DATA MINING E SCOPERTA DELLA CONOSCENZA UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA FACOLTA’ DI INGEGNERIA Corso di Laurea Spec. in Ingegneria Informatica DATA MINING E SCOPERTA DELLA CONOSCENZA “Graph Mining” Prof. G. Manco Francesco Gullo Ing. F. Folino matr. 87675 Anno Accademico 2004/2005

Modello Transazionale Database di transazioni: Transazione:insieme di items TID ITEMS 1 Bread, Milk 2 Bread, Diaper, Beer, Eggs 3 Milk, Diaper, Beer, Coke 4 Bread, Milk, Diaper, Beer 5 Bread, Milk, Diaper, Coke Itemset: collezione di items Es. {Bread, Milk, Coke} {Bread, Milk} Es: {Bread, Diaper} {Diaper, Beer} Obiettivo primario: ricerca di itemset frequenti

Modelli alternativi In molti ambiti gli oggetti del dataset vengono rappresentati mediante strutture dati più complesse, ad es. attraverso grafi. Transazioni Grafi Items Nodi Relazioni tra items Archi Ricerca di itemset fequenti in un dataset di transazioni Ricerca di sottografi frequenti in un dataset di grafi

Applicazioni Chimica Genetica Web Reti …

Definizioni preliminari Grafo etichettato: V, insieme di nodi E, insieme di archi L, insieme di etichette , funzione che assegna etichette a nodi ed archi Gs=(Vs, Es) è sottografo di G=(V, E) sse e Gs=(Vs, Es) è sottografo indotto di G=(V, E) G=(V,E) è connesso sse esiste un cammino per ogni coppia di nodi V

Definizioni preliminari Un isomorfismo è una funzione biunivoca tale che: Un automorfismo è un isomorfismo da G a G Un sottografo-isomorfismo da G a G’ è un isomorfismo da G a un sottografo di G’ La canonical label di un grafo G=(V,E), cl(G), è un codice unico (stringa), invariante rispetto all’ordinamento di nodi e archi del grafo

Isomorfismo Proprietà: Struttura topologicamente uguale Matrici di adiacenza e incidenza Vertex invariants Punto cruciale: risoluzione del subgraph isomorphism problem

Isomorfismo G: H: H: G’: H’: b c 1 2 1 2 b G: a H: c d d a a 3 a 4 3 4 G e H sono isomorfi (esiste in isomorfismo ‘f’ tra G e H): b 4 1 f(1)=4 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=3 H: c a d 2 a 3 G’ e H’ non sono isomorfi pur avendo lo stesso numero di nodi e di archi: G’: H’:

Canonical Labeling Comparazione veloce tra grafi e ordinamento completo e deterministico per insiemi di grafi Canonical labels usate: Concatenazione di righe o colonne della matrice di adiacenza => non univoco! Tra tutte le possibili permutazioni dei nodi, scelta del codice maggiore o minore => |V|! permutazioni Utilizzo di vertex invariants per il partizionamento in classi di nodi => permutazioni

Canonical Labeling CL Classi: p0={v1} (label:’a’, degree:3) p1={v0,v3} (label:’a’, degree:1) p2={v2} (label:’b’, degree:1) 1! x 2! x 1! = 2 permutazioni invece di 4! = 24 permutazioni CL

Definizione del problema Frequent Subgraph Discovery: Input: D={G1,…,Gn}, dataset di n grafi etichettati non orientati σ, supporto minimo (0<σ<1) Obiettivo: Trovare tutti i sottografi non orientati e connessi presenti in almeno σxn grafi del dataset D

Algoritmo Apriori largamente utilizzato nei modelli market-basket schema base per alcuni algoritmi di ricerca di sottografi Candidate Generation: join false test 1. L1= {items frequenti}; 2. for(k = 1; Lk≠∅; k++) do begin 3. Ck+1= candidati generati da Lk; 4. for each transazione t in D 5. incrementa il supporto dei candidati in Ck+1 contenuti in t; 6. Lk+1= candidati in Ck+1 con supporto ≥ min_support; 7. return {L1 ,…, Ln}; Frequency Counting

