MISURA: aspetti operativi Premessa Aspetti generali: fra teoria ed esperimento Aspetti pedagogici: errori ed incertezze Piano della presentazione Introduzione Misura come atto quotidiano La difficile scelta dello strumento adatto Motivazionia storiche e culturali Risultato quantitativo: numero ed unità di misura

Le fasi di una misura Quale grandezza misurare Scopo/decisione/modello Quale unità di misura adottare Convenienza/universalità/aspetti legali e scientifici/stabilità e ripetibilità Relazione fra la grandezza e l’udm Risoluzione/precisione/accuratezza Il mondo esterno è isolato? Influssi sullo strumento/ sul comparatore/sulla grandezza, generano incertezza

Incertezza ed incompatibilità I differenti punti di vista di osservatori con differenti tecniche di misurazione: Armadio a muro da inserire in una nicchia di 2.5 m x 75 cm x 20 cm, Misura del muratore (entro la tolleranza della calce), 2.5 m ± 1 cm Misura del falegname (entro la superficie del legno), 2.5 m ± 1 mm. L’armadio può benissimo non entrare nella nicchia!

Il concetto moderno di misura 74 75 76 (75–1) cm < x < (75+ 1) cm, entro 1 cm la lunghezza non varia. Ma entro 1 mm la lunghezza oscilla! Equivalentemente, entro 1 mm la nicchia non è un parallelepipedo: IL MODELLO VA RAFFINATO!

Incertezza e misura ASPETTO INTRINSECO della MISURA causato da Calibrazione dello strumento (accuratezza nella riproduzione dell’unità di misura di riferimento) Risoluzione del comparatore (piccola ma finita) Perturbazioni causate da influenze esterne

Valutazione dell’incertezza A bassa risoluzione l’incertezza è stimata dalla risoluzione stessa (la più piccola divisione della scala del comparatore) Misura : (x ± x) unità di misura 2 x è l’intervallo di confidenza Per strumenti con graduazioni di qualità è permesso interpolare una misura più precisa.

Notazione e cifre significative Coerenza fra risultato ed incertezza: (72.5±0.5) Kg (5.20±0.05) Kg In un risultato vanno indicate tutte e sole le cifre ottenibili dall’operazione di misura, per questo dette cifre significative. Misure indirette v=18.6719 cm/sec; v=0.0712 cm/sec ci interessa il limite superiore dell’incertezza (è una stima!): v=(18.67±0.07) cm/sec.

Qualità di una misura E’ possibile definire la bontà assoluta di una misura? Incertezza assoluta e relativa: A=(17±2) cm , B=(1890±2) cm, differenti cifre significative, A/A=2/17~0.1 (10%), B/B=2/1890~0.001 (0.1%) È una distinzione ancora relativa!

Variazioni casuali Richiesta di minimizzare l’incertezza relativa  l’incertezza assoluta Si utilizza uno strumento con maggiore risoluzione Misura del periodo di oscillazione di un pendolo Cronometri con risoluzione crescente? R=1 s, T=(2±1) s, incertezza 50% R=0.2 s, T=(2.2±0.2) s, incertezza 9% R=0.05 s, T=(2.15±0.05) s, T=(2.05 ±0.05) s, T=(2.00 ±0.05) s, T=(2.10 ±0.05) s, …

Proprietà delle misure “casuali” Non hanno un andamento sistematico Non sono dovute al cattivo funzionamento dello strumento Sono dovute all’effetto dell’operatore: i suoi tempi di reazione fissano il limite inferiore alla precisione in quanto treazione< risoluzione Utilizzando uno strumento con tempi di reazione ridotti le fluttuazioni scompaiono Utilizzando una risoluzione maggiore le fluttuazioni tornano, eventualmente causate da altri fattori Si può aumentare il numero di misure (con eguali probabilità di “sbagliare” in crescere o calare) Si utilizza un approccio statistico

Misure accurate Possibilità di fare errori grossolani o approssimazioni errate nel modello/progetto/esecuzione di una misura Mancato/errato azzeramento dello strumento (effetto additivo) Mancata/errata taratura dello strumento (effetto moltiplicativo) Effetti tali da causare sistematicamente misure errate (senza evidenza diretta!) Altra causa: imperfezione del modello (esempi: spinta di Archimede, profondità di un pozzo …)

