Sistemi di numerazione Introduzione Max Plus II 8 Novembre 2000 Sistemi di numerazione Codici Introduzione Max Plus II http://www.ingce.unibo.it/documents/Didattica/MaterialeDidattico/Current/RL/IndiceMateriale.htm http://labvisione.deis.unibo.it/~smattoccia/retilogiche.html

Macchine per l’elaborazione dell’informazione Convertitore A/D segnali analogici Elaborazione di segnali binari Convertitore D/A segnali analogici segnali binari segnali binari

Segnali binari: esempi contatto: aperto/chiuso lampadina: accesa/spenta corrente elettrica: presente/assente tensione elettrica: High/Low levetta: alta/bassa cristallo liquido: trasparente/opaco

Variabili binarie Bit (binary digit) - Variabile x tale che: x  B0,1 Un bit può rappresentare un segnale binario. Bisogna però decidere quale valore “fisico” è rappresentato dal simbolo “matematico” 1. Esistono infatti due diverse possibilità usualmente denominate logica positiva e negativa logica negativa logica positiva

Configurazioni binarie Configurazione binaria di n bit - E’ una stringa di n 0 e 1. Con una configurazione di n bit si possono codificare 2n informazioni Bn-1 B2 b1 b0 n bit n bit hanno 2n configurazioni binarie diverse. Es: c b a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di n segnali binari ad un certo istante. c b a Una configurazione di n bit può rappresentare i valori di un segnale binario in n istanti. 1 0 0 x ta tb tc

Codice binario Codice binario - Funzione dall’insieme delle 2n configurazioni di n bit ad un insieme di M informazioni (simboli alfanumerici, colori, eventi, stati interni, ecc.). Condizione necessaria per la codifica: 2n  M z 5 1 a m ? M informazioni 0 0 0 ……..0 1 0 0 ……..0 0 1 0 ……..0 1 1 0 ……..0 0 0 1 ……..0 0 1 1 ……..1 1 1 1 ……..1 2n config. 0 0 1 ……..1 n.u.

Proprietà di un codice Il codice è una rappresentazione convenzionale dell’informazione. La scelta di un codice è condivisa da sorgente e destinazione ed ha due gradi di libertà: il numero di bit (qualsiasi, a patto che sia 2n  M ) l’associazione tra configurazioni e informazioni; a parità di n e di M le associazioni possibili sono N = 2n! / (2n-M)! Codice standard - Codice fissato da norme internazionali ( de iure ) o dal costruttore di una macchina utile per tutti gli altri ( de facto ). L’uso di codici standard nelle unità di I/O consente di collegare macchine fatte da costruttori diversi Esempi: Stampanti e Calcolatori, Calcolatori e Calcolatori

Codici ridondanti e non ridondanti n > nmin nmin =  lg2 M non ridondanti Codici 4 8 16

Esempi 1 colori più meno segno zero uno due tre quattro cinque sei 1 00 01 11 10 1 colori n.u. più meno segno Esempi zero uno due tre quattro cinque sei sette otto nove Cifre decimali Altri 29 miliardi di codici a 4 bit 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 BCD 1111110 0110000 1101101 1111001 0110011 1011011 0011111 1110000 1111111 1110011 7 segmenti N.B. 1= acceso 1000000000 0100000000 0010000000 0001000000 0000100000 0000010000 0000001000 0000000100 0000000010 0000000001 uno su dieci

Sistemi di numerazione

Sistemi di numerazione Posizionali il valore di un simbolo dipende dalla posizione che esso occupa all’interno della configurazione, seguendo una legge nota. I vari sistemi di numerazione posizionale differiscono per la scelta della base B. La base B indica il numero di simboli usati. (Es: decimale, binario, ottale, esadecimale) Non posizionali Il valore di un simbolo non dipende dalla posizione che esso occupa all’interno della configurazione. (es: Numeri Romani)

Come interpretare i simboli in un sistema posizionale ? Nei sistemi posizionali, i simboli di una configurazione possono essere interpretati come i coefficienti del seguente polinomio [1] B = base di = i-esima cifra  [0..B-1] n = numero di cifre parte intera m = numero di cifre parte frazionaria La virgola e’ posta tra le cifre di posizione 0 e –1.