Soluzioni proposte Algoritmi analizzati: Parametri di performances: AGM FSG gSpan FFSM GASTON Parametri di performances: |D|: dimensione del dataset |T|: dimensione media transazioni |N|: numero di etichette σ : supporto minimo Studi sperimentali: dataset reali Chemical Compound Dataset (NTP, DTP, PTE ecc.) dataset sintetici Parametri: |D|, |T|, |N|, |L|, |I| D10kN4I10T20L200

AGM: caratteristiche Basato sull’algoritmo Apriori Incremento della dimensione dei sottografi frequenti mediante aggiunta di un nodo alla volta La ricerca è di sottografi indotti frequenti Si basa sulla rappresentazione dei grafi mediante matrici di adiacenza

AGM: rappresentazione di grafi Matrice di adiacenza: Dato un grafo etichettato , la matrice di adiacenza X è costituita dai seguenti elementi xij: dove num(lb) è un intero arbitrariamente assegnato all’etichetta lb Matrice di adiacenza vertex-sorted: La matrice di adiacenza Xk di un grafo G(Xk) di dimensione k è vertex-sorted se: Codice della matrice di adiacenza: Il codice di una matrice di adiacenza Xk, code(Xk), è dato dalla stringa risultante dalla concatenazione degli elementi sulle colonne del triangolo superiore della matrice stessa

AGM: candidate generation 1. JOIN La join avviene tra grafi che differiscono per un unico nodo: elementi non determinati da Xk e Yk vettori colonna di dim. (k-1) x 1 sottomatrice in comune Per evitare ridondanze, la join tra Xk e Yk viene fatta soltanto se code(Xk) ≤ code(Yk) =>matrice vertex sorted in ‘normal form’ =>di ogni singolo grafo generato vengono calcolate e memorizzate tutte le normal form ad esso relative

AGM: candidate generation 2. ELIMINAZIONE CANDIDATI INFREQUENTI L’eliminazione di sottografi infrequenti consta di tre passi: costruzione delle sottomatrici (mediante eliminazione di un nodo per volta) normalization delle sottomatrici ottenute (approccio bottom-up) verifica di frequenza, mediante ricerca di matching con l’insieme dei candidati di dim. inferiore

AGM: frequency counting Poiché dello stesso grafo sono presenti più rappresentazioni, il frequency counting deve prevedere la somma dei contributi associati alla singola normal form =>meccanismo di indicizzazione basato su canonical form Frequency Counting: calcolo della canonical form di ogni candidato (approccio bottom-up) calcolo delle normal forms dei k-subgraph indotti di ogni transazione calcolo della frequenza

AGM: prestazioni Risultati su dataset sintetici:

AGM: prestazioni Risultati: Andamento atteso al variare dei parametri caratteristici Scaling lineare al variare della dim. del dataset Complessità minore per grafi orientati (frequenza minore dei sottografi) Su dataset NTP (National Toxicology Program): PC 400MHz 128MB => 40 min con σ=20% 8 gg con σ=10%

AGM: conclusioni Vantaggi: Svantaggi: Semplicità di implementazione Pruning in base alla frequenza Prestazioni discrete per dataset piccoli e supporti grandi Svantaggi: La ricerca è di soli sottografi indotti Estrema ridondanza: ad ogni passo vengono mantenute e calcolate tutte le normal form di ogni singolo candidato Operazioni di join, normalization e ricostruzione canonical form molto costose Prestazioni scadenti per dimensioni medio-elevate (8gg per |D|=100.000 e minsup=10%)

