Modello di regressione lineare semplice Analizzando la dipendenza tra due variabili possiamo cercare la relazione che esiste Usando una funzione matematica Studieremo la relazione tra una variabile dipendente da una variabile indipendente o esplicativa Qual è la funzione matematica più adatta a descrivere la relazione tra le due variabili? Se si assume che il legame è lineare la funzione più adatta è l’equazione di una retta Y = f(x) = a + β x a = intercetta Β = coefficiente angolare

Retta di regressione lineare semplice Una retta di regressione lineare descrive come cambia una variabile dipendente y quando cambia la variabile esplicativa x Obiettivo è individuare la retta che interpreta meglio i punti empirici ossia che interpola meglio i punti sul piano Operativamente utilizziamo il metodo dei minimi quadrati: la retta migliore sarà quella che minimizza la somma degli scarti (residui) tra i valori osservati (yi) e i valori teorici trovati sulla retta (yi*) ∑ (yi - yi*)2 = min ∑ (yi – a – βxi)2 = min

Retta di regressione lineare semplice Attraverso il calcolo dei minimi quadrati ottengo le seguenti soluzioni a = μy – βμx Β = σ(x,y) / σ2(x) Codevianza (x,y) = σ(x,y) = ∑ (xi – μx)*(yi – μy) devianza (x) = σ2(x) = ∑ (xi – μx)2 devianza (y) = σ2 (y) = ∑ (yi – μy)2

Retta di regressione lineare semplice Y = a + βx + ε I punti non sono quasi mai allineati perfettamente sulla retta per cui l’equazione che ci da il vero valore di y è Y = a + βx + ε (dove ε sono i residui o errori) Significati dei coefficienti: β - Il coefficiente angolare β misura la pendenza della retta ed è positivo quando la retta cresce ed è negativo quando la retta decresce β - Misura inoltre di quanto varia in media y al variare di una unità di x a - a misura il valore di y quando x = 0

Retta di regressione lineare semplice devianza (y) = σ(y) = ∑ (yi – μy)2 Si dimostra che la devianza di y può essere scomposta in due parti σ(y) = ∑ (yi* – μy)2 + ∑ (yi – yi*)2 Dove ∑ (yi* – μy)2 rappresenta la parte di devianza totale spiegata dalla regressione e si chiama devianza di regressione Dev(R) e ∑ (yi – yi*)2 rappresenta la parte di devianza non spiegata dalla regressione denominata devianza dei residui Dev(E) ed è la quantità da minimizzare con il metodo dei minimi quadrati Dev(y) = Dev(R) + Dev(E)

Retta di regressione lineare semplice Posso calcolare l’indice di determinazione che è R2 = Dev(R) / Dev(y) È un indice normalizzato che varia tra 0 e 1 Quando la Dev(R) è nulla R2 è nullo e la variabilità di y non è spiegata dalla retta di regressione Quando Dev(R) = Dev(y), R2 è uguale a 1 e la variabilità è spiegata intermente dalla retta di regressione

Regressione logistica La regressione logistica binomiale è un caso particolare di modello lineare generalizzato. Si tratta di un modello di regressione applicato nei casi in cui la variabile dipendente y sia di tipo dicotomico riconducibile ai valori 0. Il modello di regressione logistica modella la relazione tra l’esito dicotomico da esaminare (la propensione alla vacanza, il rischio di contrarre una malattia, ecc.) e un set di variabili che possono essere sia dicotomiche (ad. esempio presenza di figli con 10 anni o meno: si/no, essere sottoposto a cura antibiotica: si/no) che categoriche (ad esempio: ripartizione geografica: Nord-Ovest; Nord-Est, Centro, Sud, Isole).

Regressione logistica L’equazione logistica produce la stima dei valori medi della variabile dicotomica dipendente (y) in corrispondenza dei valori assunti dalle variabili indipendenti (xi) Essendo la y una variabile dicotomica la sua media è uguale alla proporzione di casi che assumono il valore 1. Si parla generalmente della probabilità di (propensione di) y ad assumere il valore 1 in combinazione dei valori delle variabili indipendenti xi Quando trattiamo dei valori che esprimono probabilità (di un evento) non possiamo concepire delle relazioni lineari con le altre variabili

Regressione logistica Facciamo un trasformazione matematica sulle variabili linearizzando una equazione non lineare. La probabilità da stimare si trasforma in una funzione detta logit (o logistica) Logit (P)= ln (P/1-P) = a + b1x1 + b2x2 + bixi + bnxn dove P = probabilità dell’evento Ln = logaritmo naturale Solitamente anche le variabili indipendenti sono dicotomiche o categoriale con una modalità che viene presa come modalità di riferimento. I coefficienti vanno interpretati come il cambiamento nella probabilità della variabile dipendente esercitato dal passaggio dalla modalità di riferimento ad una altra modalità per la variabile indipendente in esame, quando le altre variabili rimangono costanti

Regressione logistica I coefficienti vanno interpretati come il cambiamento nella probabilità della variabile dipendente esercitato dal passaggio dalla modalità di riferimento ad una altra modalità per la variabile indipendente in esame, quando le altre variabili rimangono costanti Questo perché rappresentano il logaritmo degli odds-ratio, ossia dei rapporti Solitamente i software traducono i logaritmi negli odd-ratio per cui è più semplice poi interpretarli

Odds e odds-ratio Gli odds sono dei rapporti di probabilità che assumono valore 1 quando le due categorie a confronto hanno la stessa frequenza e variano tra 0 e infinito Vengono calcolati sulla tabella di contingenza Gli odds-ratio è il confronti tra due odds condizionati ed è a tutti gli effetti una misura di associazione Varia tra 0 e infinito Assume 1 quando c’è la massima indipendenza Valori > 1 indicano una concordanza (associazione diretta) Valori < 1 indicano una associazione di discordanza