n=3 numero cifre parte intera m=1 numero cifre parte frazionaria Esempio: sistema decimale Il numero 135.2 decimale può essere rappresentato come segue: B = 10 base n=3 numero cifre parte intera m=1 numero cifre parte frazionaria cifra 1 3 5 2 posizione 2 1 0 -1 peso 10 2 10 1 10 0 10 -1 1•10 2 + 3•101 +5•100 + 2•10-1 = 135.2

Il sistema di numerazione binario Il sistema di numerazione binario (sistema di numerazione in base 2) si compone di due simboli di  {0,1} e (quindi) di una base B di dimensione 2. Ogni simbolo, denominato bit (binary digit ), può assumere due valori rappresentati dai simboli logici 0 e 1. Quando una variabile assume più di due possibili valori si ricorre ad una configurazione formata da più cifre binarie (configurazione binaria) Essendo un sistema di numerazione posizionale, data una cifra binaria e’ possibile determinarne il valore (ad esempio) decimale interpretando i simboli che la compongono come i coefficienti del polinomio [1].

Esempio: Quale è il valore decimale corrispondente al numero binario 11012 ? cifra2 1 1 0 1 peso 23 22 21 20 valore 1•8 1•4 0•2 1•1 11012 = 1• 23 + 1• 22 + 0• 21 + 1• 20 = 1310

Come derivare il codice Binario da quello Decimale: numeri interi Per ottenere il valore binario, di un numero intero codificato nel sistema decimale si procede utilizzando un metodo iterativo di successive divisioni per 2.

Come derivare il codice Binario da quello Decimale: numeri frazionari Si separa la parte intera da quella frazionaria, La parte intera si calcola come nel caso precedente La parte frazionaria si ottiene come segue: 1. Si moltiplica la parte frazionaria per 2 2. Se il numero ottenuto è maggiore di 1, si sottrae 1 e si considera come prima cifra dopo la virgola un ‘1’. 3. Se invece il numero è nella forma 0,….. => la cifra da inserire è uno ‘0’. 4. Si ripete dal passo 1 fino a che il numero di partenza non è zero. Esempio: 0.625 10 =0.101 2

Sistemi di numerazione Ottale ed Esadecimale Quando per la rappresentazione di un numero si utilizzano molte cifre binarie può convenire usare altri sistemi di numerazione. I sistemi ottale ed esadecimale sono utilizzati principalmente per rappresentare in modo più compatto i numeri binari. I simboli del sistema Ottale sono 8: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} I simboli del sistema Esadecimale sono 16: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

Cambiamenti di base Binario -> Ottale Per passare dalla codifica Binaria a quella Ottale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 3 (a partire da destra) e le si sostituiscono con una cifra del sistema ottale. Esempio : 1110010102 = 7128 Ottale -> Binario Per passare dalla codifica Ottale a quella Binaria, si sostituisce ad ogni cifra ottale la corrispondente codifica binaria (composta da 3 cifre). Esempio : 3028 = 0110000102

Binario -> Esadecimale Per passare dal codice Binario a quello Esadecimale, si raggruppano le cifre a gruppi di 4 (a partire da destra) e le si sostituiscono con una cifra del sistema esadecimale. Esempio : 1001000111112 = 91F16 Esadecimale -> Binario Per passare dal codice Esadecimale a quello Binario, si sostituisce ad ogni cifra esadecimale la corrispondente configurazione binaria (composta da 4 cifre). Esempio : A7F16 =1010011111112

Esempio 1 Esempio 2

Codifica dei primi 16 numeri nei quattro sistemi di numerazione Decimale Binario Ottale Esadecimale dcba 0 0000 00 0 1 0001 01 1 2 0010 02 2 3 0011 03 3 4 0100 04 4 5 0101 05 5 6 0110 06 6 7 0111 07 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F

Relazione tra diversi i codici della tabella precedente utilizzando le mappe di Karnaugh