FSG: caratteristiche Basato sull’algoritmo Apriori Incremento della dimensione dei sottografi frequenti mediante aggiunta di un arco alla volta Ottimizzazioni per candidate generation e frequency counting Utilizzo di canonical labeling

FSG: algoritmo fsg(D, σ) { 1: F1 ← all frequent 1-subgraphs in D 3: k ← 3 4: while Fk-1≠ Ø do 5: Ck ← fsg-gen(Fk-1) 6: for each candidate Gk Ck do 7: Gk.count ← 0 8: for each transaction T D do 9: if Gk is included in T then 10: Gk.count ← Gk.count + 1 11: Fk ← {Gk E Ck | Gk.count ≥ σ|D|} 12: k ← k + 1 13: return {F1, F2,…, Fk-2} } generazione di tutti i sottografi frequenti di dimensione 1 e 2 Candidate Generation: generazione sottografi candidati di dim. k, mediante fusione dei sottografi frequenti di dim. k-1 Frequency Counting selezione dei candidati che soddisfano il vincolo di supporto

FSG: candidate generation La join avviene tra sottografi di dim. k che condividono lo stesso (k-1)-subgraph (core) il risultato potrebbe non essere un unico (k+1)-subgraph: (3). Cores multipli (2). Automorfismi multipli del core (1). Nodo con uguale etichetta:

FSG: candidate generation fsg-gen(Fk) { 1: Ck+1 ← Ø 2: for each pair of (Gik,Gjk) Fk, i ≤ j and cl(Gik) ≤ cl(Gjk) do 3: Hk-1 ← { Hk-1| Hk-1 is a core shared by Gik and Gjk } 4: for each core Hk-1 E Hk-1 do 5: { Bk+1 is a set of tentative candidates } 6: Bk+1 ← fsg-join(Gik,Gjk, Hk-1) 7: for each Gjk+1 E Bk+1 do 8: { test if the downward closure property holds } 9: flag ← true 10: for each edge el Gjk+1 do 11: Hl k ← Gjk+1- el 12: if Hl k is connected and Hl k Fk then 13: flag ← false 14: break 15: if flag = true then 16: Ck+1 ← Ck+1 U {Gjk+1} 17: return Ck+1 } generazione di tutti i core condivisi per ogni coppia di sottografi frequenti generazione di tutti i possibili candidati mediante fusione di ogni coppia di sottografi frequenti, per ogni core condiviso false test

FSG: candidate generation fsg-join(G1k, G2k, Hk-1) { 1: e1 ← the edge appears only in G1k, not in Hk-1 2: e2 ← the edge appears only in G2k, not in Hk-1 3: M ← generate all automorphisms of Hk-1 4: Bk+1 = Ø 5: for each automorphism ψ M do 6: Bk+1 ← Bk+1 U {all possible candidates of size k+1 created from a set of e1, e2, Hk-1 and ψ} 7: return Bk+1 } generazione dei candidati (max. 2) per ogni automorfismo del core

FSG: candidate generation 3 steps computazionalmente costosi: generazione cores (e automorfismi) join eliminazione candidati infrequenti Ottimizzazioni: ogni k-subgraph frequente mantiene le canonical label dei suoi (k-1)-subgraph frequenti Inverted indexing scheme caching degli automorfismi dei cores precedenti uso di canonical labeling per la verifica di ridondanze e sottografi infrequenti (test veloci e ricerca binaria)

FSG: frequency counting Ad ogni passo, nxmk subgraph isomorphism problem (n=|D|, mk=# di candidati al passo k) Il costo computazionale è ridotto dall’uso di transaction identifier (TID) lists: ogni sottografo frequente mantiene la lista di TID delle transazioni nelle quali è contenuto per il calcolo della frequenza di un (k+1)-subgraph si considera l’intersezione delle liste di TID dei suoi k-subgraph frequenti se la dim. della lista è minore del supporto minimo, il candidato viene scartato, altrimenti viene valutata la frequenza sulle sole transazioni della lista

