Agenda di oggi Lavoro e energia *Review *Lavoro fatto da una forza variabile *Molla *Potenza

Review: Forza Costante Il lavoro, W, di una forza costante F Che agisce attraverso uno spostamento r è : W = F r = F r cos() = Fr r F  r Fr displacement

Lavoro fatto da una forza variabile : (1D) Quando la forza era costante scrivevamo W = F x Che è l’area sotto F : Per una forza variabile, calcoliamo l’area integrando dW = F(x) dx. F Wg x x F(x) x1 x2 dx

Teorema lavoro/energia cinetica per una forza variabile dv F dx F dv dv dx dv dv dx = = v dt dt dx dx dv v dx dx v dv v22 v12 v22 v12

11331 The graph F (in N) vs x (in m) is shown for the net force F acting on a 0.25 kg object that moves only along the x axis. If the object has a velocity of +7 m/s at x=0, what is the maximum kinetic energy between x=0 m and x=9 m? (1) 6.1 J (2) 14 J (3) 9.1 J (4) 10 J (5) 8.1 J +2 F X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2

Un piano inclinato sta accelerando con velocità costante a Un piano inclinato sta accelerando con velocità costante a. Una scatola ferma sul piano è tenuta sul posto dall’attrito statico. Quante forze stanno facendo lavoro sul blocco? a (1) 1 (2) 2 (3) 3

Tracciamo prima tutte le forze agenti sul sistema: mg N FS

Ricordiamo che W = F r così soltanto le forze che hanno una componente lungo la direzione dello spostamento stanno compiendo lavoro. FS a N mg La risposta è (b) 2.

Molla Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo. FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la costante di proporzionalità. Posizione di riposo FX = 0 x

Molla... Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo. FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la costante di proporzionalità Posizione di riposo FX = -kx > 0 x x  0

Molla... Legge di Hooke: La forza esercitata da una molla è proporzionale alla distanza a cui la molla è stirata o compressa rispetto alla posizione di riposo. FX = -k x Dove x è lo spostamento dalla posizione di riposo e k è la costante di proporzionalità Posizione di riposo FX = - kx < 0 x x > 0

Scale: Le molle possono essere calibrate per farci conoscere la forza applicata. Possiamo calibrare le scale e leggere Newtons, 2 4 6 8

Esempio di forza variabile 1-D : Molla Per una molla sappiamo che Fx = -kx. F(x) x1 x2 x relaxed position -kx F = - k x1 F = - k x2

Molla... Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra x1 e x2. F(x) x1 x2 x Ws relaxed position -kx

Molla... Il lavoro fatto dalla molla Ws durante uno spostamento da x1 a x2 è l’area sotto F(x) fra x1 e x2. F(x) x1 x2 x Ws -kx

Una scatola che scivola su di una superficie orizzontale in assenza di attrito corre verso una molla comprimendola ad una distanza x1 dalla sua posizione di riposo mentre momentaneamente si arresta. Se la velocità iniziale della scatola viene raddoppiata e la sua massa viene dimezzata, quanto lontano è il punto x2 a cui viene compressa la molla ? (a) (b) (c) x

Nuovamente, usiamo il fatto che WNET = DK. In questo caso, WNET = WSPRING = -1/2 kx2 e K = -1/2 mv2 così kx2 = mv2 Nel caso di x1 x1 v1 m1 m1

Così se v2 = 2v1 e m2 = m1/2 x2 v2 m2 m2

Problema: Molla che spinge su una massa. Una molla di costante elastica K è stirata ad una distanza d, e una massa m è posta al suo estremo. La massa è rilasciata dalla sua posizionecon velocità nulla. Qual’è la velocità della massa quando essa ritorna alla posizione di riposo se il piano di scivolamento è senza attrito? m Posizione di riposo m Posizione stirata (ferma) d m after release v Ritorno alla posizione di riposo m vr

Problema: Molla che spinge su una massa. Trovare prima ill lavoro netto fatto sulla massa durante il moto da x = d a x = 0 (dovuto soltanto alla molla): m Posizione stirata (ferma) d posizione a riposo m i vr

Problema: Molla che spinge su una massa. Troviamo ora la variazione nell’energia cinetica della massa : m Posizione stirata (ferma) d Posizione a riposo m i vr

Problema: Molla che spinge su una massa. Usiamo il Teorema del Lavoro ed dell’energia cinetica : Wnet = WS = K. m Posizione stirata (ferma) d Posizione a riposo m i vr

Problema: Molla che spinge su una massa. Supponiamo che ci sia un coefficiente di attrito  fra il blocco e il pavimento. Il lavoro totale fatto sul blocco è ora la somma del lavoro fatto dalla molla WS (lo stesso di prima) e il lavoro fatto dall’attrito Wf. Wf = f.Δr = - mg d r m Posizione stirata (ferma) d f = mg Posizione a riposo m i vr

Problema: Molla che spinge su una massa. Usiamo di nuovo Wnet = WS + Wf = K Wf = -mg d r m Posizione stirata (ferma) d f = mg Posizione a riposo m i vr

Potenza Abbiamo visto che W = F.r NON DIPENDE DAL TEMPO! La potenza è la “variazione del lavoro fatto nel tempo”: Se la forza non dipende dal tempo : dW/dt = F.dr/dt = F.v P = F.v F r Unità di misura: J/sec = N-m/sec = Watts v 28

Potenza  v mg T winch x y Un carrello di 2000 kg è spinto su una a 30 gradi con una velocità di 20 mi/hr fino alla sommità. Quanta potenza è necessaria ? La potenza è P = F.v = T.v Poichè il carrello non sta accelerando, la forza netta deve essere nulla. Nella direzione x : T - mg sin  = 0 T = mg sin  29

Potenza y x v P = T.v = Tv poichè T è parallela a v T winch  v mg T winch x y P = T.v = Tv poichè T è parallela a v Così P = mgv sin  v = 20 mi/hr = 8.94 m/s g = 9.81 m/s2 m = 2000 kg sin  = sin(30o) = 0.5 e P = (2000 kg)(9.81 m/s2)(8.94 m/s)(0.5) = 87,700 W 30

Riassunto della lezione di oggi Lavoro fatto dalla molla Potenza