Dipartimento di Matematica - Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata MATEMATICA APPLICATA ALLA BIOLOGIA (I MODULO) Lucia Della Croce Dipartimento di Matematica - Università di Pavia A. A. 2008/2009

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia NUOVO utilizzo dello strumento matematico attraverso la costruzione di MODELLI MATEMATICA = Strumento investigativo ( indagine multidisciplinare) MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale MATEMATICA e mondo matematico Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

MODELLIZZAZIONE MATEMATICA Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare, predire i fenomeni reali oggetto utilizzato per rappresentare qualcosa d’altro MODELLO rappresenta un cambiamento sulla scala di astrazione Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia IP. CHIMICHE OPERATORI IP. GEOLOGICHE VARIABILI FUNZIONI FENOMENO REALE IP. FISIOLOGICHE PARAMETRI IP. FISICHE EQUAZIONI IP. BIOLOGICHE Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia DATI SPERIMENTALI OPPORTUNE EQUAZIONI FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ESISTENZA ANALISI MATEMATICA DEL MODELLO RISOLUBILITA’ UNICITA’ Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia SVILUPPO DI UN ALGORITMO * SIMULAZIONE NUMERICA IMPLEMENTAZIONE VALIDAZIONE DEL MODELLO TEST SU CASI NOTI Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

MODELLO DELLE CELLULE DEL SANGUE Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE DEL SANGUE CELLULE PRIMITIVE (pluripotenziali) CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE (proliferanti) CONTROLLO FEEDBACK MATURAZIONE (non proliferanti) CIRCOLAZIONE SANGUIGNA Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia MORTE

MODELLO MATEMATICO La popolazione di cellule del sangue varia nel tempo unità di tempo n° di cellule al tempo ti n° di cellule distrutte nell’intervallo di tempo [ti , ti+1] n° di cellule prodotte Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

La funzione deve essere “identificata” sulla base di dati sperimentali Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione c coefficiente di distruzione Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso p(x) cresce inizialmente e raggiunge un massimo Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche Esiste un livello critico al di sotto del quale l’organismo non recupera p(0) = 0 Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia La funzione deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato. Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule p(x) decresce per x grande Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia Mackey-Glass 1971 Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia Lasota 1977 Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

b, J, r, s, m sono parametri da identificare MODELLO DI MACKEY Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

b, J, r, s, m sono parametri da identificare MODELLO DI LASOTA Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia IL MODELLO DIVENTA che è della forma Dove la funzione d’iterazione f è: Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia LIVELLO STAZIONARIO In condizioni normali, le cellule raggiungono un livello stazionario al quale produzione e distruzione avvengono alla stessa velocità Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Analisi della stabilità del modello Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario Analisi della stabilità del modello Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia

Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare Livelli stazionari possono essere stabili o instabili Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale Instabile Regione di attrazione Lucia Della Croce - Matematica applicata alla Biologia