3 SITUAZIONI POSSIBILI la popolazione è in declino I morti superano i nati

EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO

Con immigrazione: Si stabilizza al valore

EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA

Lo stato della popolazione è STAZIONARIO

(Chorthippus brunneus) La dinamica della cavalletta (Chorthippus brunneus) tutti gli adulti muoiono nell'arco di un anno; ogni femmina depone mediamente 7.3 ooteche alla fine dell'estate; ogni teca contiene circa 11 uova; le uova rimangono in uno stato di quiescenza durante l'inverno e solo il 7.9% di esse si schiude all'inizio della primavera successiva per dar luogo a ninfe nello stadio di sviluppo I; il 72% delle ninfe nello stadio I passa allo stadio II; il 76% dallo stadio II a quello III, e ancora il 76% dallo stadio III al IV; l'89% delle ninfe allo stadio IV emerge finalmente come cavalletta adulta pronta a riprodursi il rapporto sessi si può in prima approssimazione assumere pari a 1:1 (cioè il 50% degli individui sono femmine e il 50% maschi);

una generazione = un anno specie univoltina e annuale gli adulti si riproducono una sola volta e poi muoiono all'inizio dell'inverno, ogni generazione sopravvive per un solo anno le generazioni non si sovrappongono nello stesso istante di tempo non ci sono individui che appartengono a generazioni diverse. Nessun adulto nell'anno sopravvive fino all'anno successivo Siccome nessun adulto nell'anno   sopravvive fino all'anno successivo, il numero di individui nella generazione       sarà dato solo dagli individui nati nella generazione   che sopravvivono fino alla generazione      . Avendo indicato con     il numero di cavallette (maschi + femmine) all'inizio della generazione , costruiamo il modello per passi successivi:

Numero di femmine della generazione Numero di teche prodotte: 7.3 X num. Femmine = 3.65 numero di uova: 11 X num. teche = 11 X 3.65 =40.15 num. ninfe stadio I: 0.079 X 40.15 = 3.172 num. ninfe stadio II: 0.72 X 3.172 = 2.284 Num. ninfe stadio III: 0.76 X 2.284 = 1.736 num. ninfe stadio IV: 0.76 X 1.736 = 1.319 Num. adulti generaz. 0.89 X 1.319 = 1.174

Il fattore 1.174 è detto tasso finito di crescita La dinamica della popolazione di cavallette è compiutamente descritta dalla semplice equazione: Il fattore 1.174 è detto tasso finito di crescita

La dinamica della cinciallegra (parus major) Il rapporto sessi è circa 1:1 (50% maschi e 50% femmine) Le femmine adulte depongono in media 10 uova all'inizio dell'estate L'84% delle uova si schiude e dà luogo a pulcini che sopravvivono fino a un mese di vita. Il 71% dei pulcini si impiuma e raggiunge i tre mesi di vita. Solo il 10% dei pulcini impiumati sopravvive all'inverno ed emerge come adulto riproduttivo Il 50% degli adulti muore durante l'inverno, la parte rimanente sopravvive fino all'estate dell'anno successivo.

+ nuovi nati nella generazione t Se indichiamo con Nt il numero totale di individui (maschi + femmine) all'inizio della generazione t (cioè all'inizio dell'estate, appena prima della riproduzione), la dinamica della popolazione di cinciallegre sarà descritta dalla seguente equazione Nt+1 = Nt - morti durante la generazione t + nuovi nati nella generazione t Le cinciallegre che muoiono durante la generazione t sono pari 0.5Nt e quindi gli adulti della generazione t che sopravvivono fino alla generazione successiva sono semplicemente: Nt - 0.5 Nt = 0.5 Nt

num. femmine della generazione t: Nt /2 Per quanto riguarda il calcolo dei nati nella generazione t si procede come nel caso precedente per passi successivi: num. femmine della generazione t: Nt /2 num. uova: 10 x num. femmine = 5 Nt num. pulcini di 1 mese: 0.84 x num. nuova = 4.2 Nt num. pulcini di 3 mesi: 0.71 x pulcini di 1 mese = 0.71 x 4.2 Nt = 2.982 Nt num. pulcini che diventano adulti: 0.1 x 2.982 Nt = 0.298 Nt

La popolazione di cinciallegre diminuisce La dinamica della popolazione di cinciallegre risulta allora compiutamente descritta dalla seguente equazione: Nt+1 = 0.5 Nt + 0.298 Nt = 0.798 Nt Il fattore "0.798" è il tasso finito di crescita della popolazione. Il suo valore è inferiore a 1. La popolazione di cinciallegre diminuisce da un anno all’altro Se oggi la popolazione ha 1000 individui, l'anno prossimo ne avrà solo 798, il successivo 637 e così via.

