Agenda di oggi Sistemi di Particelle Centro di massa Velocità e accelerazione del centro di massa Esempi

Una barra leggera di lunghezza L=1 Una barra leggera di lunghezza L=1.4 m è incernierata ad un estremo ed ha una palla di massa =0.82 kg all’altro estremo. Quando la sbarra si trova in posizione orizzontale, la palla si muove con velocità di 6.8 m/s. Qual’è l’intensità della forza esercitata dalla barra sulla palla quando si porta nella sua posizione più alta? L V=6.8 m/s 11 N alto (2) 11 N basso (3) 5 N alto (4) 5 N basso (5) 3 N alto (6) 3 N basso

Una scatola (M=6kg), inizialmente ferma, è spinta sù lungo una parete verticale priva di attrito da una forza di intensità P. Quando la scatola è 0.5 m sopra la sua posizione iniziale, si muove con una velocità di 2 m/s. Quanto lavoro deve essere fatto sul blocco dalla forza P? ( q= 32 °) M  P 29 J (2) 41 J (3) 12 J (4) 55 J (5) 8 J (6) 15 J

Sistema di particelle Fino ad ora abbiamo considerato il comportamento di sistemi molto semplici (una o due masse). Ma la vita reale è usualmente molto più interessante! Per esempio, consideriamo un semplice disco rotante. Un oggetto solido esteso (come un disco) può essre pensato come un insieme di parti. Il moto di ciascuna piccola parte dipende dalla posizione nell’oggetto!

Sistema di Particelle: Centro di Massa Come descriviamo la “posizione” di un sistema fatto da molti parti? Definiamo il Centro di Massa (posizione media): Per una raccolta di N particelle individuali puntuali di cui sono note posizioni e masse: y x r1 m1 r3 r2 r4 m4 m2 m3 RCM (In questo caso, N = 4)

Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : y x r2 r1 m1 m2 RCM r2 - r1 dove M = m1 + m2 Così:

Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : dove M = m1 + m2 se m1 = m2 il CM è posto a metà fra le masse r2 - r1 + m2 m1 RCM r2 r1 y x

Sistema di Particelle: Centro di Massa Se il sistema è costituito soltanto da due particelle : dove M = m1 + m2 se m1 = 3m2 r2 - r1 + m2 m1 RCM r2 Il CM è ora più vicino alla massa più leggera. r1 y x

Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa si trova dove il sistema è in equilibrio! La costruzione di una bilancia è un esercizio per trovare i centri massa. m1 m2 + m1 m2 +

Sistema di Particelle: Centro di Massa Possiamo considerare le componenti di RCM separatamente: y x r1 m1 r3 r2 r4 m4 m2 m3 RCM (In questo caso, N = 4)

Esempi di Calcolo: Consideriamo la seguente distribuzione di massa : (12,12) m m (0,0) (24,0) RCM = (12,6)

Sistema di Particelle: Centro di Massa Per un solido continuo, facciamo un integrale. R r CM dm M = ò dm r y Dove dm è un elemento di massa infinitesimale. x

Sistema di Particelle: Centro di Massa Troviamo che il Centro di Massa è al “centro”ndell’oggetto. y RCM x

Sistema di Particelle: Centro di Massa Troviamo che il Centro di Massa è al “centro” dell’oggetto. La posizione del centro di massa è una proprietà intrinseca dell’oggetto!! (non dipende da dove scegliamo l’origine o le coordinate per il calcolo) y x RCM

Sistema di Particelle: Centro di Massa Possiamo usare l’intuizione per trovare la posizione del centro di massa per oggetti simmetrici che hanni densità uniforme: Sarà semplicemente il centro geometrico! + CM + + + + +

Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa per una combinazione di oggetti è la media della posizione dei centri di massa degli oggetti : + m2 R2 - R1 + + Così se abbiamo due oggetti : R2 RCM m1 R1 y x

Centro di Massa Il disco mostrato sotto (A) ha chiaramente il suo CM al centro. Supponiamo di tagliare il disco a metà e di sistemare le due metà come mostrare in (B): Dove è il CM di (B) confrontato con (A)? (1) Più alto (2) Più basso (3) Lo stesso X CM (A) (B)

Il CM di ciacuna metà del disco srà più vicina alla parte piatta che alla parte tonda.(Pensare a dove si trova l’equilibrio). Il CM dell’oggetto composto sarà a metà fra i CM delle due metà. X X CM Questo è più alto del CM del disco X X (A) (B)

Sistema di Particelle: Centro di Massa Il centro di massa (CM) di un oggetto si trova nel punto in cui possiamo incernierare liberamente quell’ogetto. La Gravità agisce sul CM di un oggetto Se incerneriamo l’oggetto, esso si orienterà in modo che il CM sia direttamente al di sotto del punto di incernieramento. Questo fatto può essere usato per trovare il CM di oggetti irregolari. pivot + CM pivot pivot + + CM CM mg

Sistema di Particelle: Centro di Massa Appendiamo l’oggetto per diversi punti di sospensione e vediamo dove si intersecano le linee verticali tracciate per ciascun punto di sospensione. pivot pivot pivot + CM Il punto di intersezione deve essere al CM.

Velocità e Accelerazione del Centro di Massa Se le sue particelle si muovono, si può muovere anche il CM del sistema. Supponiamo di conoscere la posizione ri di ogni particella nel sistema in funzione del tempo. Così: e: La velocità e l’accelerazione del CM è la media pesata della velocità e dell’accelerazione di tutte le particelle.

Centro di Massa e II Legge di Newton La II legge di Newton applicata al moto del CM : Questa ha interessanti implicazioni: Ci dice che il CM di un corpo esteso si comporta come un semplice punto materiale sotto l’azione di una forza esterna: Possiamo usarla per correlare F e A come siamo soliti fare.

Recapitolazione della lezione di oggi Sistemi di particelle Centro di massa Velocità e acelerazione del centro di massa Dinamica del centro di massa