10a lezione di laboratorio Laurea Ingegneria CIVILE Lauree Specialistiche in Ingegneria CHIMICA, ELETTRONICA, AMBIENTE a.a. 2007-2008

Generalità su un problema del 2° ordine di tipo ellittico Sia dato il seguente problema di Poisson- Dirichlet: con: operatore laplaciano

Approssimazioni utilizzate Partizioniamo con maglie quadrate di passo h, per cui a=Nh e b=Mh. Nei nodi interni si approssimano le derivate parziali seconde con le differenze finite: l’errore locale è:

Costruzione del problema discreto dove fi,j = f( xi , yj ) e gi,j = g( xi , yj ), i=0,…,N, j=0,…,M. Se si introduce il vettore: si ottiene da (*), un sistema di equazioni in altrettante incognite con matrice A dei coefficienti simmetrica e a dominanza diagonale debole. Si può verificare che A è definita positiva, dunque il sistema e’ univocamente risolubile.

Matrice A scritta a blocchi: caso N=5, M=4

Risoluzione del sistema metodi idonei per la risoluzione del sistema tenendo conto delle caratteristiche della matrice A: a) se A è di piccole dimensioni: 1) Cholesky, 2) Gauss senza pivoting; b) se A è di grandi dimensioni: 1) Gauss-Seidel, 2) SOR (da preferire perché si conosce il parametro ottimale). Sono state costruite versioni degli algoritmi dei metodi iterativi da utilizzarsi per matrici a blocchi.

Function PDE_ellittiche function [x,y,sol]=PDE_ellittiche(y0,yM,x0,xN,h,f,r, g1,g2,g3,g4); x=(x0:h:xN)'; x(end)=xN; N=length(x)-1; y=(y0:h:yM)'; y(end)=yM; M=length(y)-1; f=[f,'+0*x+0*y']; f=inline(f);% vedi commento r=[r,'+0*x+0*y']; r=inline(r);% vedi commento g1=[g1,'+0*x']; g1=inline(g1);% vedi commento g2=[g2,'+0*y']; g2=inline(g2);% vedi commento g3=[g3,'+0*x']; g3=inline(g3);% vedi commento g4=[g4,'+0*y']; g4=inline(g4);% vedi commento % Queste istruzioni sono utilizzate solo se le funzioni f, % r,g1,g2,g3,g4 sono costanti. % Costruzione della matrice dei coefficienti A R=[]; for j=1:M-1 R=[R,feval(r,x(2:N),y(j+1))']; end % s è il numero di nodi interni in cui viene calcolata la soluzione s=(M-1)*(N-1);

Function PDE_ellittiche % N.B. Le righe commentate possono utilizzarsi in caso di matrici % di piccole dimensioni. In caso di grandi dimensioni conveniente % usare la costruzione mediante il comando spdiags. % % A=diag((4-h^2*R))-diag(ones(s-1,1),1)-diag(ones(s-1,1),-1); % A=A-diag(ones((M-2)*(N-1),1),N-1)-diag(ones((M-2)*(N-1),1),-(N-% 1)); e = ones(s,1); A = spdiags([ -e -e (4-h^2*R)' -e -e],[-(N-1) -1 0 1 N-1],s,s); % devono essere azzerati alcuni elementi delle codiagonali % principali for k=N-1:N-1:(M-2)*(N-1) A(k,k+1)=0; A(k+1,k)=0; end % costruzione del vettore termini noti F=[]; for j=1:M-1 F=[F,feval(f,x(2:N),y(j+1))'];

Function PDE_ellittiche % condizioni al bordo inferiore G=zeros(1,(N-1)*(M-1)); G(1:N-1)=[feval(g1,x(2:N))']; G(1)=G(1)+feval(g4,y(2)); G(N-1)=G(N-1)+feval(g2,y(2)); % condizioni ai bordi destro e sinistro for j=2:M-2 G((j-1)*(N-1)+1)=feval(g4,y(j+1)); G(j*(N-1))=feval(g2,y(j+1)); end % condizioni al bordo superiore G((M-2)*(N-1)+1:end)=[feval(g3,x(2:N))']; G((M-2)*(N-1)+1)=G((M-2)*(N-1)+1)+feval(g4,y(M)); G((M-1)*(N-1))=G((M-1)*(N-1))+feval(g2,y(M)); F=h^2*F+G;

Function PDE_ellittiche % calcolo della soluzione U=A\F'; %la soluzione trovata viene messa in una matrice for j=1:M-1 sol(j,:)=[feval(g4,y(j+1)) U((j-1)*(N-1)+1:(j)*(N-1))' feval(g2,y(j+1))]; end sol=[feval(g1,x)';sol;feval(g3,x)' ];

Esercizio 1:esame di Metodi Numerici per l’Ingegneria (19/12/2005) Sia p(x,y) la funzione definita dal file di Matlab peaks(x,y)e si consideri il seguente problema alle derivate parziali: 1) Determinare, motivando la risposta, a quale classe appartiene il problema proposto.