FSG: canonical labeling Il canonical labeling rappresenta un punto critico dell’algoritmo. Viene massicciamente impiegato in: Test di ridondanza (candidati già generati durante la join) False test per la verifica di sottografi frequenti Per questioni di efficienza, l’algoritmo di CL utilizzato fa uso di vertex invariants, prevedendone tre versioni differenti: Partition ordering Neighbor list Iterative partitioning

FSG: prestazioni Risultati su dataset PTE (Predictive Toxicology Evaluation Challenge): 3 ordini di grandezza tra le versioni + e – ottimizzate Inverted index: 2-4 Partition ordering: 5-15 Neighbor list: 2 ordini di grandezza Iterative partitioning: 1 ordine di grandezza Tempi notevolmente inferiori di quelli di AGM

FSG: prestazioni Risultati su dataset sintetici: Sensibilità alla struttura del grafo (|D|, |L| costanti; |T|, |I|, |N| variabili; σ=2%) |T| e |I| grandi => grande varianza Motivazione: presenza variabile di pattern regolari |N| grande => complessità minore Motivazione: automorfismi in candidate generation, subgraph isomorphism in frequency counting e CL Valore di regime in relazione ai valori di |T| e |I| |T| grande => complessità maggiore Motivazione: frequency counting e CL Crescita più lenta se |N| grande |I| grande => complessità maggiore Motivazione: candidate generation e CL Crescita più lenta se |N| grande e/o |T| piccolo Influenza indiretta di σ e |T|

FSG: prestazioni Scalabilità sulla dimensione del dataset Analisi al variare di |D| e |T| => scalabilità lineare

FSG: conclusioni Vantaggi: Svantaggi: Ricerca di sottografi generali Numerose ottimizzazioni Prestazioni molto superiori ad AGM Svantaggi: Candidate generation comunque costosa nonostante ottimizzazioni (false test e join ridondante) Complessità spaziale elevata (a causa di BFS)

GSPAN: caratteristiche Depth-first search invece di breadth-first search Incremento della dimensione dei sottografi frequenti mediante aggiunta di un arco alla volta Lo spazio di ricerca è un albero gerarchicamente basato sul DFS code Join sostituita dalla meno onerosa extension e false test eliminato

GSPAN: DFS code DFS tree DFS subscripting Rightmost vertex e rightmost path Forward edge set : Backward edge set :

GSPAN: DFS code Ordinamenti tra archi e1=(vi1,vj1), e2=(vi2,vj2): ordinamento forward: sse j1<j2 ordinamento backward: sse i1<i2 oppure i1=i2 Λ j1<j2 ordinamento forward-backward: sse oppure ordinamento totale: sse oppure È utilizzato nella definizione del DFS code per un grafo G a partire da un DFS tree T

GSPAN: DFS code Ordinamento lessicografico DFS: Dati Z={code(G,T)|T è un DFS tree di G} α=code(Gα ,Tα)=(a0,a1,…,am), β=code(Gβ ,Tβ)=(b0,b1,…,bn) Eα,f,Eα,b, Eβ,f,Eβ,b, forward edge set e backward edge set per Tα e Tβ at=(ia,ja,lia,l(ia,ja),lja) e bt=(ib,jb,lib,l(ib,jb),ljb) α ≤ β sse: Il minimum DFS code di un grafo G è il DFS code minimo in base all’ordinamento lessicografico DFS e costituisce la canonical label di G

GSPAN: spazio di ricerca Lo spazio di ricerca è rappresentato dal DFS code tree Relazione padre P = (a0, a1,…,am) figlio C = (a0, a1,…,am, b) Relazione tra fratelli: ordinamento lessicografico basato sul DFS code pruning L’operazione di extension per la costruzione dei figli di ogni nodo consta nell’aggiunta di archi per i soli nodi del rightmost path