Codici

Reti di trascodifica La codifica binaria è efficiente per svolgere operazioni aritmetiche. Spesso però accade che all’interno di una macchina digitale vengano usati diversi tipi di codifica per codificare le stesse informazioni. Ad esempio per: Facilitare l’interazione (visualizzazione di informazioni, inserimento di dati, etc) Efficienza (compressione di informazioni, velocità di elaborazione, etc) Le trasformazioni di codice sono affidati a reti denominate TRASCODIFICATORI. Codice A Codice B Trascodificatore N1 N2

Il Codice BCD (Binary Coded Decimal) Ad ogni cifra decimale sono associati 4 bit, secondo la tabella seguente: Dalla tabella è possibile osservare che esistono delle configurazioni non usate dal codice BCD ([1010..1111]).

Utilizzando il codice BCD si ha una corrispondenza biunivoca fra il numero di cifre decimali e binarie. Questo codice consente di avere dei circuiti di visualizzazione dei numeri decimali piu’ semplici. Esempio : La codifica del numero decimale 27 con il codice BCD è la seguente.

Codice 1 su N E’ un codice che associa ad ognuna delle n possibili configurazioni una stringa di n bit avente un solo bit a 1. Esempi: Calcolatori tascabili: utilizzato per immettere dati attraverso la tastiera numerica. Negli ascensori: è utilizzato per visualizzare la posizione dei piani raggiunti e per selezionare il piano da raggiungere (vedi figura). Pusanti ascensore Codifica 1 su N 3 2 1 T 1000 0100 0010 0001

Codice a sette segmenti Codice utilizzato nei display per consentire la rappresentazone grafica di cifre decimali (esteso anche per la rappresentazione degli ulteriori 6 simboli del codice esadecimale). Impiega 7 bit (a,b,c,d,e,f,g ) per codificare i 10 simboli decimali a b c d e f g abcdefg 0110000 1 a b c d e f g a b c d e f g abcdefg 1111011 9

Codice a matrice di punti Impiega MxN bit per consentire la rappresentazione di simboli grafici su una matrice di punti di M righe e N colonne. Utilizzato per la visualizzazione dei caratteri nei monitors, nei display dei telefonini, nei display delle calcolatrici,... N 0000000 0011000 0100100 0111100 ……….. M

Codice Gray E’ usato per la codifica della posizione angolare di alberi rotanti. E' un codice a distanza 1.

Codice ASCII Il codice ASCII è non ridondante, perchè i simboli che vengono codificati sono in numero pari alle configurazioni ottenibili con 7 cifre binarie. Ampiamente utilizzato in computer, stampanti,…

Esempio: Sequenza di codici impiegati in una calcolatrice tascabile

Situazioni di errore nei sistemi digitali B 10011 => 10111 Malfunzionamento di uno dei blocchi Rumore sulle linee di trasmissione Quale è la probabilità che si verifichi un errore ? Detta p la probabilità che un singolo bit venga accidentalmente alterato, si può calcolare la probabilità che in un blocco di n bit vi siano contemporaneamente e errori:

Principio di base per la rilevazione e la correzione degli errori Il codice alla sorgente deve contenere configurazioni non utilizzate, disposte in modo che un errore agente su di una configurazione valida la trasformi in una non utilizzata, e quindi sia riconoscibile in ricezione. E’ necessaria la ridondanza, ma non è sufficiente. Distanza di due configurazioni binarie il numero di bit per cui le due configurazioni differiscono. Distanza minima di un codice: la minima distanza tra due qualunque delle configurazioni del codice.

Esempi di codifica di un set di due informazioni:

Codice a rilevazione di errore (singolo) basato sul bit di parità. Data una sequenza di n bit, si definisce bit di parità quel bit che aggiunto alla sequenza rende pari il numero di 1. Il bit di parità puo’ essere calcolato sfruttando le proprietà della somma modulo 2 (OR-Esclusivo- ). 0  0 = 0 0  1 = 1 1  0 = 1 1  1 = 0

Codici a rilevazione e correzione d’errore: Teoremi di Hamming Un codice consente la rilevazione al più di R errori se la sua distanza minima è R+1; Un codice consente la correzione al più di C errori se la sua distanza è minima 2C+1;