Quesito 2) 2) Si costruisca un file MATLAB: Cognome_nome_studente.m che, una volta avviato: a) faccia visualizzare una schermata con i dati personali e una breve presentazione del problema; b) permetta di dare in input i passi lungo l’asse x e y dati da: h1=1/4, h2=1/8 ; c) determini la soluzione utilizzando il metodo alle differenze finite; d) costruisca una tabella relativa al primo ed al secondo caso, che riporti intestazione: x sol1 sol2

Quesito 2) nella prima colonna i valori , comuni nei due casi , nelle successive colonne i valori corrispondenti della soluzione approssimata per y = 0; si stampi la tabella ogni 2 righe e si utilizzino i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i valori dei nodi , 8 cifre decimali e formato floating point per le soluzioni approssimate nei due casi.

Quesiti 3) e 4) 3) Si eseguano due figure (relative ai due casi) in cui si utilizzi il comando subplot con due finestre grafiche: nelle due finestre della prima figura, si riportino rispettivamente, 20 linee di livello di p(x,y) e di sol2; nella seconda figura si riportino le rappresentazioni di sol1 e sol2 rispettivamente nella prima e seconda finestra. In una terza figura si riporti la rappresentazione della soluzione vera. 4) Si commentino i risultati specificando, in particolare, se essi soddisfano le aspettative teoriche.

Istruzioni Quesito 2) clc; clear all x0=-3;xN=3; y0=-3;yM=3; h=[1/4 1/8]; f='-peaks(x,y)';%attenzione al segno r='0';g1='0';g2='0';g3='0';g4='0'; y_val=0; tab=[]; figure(2) for i=1:length(h) [x,y,sol]=PDE_ellittiche(y0,yM,x0,xN,h(i),f,r,g1,g2,g3,g4); step=round(h(1)/h(i)); ind_val=round((y_val-y0)/h(i))+1; tab=[tab sol(ind_val,1:step:end)']; subplot(2,1,i),surf(x,y,sol);title(['sol.–h= ' num2str(h(i))]); xlabel('x');ylabel('y');axis([-3 3 -3 3 -5 1]) end tab=[x(1:step:end) tab]; fprintf(' x sol1 sol2 \n') fprintf(' %8.3f %16.8e %16.8e \n',tab(1:2:end,:)')

Istruzioni Quesito 3): curve di livello [x,y]=meshgrid(x,y); p=-eval(f); figure(1) subplot(2,1,1),contour(x,y,p,20) title('peaks(x,y)') xlabel('x');ylabel('y') axis([-3 3 -3 3 ]) subplot(2,1,2),contour(X,Y,sol,20) title('sol.- h =',num2str(h(end)))

Risultati: tabella per y=0 x sol1 sol2 -3.000 0.00000000e+000 0.00000000e+000 -2.500 -2.44487048e-002 -2.54811702e-002 -2.000 -6.68102136e-002 -7.11188490e-002 -1.500 -2.84782305e-001 -2.93769126e-001 -1.000 -8.93486193e-001 -8.98795939e-001 -0.500 -1.63645642e+000 -1.63158849e+000 0.000 -1.98583980e+000 -1.98421091e+000 0.500 -2.13819801e+000 -2.13986488e+000 1.000 -2.31812451e+000 -2.31114343e+000 1.500 -2.13063817e+000 -2.12232331e+000 2.000 -1.50261774e+000 -1.49974215e+000 2.500 -7.41169824e-001 -7.40994870e-001 3.000 0.00000000e+000 0.00000000e+000

figure(1):curve di livello peaks(x,y), soluz._h=125

figure(2): soluz._h=0.25,soluz._h=0.125

Figure(3):peaks(x,y)

Funzione peaks(x,y) Digitando help peaks in Matlab, appare una descrizione di tale funzione. Digitando edit peaks, appare il file che definisce peaks(x,y). La rappresentazione di peaks(x,y) può quindi essere ottenuta utilizzando le seguenti istruzioni: %Definizione e rappresentazione di peaks(x,y) >> z = '3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2)... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)'; >> ezsurf(z,[-3 3 -3 3]) >> colorbar

Rappresentazione della funzione peaks(x,y)

Esercizio 2: parziale di Metodi Numerici per l’Ingegneria 30/11/2004 Si consideri il seguente problema alle derivate parziali: 1 -Si stabilisca, motivando la risposta, il tipo di equazione alle derivate parziali . Si verifichi inoltre, che la funzione è soluzione del problema dato.