GSPAN: spazio di ricerca Teoremi: Il DFS code tree contiene i minimum DFS code di tutti i grafi (completa enumerazione) DFS Code Tree Covering Il minimum DFS code di un grafo G, durante la DFS, è incontrato prima di qualsiasi altro DFS code non minimum rappresentante G DFS Code Growth La discendenza di un nodo con DFS code non minimum non darà vita ad alcun nodo con DFS code minimum DFS Code Pruning

GSPAN: algoritmo { GraphSet_Projection( ) } generazione di tutti gli archi a partire dall’insieme di etichette frequenti e salvataggio dei soli frequenti eliminazione archi e nodi infrequenti dai grafi del dataset GS salvataggio degli ID di ogni transazione in cui compare l’arco e DFS ricorsiva nel sottoalbero avente come root l’arco s riduzione di ogni transazione di GS mediante eliminazione dell’arco appena analizzato

GSPAN: depth first search Subgraph_Mining( ) { } pruning frequency counting continuazione ricorsiva della DFS per i soli sottografi frequenti calcolo di tutte le occorrenze di s nelle transazioni in cui è contenuto; il subgraph isomorphism problem è risolto con approccio backtracking calcolo della frequenza di ogni figlio di s e salvataggio delle transazioni in cui è presente Enumerate(s) { }

GSPAN: ottimizzazioni Pruning pre-pruning post-pruning Minimum DFS code generazione di tutti i DFS code (automorfismi) confronti parziali Children generation prima del counting (possibilità di frequenza 0) durante il counting (frequenza almeno pari ad 1)

GSPAN: prestazioni Risultati su dataset sintetici: Complessità 6-30 volte inferiore di FSG (su vari dataset generati) Meno sensibile di FSG a valori piccoli del parametro |N| (numero di etichette) Comportamento molto buono su grafi grandi e densi (15-45 volte migliore di FSG) Scalabilità lineare nella dimensione del dataset Risultati su dataset PTE: Speedup tra gSpan e FSG molto elevato (sottostrutture ad albero e poche etichette agli archi) Computazione successful anche per supporti molto piccoli (1.5%)

GSPAN: conclusioni Vantaggi: Svantaggi: Join in candidate generation sostituita da extension (minore complessità e ridondanze) Eliminazione di false test in candidate generation Complessità spaziale ridotta (grazie a DFS) Riduzione delle transazioni del dataset ad ogni macropasso Prestazioni in generale superiori ad FSG Svantaggi: Necessità di pruning test per la possibilità di DFS code duplicati La risoluzione di subgraph isomorphism problems anche se in quantità ridotta è comunque presente

FFSM: caratteristiche Depth-first search Incremento della dimensione dei sottografi frequenti mediante aggiunta di un arco alla volta Lo spazio di ricerca è un albero gerarchicamente basato sulle suboptimal CAM Operazioni efficienti di join e extension per la generazione dei figli di ogni nodo dell’albero di ricerca

FFSM: CAM Ogni grafo viene rappresentato mediante la propria matrice di adiacenza: Concatenazione delle righe del triangolo inferiore della matrice M Codice di una matrice di adiacenza M (code(M)) Massimo tra tutti i possibili codici (ordinamento lessicografico) Canonical Form (CF) Canonical Adjacency Matrix (CAM) Matrice di adiacenza che dà origine alla CF

FFSM: CAM code(M1)=“axbxyb0yyb” ≥ code(M2)=“axb0ybxyyb” ≥ code(M3)=“bybyyb0xxa”

FFSM: CAM Ogni codice stabilisce un ordinamento tra gli archi del grafo in questione Maximal Proper Submatrix: matrice ottenuta dall’eliminazione dell’ultimo arco nell’ordinamento Maximal proper submatrix di una CAM è CAM CF di un grafo è sempre ≥ della CF di un suo sottografo Maximal proper submatrix di una CAM rappresenta un sottografo connesso

