Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia DIFFUSIONE DELL’ AIDS ( Modello di Ho - 1994 ) Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Il virus HIV (Human Immunodeficiency Virus) provoca lo sviluppo dell’ AIDS (Acquired ImmunoDeficiency Sindrome) Il virus attacca una classe di linfociti ( CD4 T-Cellule), la cui azione è essenziale nell’ambito della difesa immunitaria. In condizioni normali la concentrazione di CD4 è circa 1000/ ; quando scende al di sotto di 200/ il paziente è classificato malato. PRECEDENTI SUPPOSIZIONI Periodo che intercorre tra l’infezione e lo sviluppo della malattia è un periodo di latenza e inattività del virus Tutti i meccanismi coinvolti sono lenti Lo sviluppo della malattia è lento Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Concentrazione plasmatiche di cellule virali, linfociti CD4 e anticorpi HIV Nel periodo di pseudo-latenza , la concentrazione di virus e anticorpi è quasi costante, mentre si ha una lenta diminuizione di concentrazione di cellule CD4 Il virus è allora inattivo ? Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia MODELLO DI HO Per capire se il virus è attivo nella fase di pseudolatenza, Ho ha perturbato la sua attività somministrando a 20 pazienti un inibitore della proteasi Esperimento di Ho: (1994) Virus al tempo t Cellule virali prodotte nell’unità di tempo Tasso di eliminazione (azione sistema immunitario, morte etc. ) Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia La variazione nel tempo di cellule virali può essere descritto dalla equazione di bilancio: Equazione differenziale del I ordine Soluzione generale valore iniziale Per t = 0, cioè nella fase di pseudo-latenza (equilibrio) si ha: e quindi Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia La proteasi è stata bloccata non ci sono nuove cellule prodotte Il modello è più semplice: Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Dunque la variazione di cellule virali è stata modellizzata dall’equazione Occorre calcolare c Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Procedimento di fitting per identificare il parametro c y b I parametri c e b Sono identificati con un procedimento di regressione lineare Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Diminuizione della concentrazione di cellule virali in 2 pazienti trattati con inibitore della proteasi Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Per ogni paziente si ottiene una valutazione diversa dei parametri c e b Si esegue una media Ho trovò: La conoscenza di c permette di approssimare P: ( dal fitting) Il virus non è affatto quiescente ! Questa scoperta ha cambiato la comprensione dei meccanismi di infezione dell’AIDS dando avvio a nuove terapie. Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI Sistema dinamico: Sistema che evolve nel tempo Sistema discreto: L’intervallo temporale è discretizzato Sistema lineare: la legge che determina l’evoluzione è lineare Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia DISCRETIZZAZIONE TEMPORALE è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo sono i valori in corrispondenza ai tempi Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia EVOLUZIONE LINEARE sono definiti per ricorrenza f è una funzione lineare Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia MODELLO DI MALTHUS PROBLEMA studiare come varia nel tempo una popolazione di batteri immersa in un liquido di cui si nutrono Thomas Robert Malthus Sociologo e matematico inglese (1766 -1834) Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia IPOTESI DEL MODELLO Nascita di nuovi batteri Morte di alcuni batteri Il numero di nati è proporzionale al numero di batteri presenti Il numero di morti è proporzionale al numero di batteri presenti Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia MODELLO coefficiente di natalità coefficiente di mortalità tasso di crescita Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Il modello è lineare Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Come si calcola l’abbondanza della popolazione al tempo t ? Iteriamo l’equazione: Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Se interviene anche un’immigrazione … Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia 3 SITUAZIONI POSSIBILI la popolazione è in declino I morti superano i nati Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN DECLINO Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia Con immigrazione: Si stabilizza al valore Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI BATTERI IN CRESCITA Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia

Lo stato della popolazione è STAZIONARIO Lucia Della Croce -Matematica applicata alla biologia