lezione del 10 aprile 2013 appunti Matematica lezione del 10 aprile 2013 appunti

eventi e PROBABILITÀ

prova risultato elementare spazio S delle probabilità = insieme di tutti i possibili risultati l’evento è un sottoinsieme A dello spazio S, cioè un insieme di risultati possibili. Diremo che in una prova si verifica l’evento A, se il risultato “a” della prova appartiene ad A (favorevole) Si può definire la probabilità che si verifichi l’evento A come il quoziente fra il numero di risultati favorevoli e il numero di risultati possibili della prova: quindi

esempi in un vassoio ci sono 100 caramelle di cui 35 all’arancia, 33 alla menta e 32 al limone. Prendendo a caso una caramella dal vassoio, qual è la probabilità che non sia alla menta? in questo caso si chiede la probabilità che NON si verifichi l’evento A: e quindi

esempi Si costruisce un grafico ad albero ordine di estrazione: numero coincidenze - 2 – 3 1 – 2 - 3 3 - 3 – 2 1 – 3 – 2 1 - 1 – 3 2 – 1 – 3 1 - 3 – 1 2 – 3 – 1 0 - 1 – 2 3 – 1 – 2 0 - 2 – 1 3 – 2 – 1 1 riassumendo: 0 coincidenze con 2 casi favorevoli su totale 6 1 coincidenze con 3 casi favorevoli su totale 6 2 coincidenze con 0 casi favorevoli su totale 6 3 coincidenze con 1 casi favorevoli su totale 6

il triangolo di Pascal fornisce la probabilità delle diverse combinazioni, nel caso in cui per ogni prova ci siano due diversi risultati (naturalmente con pari valore) quando l’esperimento è ripetuto un numero fissato di volte. C’è poi un modello algebrico che corrisponde al triangolo di Pascal ed è il binomio di Newton: Dall’algebra elementare si conoscono le formule per due casi particolari, lo sviluppo del quadrato di un binomio e del cubo di un binomio.

Si costruisce una tabella “prodotto cartesiano” + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

La probabilità di avere somma 4 è il risultato della divisione tra il numero di casi favorevoli (caselle con somma 4) e il numero totale di combinazioni (il numero totale di caselle con la singola somma) La probabilità di avere somma inferiore a 5 è il risultato della divisione tra il numero di casi favorevoli (caselle con somma 2, 3,4) e il numero totale di combinazioni (il numero totale di caselle con la singola somma)

probabilità composta Se gli eventi sono più d’uno, la probabilità che si verifichino entrambi è data dal prodotto delle singole probabilità. gli eventi sono indipendenti (quello che esce da un dado non condiziona l’altro

Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10 picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano tutte e tre di fiori, supponendo di rimettere la carta estratta nel mazzo? L’esito di ciascuna prova è indipendente dall’esito precedente:

Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10 picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano tutte e tre di fiori, supponendo di non rimettere la carta estratta nel mazzo? questa volta gli eventi sono dipendenti …., l’uscita di “fiori” nelle estrazioni successive è condizionata dall’esito precedente 7/10 3/247 3/37 11/247 3/40

A ritardo davanti a scuola, B ritardo per la sosta al bar sono due eventi indipendenti quindi la probabilità di fare ritardo sarà data dalla somma delle due probabilità. A sua volta il ritardo B è condizionato dalla puntualità davanti a scuola ( 2 su 3), quindi: Di conseguenza l’evento contrario, ossia la puntualità sarà: Luca entra puntualmente in classe un giorno su due, un giorno sì e un giorno no!!

Si poteva risolvere il problema con le frazioni o con il m. c. m. consideriamo 12 mattine (m. c. m. di 3 e 4): 4 mattine (1 ogni 3) Luca fa ritardo davanti a scuola 8 mattine (12 – 4) Luca è puntuale davanti a scuola 2 mattine (1 su 4 delle 8 puntuali) fa ritardo al bar 6 mattine (8 – 2) Luca è puntuale in classe in conclusione Luca è puntuale 6 mattine su 12, che corrisponde a ½.

Probabilità condizionata: Si estrae una carta da un mazzo di 52. Qual è la probabilità che questa carta sia una “figura nera” ? Probabilità condizionata: p(A) . p(B) =(12/52)(6/12)=3/26