DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’ Questa definizione è attribuibile a Laplace. Dato un Evento E si definisce probabilità il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento ed il numero di casi possibili nell’ipotesi che tutti i casi siano possibili p = n/M = numero casi favorevoli / numero casi possibili

la probabilità è sempre compresa tra o e 1 o tra 0 e 100% Se p=0 evento impossibile Se p=1 evento certo Se 0 ≤ p ≤ 1 evento casuale

Se per esempio lanciando un dado si vuole calcolare la probabilità che esca il numero 5: p = 1(numero casi favorevoli) / 6(numero casi possibili)

DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DI PROBABILITA’ Alcune volte non è possibile calcolare a priori la probabilità utilizzando la definizione secondo Laplace

Supponiamo di avere un’urna sigillata contenente alcune palline colorate rosse blu nere e verdi Come si può calcolare la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore? Bisogna ricorre ad un esperimento cioè estrarre tante volte una pallina e calcolare la frequenza per ogni colore

Supponiamo di fare 80 estrazioni e di ottenere questi risultati: colore n.palline frequenza Rosso 5 5/80=1/16 Blu 18 18/80=9/40 Nero 22 22/80=11/40 verde 35 35/80=7/16 totale 80

Queste frequenze calcolate sulla base dei risultati dell’esperimento sono tutti valori compresi tra 0 e 1 0 ≤ frequenza ≤ 1 Quindi queste frequenze possono essere considerate delle stime della probabilità

LEGGE EMPIRICA DEL CASO Però per essere precisi ed ottenere un valore “vero” di probabilità dovrei ripetere l’esperimento tantissime volte LEGGE EMPIRICA DEL CASO Dato un Evento E, sottoposto a n prove tutte nelle stesse condizioni, il valore della frequenza tende al valore della probabilità all’aumentare del numero n di prove effettuate

Ci sono moltissimi eventi per i quali è impossibile calcolare la probabilità a priori utilizzando la definizione di Laplace: Per questi eventi si usa la definizione frequentistica di probabilità: La probabilità di incidenti automobilistici; La probabilità di vita o di morte La probabilità di furti

Riferimento bibliografico Periodo Speranza di vita Riferimento bibliografico anni M F 1881 - 82 35,2 35,6 Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931 1889 – 02 42,6 43,0 Gini C. e Galvani, L.,Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931 1910 – 12 46,6 47,3 1921 – 22 49,3 50,7 1930 – 32 53,8 56,0 Galvani L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, Serie VII, vol. 1, Roma 1937 1935 – 37 - 57,5 Mirri A., Tavole di mortalità della popolazione femminile italiana 1935-37, Istat, Roma 1941 1950 – 53 63,7 67,2 Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana 1950-53 e 1954-57, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma 1959 1954 – 57 65,7 70,0 1960 – 62 72,3 Giusti F., Tavole di mortalità per regioni e cause di morte della popolazione italiana 1960-62, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 19, Roma 1966 1964 – 67 67,9 73,4 Angeloni R., Tavole di nuzialità (1960-62) e tavole di mortalità (1964-67) della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 25, Roma 1971 1970 – 72 68,9 74,9 De Simoni A., Tavole di mortalità della popolazione italiana 1970-72, Istat, Suppl. al Bollettino Mens. di Statistica n. 6, 1976

IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA’ Tale impostazione si basa sulla teoria degli insiemi Ad ogni esperimento si può associare un insieme U detto universo o spazio degli eventi i cui elementi sono tutti i possibili risultati dell’esperimento.

Ad esempio, se l’esperimento è il lancio di un dado, lo spazio degli eventi contiene gli elementi U={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ogni evento può essere visto come un sottoinsieme dell’insieme U tenendo conto che P(E) >=0 e P(U) = 1 1 3 4 5 6 U

Per esempio l’evento lanciando un dado esce un numero pari può essere rappresentato in questo modo 1 3 4 5 2. 6 U Il calcolo della probabilità dell’evento può comunque essere calcolato con la definizione classica di probabilità.

PROBABILITA’ TOTALE O DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO TOTALE O SOMMA quello che si verifica quando si verifica E1 o E2. E2 E1 P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) SE E1 ED E2 SONO INCOMPATIBILI ALLORA P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)

Esempi: Un’urna contiene 90 numeri da 1 a 90. Calcolare la probabilità che estraendo un numero: esca un numero dispari o multiplo di 4 esca un numero dispari o multiplo di 5 Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che la carta sia: un re o un sette un re o una carta di picche un asso o una carta di picche Un’urna contiene 4 palline gialle, 2 verdi, 7 bianche. Si estraggono contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità che: siano dello stesso colore almeno una sia verde.

4. Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che: la somma sia sette o il prodotto 12 la somma sia 6 o la somma sia divisibile per 2. 5. In una scatola ci sono 12 dischetti numerati da 1 a 12. Si estrae un dischetto. Calcolare la probabilità che esca: un numero pari o un numero maggiore di 7 un numero multiplo di 5 o un numero multiplo di 3. 6. Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. si estraggono contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che escano due numeri pari escano due numeri dispari escano due numeri pari o due numeri dispari escano due numeri dispari o due numeri multipli di 3.

PROBABILITA’ COMPOSTA O DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO COMPOSTO O PRODOTTO quello che si verifica quando si verificano E1 e E2. P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2) SE GLI EVENTI SONO INDIPENDENTI P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2/E1) PROBABILITA’ DI E2 NELL’IPOTESI CHE E1 SI SIA VERIFICATO

In un urna sono presenti 5 palline bianche e 4 nere. Si estraggono contemporaneamente tre palline. Calcolare la probabilità di avere: tre palline bianche due palline nere e una bianca. In uno scaffale sono presenti 8 cd di musica classica, 9 cd di musica rock e 7 cd di musica leggera. Si prendono consecutivamente due cd dallo scaffale. Calcolare la probabilità che: siano entrambi di musica rock siano il primo di musica classica e il secondo di musica leggera. siano uno di musica classica ed uno di musica leggera

Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 gialle. Si estraggono consecutivamente due palline senza rimettere la prima pallina estratta nell’ urna. Calcolare la probabilità che esse siano: due palline rosse due palline gialle la prima rossa e la seconda gialla una pallina rossa e l’altra gialla. Nel portamonete di Luca ci sono 6 monete da 1 euro, 4 monete da 50 centesimi, 5 monete da 20 centesimi. Prendendo tre monete a caso, uno dopo l’altra (senza reimmissione), calcolare la probabilità di avere: tre monete da 50 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda e la terza da 20 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda da 50 centesimi, la terza da 20 centesimi.