FFSM: CAM tree Il CAM tree di un grafo G contiene tutte le CAM dei sottografi connessi di G la root è la matrice vuota ogni nodo è un sottografo distinto di G, rappresentato dalla sua CAM il padre di un nodo è dato dalla maximal proper submatrix del nodo stesso

FFSM: CAM tree La generazione del CAM tree per un grafo G viene effettuata applicando ad ogni nodo operazioni efficienti di join e extension: FFSM-join e FFSM-extension Caratteristiche: FFSM-join genera ogni distinta CAM una volta sola FFSM-join genera al massimo due CAM FFSM-extension genera tutte le CAM mediante aggiunta di un arco in un unico punto Sostanziale riduzione di candidati ridondanti!

FFSM: FFSM-join La join tra due matrici A(mxm) e B(nxn) che condividono la stessa maximal proper submatrix consta di tre casi: A e B matrici inner Per evitare ridondanze la join tra due matrici A e B viene effettuata soltanto se code(A)≥code(B), tranne che per il caso 3b A matrice inner B matrice outer A e B matrici outer

versione non ottimizzata! FFSM: FFSM-extension L’extension viene effettuata considerando un unico punto di scelta: viene aggiunto un arco all’ultimo nodo del grafo in considerazione verso un ulteriore nodo aggiuntivo. versione non ottimizzata!

FFSM: spazio di ricerca Il CAM tree è un albero non completo Per garantire la completezza c’è bisogno di operazioni di join tra CAM e suboptimal CAM Suboptimal CAM tree Matrici rappresentanti sottografi validi ottenute a partire da suboptimal CAM

FFSM: algoritmo generazione figli mediante FFSM-extension generazione figli mediante FFSM-join insieme di tutte le suboptimal CAM del livello superiore frequency counting (la versione ottimizzata fa uso di embedding list)

FFSM: embedding list Embedding di una matrice di adiacenza A in un grafo G Matching di nodi tra A e un sottografo di G (subgraph isomorphism) Insieme di tutti gli embedding di A in un dataset D Embedding set di A Il proprio embedding set viene mantenuto da ogni nodo e trasmesso ai figli durante le operazioni di join ed extension La frequenza di un sottografo nel dataset è pari al numero di grafi differenti presenti nel proprio embedding set => nessun subgraph isomorphism problem da risolvere!

riduzione dei possibili nodi da considerare FFSM: embedding list FFSM-join: A=join{P,Q} OA, OP, OQ embedding set di A, P, Q rispettivamente 1): OA = OP ∩ OQ 2): OA = {L | L = u1,…,un-1,un, L є OQ, L’ = u1,…,un-1 є OP} 3a): OA = OP ∩ OQ 3b): OA = {L | L = u1,…,un, L’ = u1,…,un-2,un-1 є OP, L’’ = u1,…,un-2,un є OQ} FFSM-extension: riduzione dei possibili nodi da considerare

FFSM: prestazioni Risultati su dataset reali: PTE DTP AIDS (CA) DTP AIDS (CM)

FFSM: prestazioni Risultati su dataset sintetici: σ variabile |T| variabile |N| variabile

FFSM: conclusioni Vantaggi: Svantaggi: Candidate generation molto efficiente grazie alle operazioni di FFSM-join e FFSM-extension (massiccia diminuzione di ridondanze) Nessuna risoluzione di subgraph isomorphism problem nel frequency counting Complessità spaziale ridotta (grazie a DFS) Prestazioni in generale superiori rispetto a gSpan Svantaggi: Canonical labeling semplice ma costoso Necessità di CAM test per ogni matrice, ad ogni livello

GASTON: caratteristiche Mining differenziato per differenti sottostrutture (cammini, alberi, grafi) Operazioni efficienti per l’enumerazione delle singole sottostrutture Depth-first search Utilizzo di embedding list