Esempio d’utilizzo della distanza: codice a correzione d’errore: Codice ridondante con distanza minima 3: ON 000 OFF 111 000 100 011 110 111 010 101 001

Altera Max Plus II Ambiente software (CAD) per la progettazione e la simulazione di circuiti logici. Consente di gestire la complessità attraverso l'approccio gerarchico. La metodologia di progetto si basa sulla suddivisione del problema affrontato in più livelli di blocchi interconnessi via via più semplici. La progettazione assistita dal calcolatore è più rapida e affidabile della progettazione verificata direttamente sulla realizzazione hardware. L'ambiente di lavoro Max + Plus II consente di trasferire il progetto su circuiti integrati programmabili detti Field Programmable Gate Array (FPGA).

Un progetto gerarchico e' un progetto suddiviso su più livelli. Ad ogni livello è associata una descrizione funzionale o una struttura di blocchi interconnessi I2 I3 I1 Z1 Z2 A B11 B2 Livello 0 Livello 1 Livello 2 Livello 3

Struttura & Comportamento di una rete logica combinatoria ? 0 0 0 ……..0 1 0 0 ……..0 0 1 0 ……..0 1 1 0 ……..0 0 0 1 ……..0 0 1 1 ……..1 1 1 1 ……..1 0 oppure 1 x1x2x3 … xn z = F(x1,.., xn) Tabella della verità x1 x2 x3 xn z Gk G3 G2 G1 Rete logica combinatoria sintesi analisi

Mediante il principio di decomposizione è possibile scomporre la rete di partenza in reti sempre più semplici fino ad arrivare ad una descrizione basata esclusivamente sugli operatori logici fondamentali (AND, OR, NOT). Za B A AND Za = A·B Zo B A OR Zo = A + B A Zn NOT Zn = A

Verifica della Proprietà Associativa mediante simulazione Ipotesi semplificativa: Il comportamento degli operatori dell’algebra di commutazione coincide con quello dei circuiti logici reali nell’ipotesi di considerare il ritardo di propagazione degli operatori logici nullo. Proprietà Associativa (I): A+B+C = (A + B) + C La verifica della Proprietà Associativa può essere ottenuta verificando con il simulatore che le risposte delle due reti a tutte le possibili configurazioni di ingresso siano uguali.

Proprietà Associativa (I): A+B+C = (A + B) + C

Il risultato della simulazione è il seguente: Per verificare che le uscite dei due circuiti sono effettivamente uguali si può sfruttare l’operatore OR-esclusivo (XOR). Z= A  B A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 L’uscita dell’operatore XOR è ‘1’ se i due ingressi sono diversi. Quindi può essere utilizzato per evidenziare le differenze tra i due segnali Z0 e Z1 come nello schema logico seguente.

L’uscita DIFF varrà ‘1’ se e solo se Z0 e Z1 sono diversi.

Nel caso esaminato l’uscita DIFF varrà ‘1’ se e solo se Z0 e Z1 sono diversi. Come risulta dalla simulazione: DIFF rimane sempre a 0 con qualsiasi sequenza di simboli di ingresso. E’ importante osservare che la verifica di un teorema con il simulatore è valida se e solo si simula il comportamento della rete con tutte le possibili sequenze di ingresso ammesse. Si osservi inoltre che la proprietà associativa non vale con tutti gli operatori logici. Ad esempio non vale per gli operatori logici NAND e NOR.

Verifica del Teorema di De Morgan mediante simulazione Teorema di De Morgan (I): A B = A + B Anche la verifica del Teorema di De Morgn può essere ottenuta verificando che le risposte delle due reti a tutte le possibili configurazioni di ingresso sono uguali.

Risultato della simulazione: Anche in questo caso per verificare che le uscite dei due circuiti sono effettivamente identiche si utilizza l’operatore logico OR-esclusivo (XOR).

In questo schema l’uscita DIFF vale ‘1’ se e solo se Z0 e Z1 sono diversi. Come risulta dalle forme d’onda le due reti producono la stessa uscita con le stesse sequenze di ingresso. Per esercizio: utilizzando il simulatore dimostrare la seconda forma del teorema di De Morgan.