Accrescimento della cinciallegra (Parus maior) Questa popolazione è quindi destinata ad estinguersi Perde quasi il 20% di individui ogni anno, a meno che non intervengano nuovi fattori (ripopolamenti o migrazioni ) che permettano di compensare la naturale perdita di individui di Parus maior

IDENTIFICARE IL MODELLO DI MALTHUS P0, P1, …, PN conteggi in stagioni successive Si vuole scrivere l’equazione del modello relativo all’evoluzione della popolazione stima del parametro

TRASFORMAZIONE LOGARITMICA

Problema: stimare la pendenza della retta Supponiamo di conoscere P1 e P2

NON ESISTE Si ottiene un sistema di 2 equazioni nell’incognita a Tra le rette del fascio di centro log(P0) occorre trovare quella che passa per (t1 y1) e (t2 y2): NON ESISTE

a = coefficiente angolare della retta Si cerca la retta che passa più vicino possibile ai due punti SOLUZIONE a = coefficiente angolare della retta

IDENTIFICAZIONE DEI PARAMETRI Foca grigia del Canada I dati sono relativi al numero di cuccioli di foca grigia (Halichoerus grypus) nati ogni anno a Sable Island, Canada. ( Gulland 1987 Seal and fisheries: A case studies for predator control? Trends in Ecology and Evolution 2 102-104 )

La crescita sembra esponenziale Anno N. foche 1962 302 1963 549 1964 654 1966 671 1967 587 1968 741 784 1970 887 1971 1135 1972 978 1973 1228 1974 1269 1976 1935 1977 2106 1978 2609 1979 2892 1980 3666 1981 3083 1983 4050 La crescita sembra esponenziale

gli stessi dati in scala semilogaritmica Per verificare questa ipotesi conviene rappresentare gli stessi dati in scala semilogaritmica ( i logaritmi delle densità in funzione del tempo).

Si può osservare che i logaritmi delle densità dei dati di censimento sono graficamente approssimabili con un retta. Si deduce che questa popolazione è in una fase di crescita malthusiana. Occorre calcolare il tasso finito di crescita Effettuando una regressione lineare sui logaritmi naturali di P(t), si ottengono l'intercetta e il coefficiente angolare della retta di regressione trasformazione logaritmica delle densità della popolazione nei vari anni

SCRIPT MATLAB %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % IDENTIFICAZIONE DEI PARAMETRI DI CRESCITA % DI UNA POPOLAZIONE DI FOCHE % % Modello Malthusiano - Approssimazione ai minimi quadrati clear all; Y =[302 403 549 671 587 741 784 887 1135 978 1228 1269 1935 2106 2609 ... 2892 3666 3083 ]'; % Logaritmi naturali delle densità dei dati di censimento Y=log(Y); t(:,2) =[ 62 63 64 66 67 68 69 70 71 72 73 74 76 77 78 79 80 81]; t(:,2)=t(:,2) + 1900; t(:,1)=1; % Regressione lineare ai minimi quadrati: % Y = b(2)* t + b(1) % b(2) coefficiente angolare della retta % b(1) intercetta (valore per t=0) b = regress(Y,t) tasso= exp(b(2)); ts=num2str(tasso); % Rappresentazione grafica % Calcolo di punti sulla retta di regressione xx=linspace(1960, 1985); yy= b(1) + b(2)*xx; plot(t(:,2),Y,'o',xx,yy) title({' Tasso di crescita malthusiana di una popolazione di foche'; 'Approssimazione ai minimi quadrati'} ) xlabel('anni'); ylabel({'Numero di foche';'(in scala logaritmica)'}) legend(' dati di censimento','retta stimata') gtext('tasso di crescita : ') gtext(ts)

TEMPO (ore) DENSITA’ OSS (cellule/ml) 1 2 3 4 5 6 7 8 Stimare il tasso di accrescimento della popolazione di Salmonella

STABILITA’ PER SISTEMI DINAMICI LINEARI Problema: predire il comportamento a lungo termine

E’ un punto in cui il sistema è in equilibrio. PUNTO STAZIONARIO E’ un punto in cui il sistema è in equilibrio. In un punto stazionario la popolazione non cambia più da una stagione all’altra

COME SI INDIVIDUANO I PUNTI STAZIONARI Si introduce un’altra funzione: g descrive l’evoluzione di una popolazione che non cambia nel tempo L’intersezione di f con g fornisce un punto stazionario

L’intersezione di f con g fornisce un punto stazionario

DIAGRAMMA A RAGNATELA

DIAGRAMMA A RAGNATELA

DIAGRAMMA A RAGNATELA REPULSIVO

CHE COSA DIFFERENZIA I DIVERSI COMPORTAMENTI ?

y* punto di equilibrio attrattivo Se I termini si avvicinano sempre più al punto di equilibrio y* y* punto di equilibrio attrattivo

y* punto di equilibrio repulsivo Se I termini si allontanano sempre più dal punto di equilibrio y* y* punto di equilibrio repulsivo

Rapporto dei cateti Pendenza della retta

Teorema: Si consideri il sistema dinamico lineare Si ha per se il punto y* è attrattivo nel senso che per ogni valore iniziale se il punto y* è repulsivo nel senso che per ogni valore iniziale non tende a

I punti di equilibrio possono essere più di uno SE IL MODELLO NON E’ LINEARE … esempio I punti di equilibrio possono essere più di uno Il carattere del punto y* è determinata dalla pendenza della curva f in y* ( cioè f ’(y*) ) Per sistemi dinamici non lineari se la pendenza della retta tangente alla curva f nel punto di equilibrio è in valore assoluto minore di 1 allora il punto y* è attrattivo nel senso che per ogni condizione iniziale vicina all’equilibrio, la successione tende a y*