R con e = [v,w] E Esempio Progettare una rete di comunicazione che colleghi n luoghi a costo minimo n = 5

Ogni città deve far parte della rete sottografo ricoprente (che contiene tutti i vertici) Ogni coppia di città deve poter comunicare sottografo connesso Non devono essere presenti collegamenti superflui sottografo aciclico Proprietà richieste alla soluzione: 1 v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v

Unapplicazione genetica Memorizzare in forma compatta un insieme di n stringhe binarie di uguale lunghezza Per ogni coppia di stringhe [i,j] è nota la distanza (quali e quanti bit commutare per convertirle una nellaltra). d 12 = 4 Per esempio

Unapplicazione genetica Si costruisce un grafo G(V,E) in cui i vertici sono le stringhe, i lati le differenze Si sceglie arbitrariamente una stringa di riferimento Si esprime ciascuna stringa come variante di unaltra (elencando le differenze) Si descrive linsieme di stringhe con lalbero ricoprente minimo Stringa di riferimento 1) Albero ricoprente minimo lati differenze lati differenze (1,6) 3,6,12(1,3) 1,3,7,10 (3,5) 2,10(4,5) 3,4,6 (2,4) 4,7,10

Diffusione ottimale di un messaggio (optimal message passing) E data una rete di comunicazione G = (V, E) ove i lati [i, j] E indicano quali coppie di elementi possono comunicare direttamente. Si conosce la probabilità p ij, 0 p ij 1, di intercettazione di un messaggio lungo ogni lato [i, j] E Come trasmettere a tutti gli elementi un messaggio segreto minimizzando la probabilità che sia intercettato? Problema

Minimizzare la probabilità di intercettazione (lungo uno o più lati) Massimizzare probabilità di non intercettazione su alcun lato diffusione verso tutti i nodi ricopertura e connessione alla radice evitare ridondanza e ridurre la probabilità di intercettazione aciclicità T è un albero ricoprente

Applicando allobiettivo una funzione monotona crescente, non cambiano le soluzioni ottime (cambia solo il valore) Es: log(.)