L’INTEGRALE Ecco cosa ci mancava !!!

Forza, cominciamo! Consideriamo la generica funzione a lato Vogliamo calcolare l’area sottesa nell’intervallo [a, b] Come facciamo?

Al solito: scomponiamo! Eh si! La “tecnica base” è sempre la stessa: suddividiamo l’area che ci interessa in tanti rettangoli

Qualche precisazione L’intervallo [a,b] è stato suddiviso in n parti uguali, ciascuna di ampiezza: Dx = (b-a)/n = base di ogni rettangolo Il poligono ombreggiato si chiama “plurirettangolo inscritto” e la sua area rappresenta un’approssimazione per difetto dell’area da calcolare; approssimazione, come sappiamo, tanto più precisa quanto più alto è il numero n delle suddivisioni di [a,b].

Plurirettangolo inscritto Area plurirettangolo inscritto = approssimazione per difetto dell’area sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli ombreggiati =

E i rettangoli tratteggiati? Tutta la parte tratteggiata rappresenta il “plurirettangolo circoscritto”

Plurirettangolo circoscritto Area plurirettangolo circoscritto = approssimazione per eccesso dell’area sottesa dalla funzione in [a,b] = somma aree rettangoli tratteggiati =

Generalizziamo un po’… Consideriamo non una funzione monotona ma una continua in [a, b] Agli estremi dei rettangoli inscritti e circoscritti dobbiamo sostituire, rispettivamente, i valori minimo (mk) e massimo (Mk) della funzione in ogni intervallino [xk-1, xk]

Otteniamo: Area plurirettangolo inscritto = “somma area inferiore”: Area plurirettangolo circoscritto = “somma area superiore”:

convergono allo stesso limite. Si può dimostrare, sotto l’ipotesi della continuità di f(x) su [a,b], che: la successione delle somme aree inferiori: e la successione delle somme aree superiori: convergono allo stesso limite. Tale limite comune è detto “integrale definito” della f(x) su [a,b] e indicato col simbolo:

INTEGRALE DEFINITO Il simbolo “  “ è stato scelto perché può essere visto come una “S” di “Somma” stilizzata. Il prodotto f(x) dx ricorda che ciascun addendo, delle somme di cui si sta indicando il limite, è costituito dal prodotto di un valore della f(x) per un incremento della variabile indipendente (Dx).

Proprietà dell’integrale Ricordiamo l’interpretazione geometrica da cui siamo partiti?

Calcolo di un integrale definito Nota: f(x) = “primitiva” di f(x) d(f(x))/dx = f(x)

L’ è lineare