Incertezze casuali e sistematiche Collegamento fra precisione ed accuratezza: il bersaglio delle misure Non ha senso parlare di valore vero di una misura o di errori sperimentali (non esiste un comparatore perfetto, né uno “stato fisico perfetto”, deteministico) Difficoltà di distinguere nella sostanza effetti sistematici da quelli casuali (determinismo-causalità). E’ importante stimare l’entità delle incertezze e non la loro natura

Descrizione matematica delle fluttuazioni casuali Caso interessante: sparpagliamento casuale delle misure ottenute a risoluzioni relativamente elevate È comunque possibile fornire un risultato della misura e stimare l’incertezza È importante sperimentare il fenomeno di natura statistica

Istogrammi Organizzazione dei dati in tabelle e loro rappresentazione grafica per la visualizzazione della distribuzione dei risultati. Misura ripetuta di una grandezza fisica Raggruppamento secondo classi o intervalli di molteplicità Tabulazione delle frequenze, fk = nk / N Regole di normalizzazione, k nk= N, k fk=1 Grafico delle frequenze e costruzione dell’istogramma di distrubuzione dei risultati

Migliore stima della grandezza Rappresentazioni sintetiche e significative di un gruppo di dati dispersi Moda, mediana, media (maggiore frequenza, posizione simmetrica, baricentro) < x >= k xk / N = k nk xk / N La media fornisce la migliore stima della grandezza per fluttuazioni casuali (tante misure spinte al di sopra del risultato corretto quante misure spinte al di sotto di esso).

Dispersione dei risultati La risoluzione sperimentale non è utilizzabile per assegnare l’incertezza della misura, in quanto la fluttuazione ha ampiezza maggiore. Stima grossolana (e pessimistica) tramite la massima dispersione dei dati, x=(xmaxxmin)/2 Valutazione di una deviazione media quadratica o deviazione standard

Deviazione e qualità Scelta a caso di materiale (sfere) prodotte da una catena di montaggio Campione di 20 oggetti con diametri dispersi: dk=(3.36, 3.30, 3.38, 3.28, …) mm Stima con la media: <d>=3.35 mm, d=0.05 mm Il diametro è statisticamente compreso nell’intervallo <d>± d entro il 68% dei casi Si deve sottolineare la natura statistica di questa informazione Esiste una distribuzione teorica di valori casuali (legge di Gauss)

Deviazione della media Calcolo della migliore stima per l’incertezza della media (più precisa rispetto l’incertezza del dato singolo): È un intervallo di confidenza del 68% Si noti che questa deviazione diminuisce con N (processo di inferenza statistica più efficace) C’è un limite inferiore strumentale all’incertezza 30 misure di periodo, <T>=2.12 s, T=0.09 s, <T>=/N1/2=0.02 s < 0.05 s (risoluzione sperimentale), si scrive T=(2.12±0.05) s

Esercitazione di laboratorio statistico Misura del periodo di un pendolo con risoluzione pari a 0.2 s, valori eguali, T=1.2 s, T=(1.2±0.2)s, T/T=20% Misura con risoluzione di 0.01 s, dieci valori dispersi: (1.35,1.29,1.15,…,1.38)s; vi sono fluttuazioni minori di 0.2s, stima con la deviazione standard, T=0.08 s Deviazione standard della media, 0.08/(10)1/2=0.03s, intervallo di confidenza al 68% T=(1.29±0.03)s, T/T=2% Eliminazione degli effetti dovuti ai tempi di reazione con uno start/stop elettronico: T=(1.28±0.01)s, T/T=0.8% Guadagno efficace pari a N misure manuali secondo la T/(N)1/2=0.01 con T=0.08, per cui N=64

Incertezze in misure indirette A partire dalla misura di due o più grandezze sperimentali calcolo di grandezze derivate con le rispettive incertezze Casi di incertezze “legali” e “scientifiche”, corrispondenti a intervalli di taratura e stime di probabilità Casi di combinazione diretta di incertezze legali e di combinazione casuale (quadratica) di incertezze scientifiche

Somma/differenza diretta di incertezze Rapida (sovra)stima delle incertezze Somma di a±a e di b±b, S=a+b, Smax=amax+bmax=a+b+a+b, Smin=amin+bmin=a+bab; S=(SmaxSmin)/2=a+b; Esempio: x1=(12.5±0.5)cm, x2=(6.3±0.2)cm, x1+x2=(18.8±0.7)cm; Differenza di a±a e di b±b, D=ab, Dmax=amaxbmin=ab+a+b, Dmin=aminbmax=a  bab; D=(DmaxDmin)/2=a+b; Esempio: calcolo di peso netto P dal lordo L=(25.12±0.02) Kg e dalla tara T=(5.05±0.05) Kg, P=(20.07±0.07) Kg.