Quesito 2 2 - Si costruisca un file MATLAB: Cognome_studente_matricola.m che, una volta avviato: faccia visualizzare una schermata con i dati personali ed una breve presentazione del problema; utilizzando il metodo alle differenze finite, con stessa spaziatura lungo x e lungo y, calcoli, sui punti dei due reticoli corrispondenti ai passi h1=1/4 e h2=1/8, la soluzione approssimata e l’errore assoluto; faccia visualizzare, nei due casi, la matrice della soluzione approssimata nei punti coincidenti per i due passi e l’ errore assoluto massimo, con i seguenti formati di stampa: 6 cifre decimali e formato virgola fissa per la soluzione; 2 cifre decimali e formato esponenziale per l’errore assoluto massimo.

Quesiti 3, 4 3 - In una figura, si riporti il grafico della soluzione vera. In una seconda figura con 4 finestre grafiche si riportino, nella prima e nella seconda finestra, le soluzioni approssimate nei due casi e, nella terza e nella quarta, gli errori con i due passi richiesti. In una terza figura, con uno schema grafico uguale a quello della figura precedente, si grafichino 20 curve di livello relative alla soluzione approssimata nei casi h1=1/4 e h2=1/8 e si riportino le curve di livello dell’errore nei due casi. Si corredi ogni singola figura con intestazione contenente la specifica del passo. 4 - Si commentino i risultati verificando se essi soddisfano le aspettative teoriche.

Istruzioni quesito 2 clc; clear all x0=0; xN=1; y0=0; yM=1; h=[1/4 1/8]; f='0'; r='-x.^2-y.^2'; g1='1'; g2='exp(-y)'; g3='exp(-x)'; g4='1'; s='___________________________________________________________'; for i=1:length(h) step=round(h(1)/h(i)); [x,y,sol]=PDE_ellittiche(y0,yM,x0,xN,h(i),f,r,g1,g2,g3,g4); [X,Y]=meshgrid(x,y); Uvera=exp(-X.*Y); err=abs(Uvera-sol);errmax=max(max(err)); xr=x(1:step:end);yr=y(1:step:end); solr=sol(1:step:end,1:step:end); end

Istruzioni quesito 2: tabelle (all’interno del ciclo for) n=length(xr);str=[]; for l=1:n str=[str,'%10.6f ']; end str=[str,'\n']; disp(s) fprintf(['SOL. APPROSSIMATA CON h=' num2str(h(i)) ' \n ']) fprintf(str,solr') fprintf('\n\n') fprintf(['ERRORE MASSIMO PER h=' num2str(h(i)) ': %10.2e \n '], errmax)

Istruzioni quesito 3: rappresentazioni figure(2) %ISTRUZIONI ALL’INTERNO DEL CICLO FOR subplot(2,2,i),surf(x,y,sol) set(gca,'FontWeight','bold','Fontsize',12) title(['Sol. approssimata - h= ' num2str(h(i)) ]) subplot(2,2,i+2), surf(x,y,err) title(['Err - h= ' num2str(h(i)) ]) figure(3) subplot(2,2,i), contour(x,y,sol,20) title(['C. livello (sol)- h=' num2str(h(i)) ]),colorbar subplot(2,2,i+2), contour(x,y,err,20) title(['C. livello (err) - h=' num2str(h(i)) ]),colorbar figure(1) surf(X,Y,Uvera) set(gca,'FontWeight','bold','Fontsize',12) title('Soluzione vera: U(x,y)=exp(-xy)')

Risultati quesito 2 ___________________________________________________________ SOLUZIONE APPROSSIMATA CON h=1/4 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.939430 0.882531 0.829074 0.778801 1.000000 0.882531 0.778855 0.687349 0.606531 1.000000 0.829074 0.687349 0.569841 0.472367 1.000000 0.778801 0.606531 0.472367 0.367879 SOLUZIONE APPROSSIMATA CON h=1/8 1.000000 0.939418 0.882507 0.829042 0.778801 1.000000 0.882507 0.778816 0.687306 0.606531 1.000000 0.829042 0.687306 0.569799 0.472367 ERRORE MASSIMO PER h=1/4: 5.97e-005 ERRORE MASSIMO PER h=1/8: 1.82e-005