Prodotto/rapporto diretto di incertezze Prodotto di a±a e di b±b, P=ab, Pmax=amaxbmax=(a+a)(b+b), Pmin=aminbmin=(aa)(bb); P=(PmaxPmin)/2=ab+ba P/P= a/a+ b/b (somma delle incertezze relative) Esempio: area del rettangolo di lati a=(2.0±0.1)cm, b=(4.0±0.2)cm, a/a=0.05, b/b=0.05, A/A=0.1, A=0.1A=0.8 cm2, A=(8.0±0.8)cm2. Risultato analogo per il rapporto diretto Si sommano le incertezze relative (se non sono grandi)

Combinazione di incertezze statistiche Utilizzo di formalismo matematico per la combinazione di distribuzioni di probabilità Es. somma di due variabili, calcolo del valore medio e della deviazione della somma, che è ancora di tipo gaussiano Deviazione data da S=(a2+b2)1/2. Generalizzazione per la G(x,y,z,…) (grandezze indipendenti)

Metrologia Aspetti storici e sociali Aspetti legati alla ricerca scientifica Esigenza di universalità Esigenze specifiche di riproducibilità e stabilità temporale delle UdM Esigenza di convenienza delle UdM Continua evoluzione della scienza metrologica

Sistemi di Unità di Misura Universali UdM invarianti nello spazio e nel tempograndezze e fenomeni naturali universali (es.: lunghezza e tempo) Definizione di multipli/sottomultipli decimali (MKS, Francia 1795) Realizzazione di campioni materiali fondamentali del metro e del kilogrammo (internazionali) Realizzazione di campioni primari (nazionali) e di campioni secondari (regionali o locali) Si richiede di minimizzare il numero di grandezze fondamentali richieste (dimensionalmente indipendenti e capostipiti di tutte le grandezze fisiche derivate, es. SMD con L, T e M)

Grandezze fondamentali indispensabili disciplina geometria cinematica meccanica termodinamica elettromagnetismo elettrochimica ottica Grandezze necessarie e sufficienti lunghezza lunghezza, tempo lunghezza, tempo, massa lunghezza, tempo, massa, temperatura lunghezza, tempo, massa, corrente lunghezza, tempo, massa, temperatura, corrente, quantità di sostanza lunghezza, tempo, massa, temperatura, corrente, quantità di sostanza, intensità luminosa

Sistema Internazionale di Misura Introduzione di nuove grandezze fondamentali oltre a M, L, T Nel 1960 la CGPM adotta il SI con 7 grandezze fondamentali, 2 supplementari e più di 100 derivate LUNGHEZZA metro m MASSA kilogrammo kg TEMPO secondo s INTENSITA’ di CORRENTE ELETTRICA ampere A TEMPERATURA TERMODINAMICA kelvin K QUANTITA’ di SOSTANZA mole mol INTENSITA’ LUMINOSA candela cd Inoltre angolo piano (radiante) e solido (steradiante)

Unità SI derivate con nomi particolari Frequenza hertz Hz Forza newton N Pressione pascal Pa Energia/Lavoro joule J Potenza watt W Carica coulomb C Potenziale volt V Capacità faraday F Resistenza ohm  Conduttanza siemens S Flusso magnetico weber Wb Induzione magnetica tesla T Induttanza henry H Flusso luminoso lumen lm Illuminamento lux lx Radioattività becquerel Bq Dose assorbita gray Gy Dose equivalente sievert Sv

Unità SI non permesse minuto min 60s ora h 3600s giorno d 86400s grado ° /180 rad minuto d’angolo ‘ /10800 rad secondo d’angolo “ /648000 rad litro l 103 m3 tonnellata t 103 kg bar bar 105 Pa

Evoluzione degli standard di misura Svincolarsi da prototipi materiali Maggiore accuratezza e precisione Costanti della fisica come UdM Il metro è ora definito in termini di velocità della luce nel vuoto (nota con accuratezza elevatissima) Il tempo è ora definito in termini di oscillazioni naturali di un campione atomico Accuratezza dell’unità come conformità alla definizione internazionale della costante fisica

Riferimenti bibliografici “La misura e la valutazione della sua incertezza nella fisica sperimentale”, M.Caporaloni, S.Caporaloni, R.Ambrosini, Zanichelli. “La Misura”, M. Vicentini Missoni, C. G. Hoffmann, E. Raddi, La Nuova Italia