GASTON: spazio di ricerca Lo spazio di ricerca è partizionato in base alla sottostruttura da considerare: Paths Free Trees Cyclic Graphs node refinement cycle closing refinement Ordinamento parziale tra sottostrutture di un grafo node refinement

GASTON: path enumeration (v1e1v2…vn-1en-1vn) Possibili ridondanze dovute all’orientamento! Definizione univoca del predecessore di ogni path string nell’albero di enumerazione: (v1,e1) > (vn,en-1) => padre: (v2…vn-1en-1vn) comparazione lessicografica tra (v1,e1) e (vn,en-1) (v1,e1) < (vn,en-1) => padre: (v1e1v2…vn-1) path simmetrico =>padre:indifferente! (v1e1v2…vn-1)<(vnen-1vn-1…v2) =>padre:(v1e1v2…vn-1) (vnen-1vn-1…v2)< (v1e1v2…vn-1) =>padre:(v2…vn-1en-1vn) (v1,e1)=(vn,en-1)

GASTON: path enumeration Algoritmo di refinement: (v1e1v2…vn-1en-1vn): total simmetry (v1e1v2…vn-1) : front simmetry (v2…vn-1en-1vn): back simmetry 0 => stringa simmetrica -1 => inversa minore +1 => corrente minore total simmetry=0 => tutti i refinements possibili altrimenti, solo determinati (l(v’),l(e’)) possibili (l(v’),l(e’)) > (l(v1),l(e1)) (l(v’),l(e’)) = (l(v1),l(e1)), se back simmetry ≥ 0 total simmetry e front simmetry sono propagate da padre in figlio in tempo costante, back simmetry in tempo lineare

GASTON: free tree enumeration path P di lunghezza massima in un free tree T: P={v1,…vm} m dispari => centred tree m pari => bicentred tree Free tree enumeration: path corrispondenti alla backbone free tree con la stessa backbone backbone constraints enumerazione univoca e completa!

GASTON: graph enumeration L’enumeration di grafi ha luogo considerando unicamente cycle closing refinements, senza che ciò infici la completezza dell’albero di ricerca Utilizzo di Nauty normalization per il labeling dei grafi Hashing dei grafi generati ad ogni passo Il processo di enumeration per grafi consta di tre passi: Generazione di un grafo per ogni cycle close refinement lecito Ricostruzione della canonical form (mediante Nauty normalization) dei grafi generati Test di ridondanza mediante confronto con i grafi già memorizzati nelle strutture hash

GASTON: frequency counting Utilizzo di embedding list, organizzate efficientemente per salvaguardare lo spazio di memorizzazione: Per un node refinement la tupla è costituita da: t.parent, t.graph, t.node La frequenza di un candidato è data dal numero di grafi differenti presenti nell’embedding list Ogni riga contiene l’embedding list di un antenato del grafo in questione Ogni embedding può essere ricostruito ripercorrendo a ritroso i puntatori t.parent Per un cycle closing refinement la tupla è costituita da: t.parent Ogni tupla contiene il riferimento a una tupla dell’embedding list del padre

GASTON: frequency counting Ad ogni passo dell’algoritmo, oltre all’embedding list della struttura corrente, viene mantenuto l’intero legs set ad essa relativo insieme di embedding list di ognuna delle possibili sottostrutture ottenibili mediante refinement dalla struttura corrente In particolare, oltre alle legs relative a refinement leciti, viene tenuta traccia anche di tutte le altre (tranne che per l’enumerazione dei free tree). Ciò consente alle operazioni di join e extension di generare correttamente l’embedding list delle strutture successivamente generate

GASTON: algoritmo chiamata DFS a seconda della sottostruttura creata costruzione delle sottostrutture figlie mediante applicazione dei refinement del legs set L costruzione del nuovo legs set a seconda del refinement applicato

GASTON: prestazioni Risultati su artificial tree datasets

=> l’applicazione del quickstart principle porta notevoli benefici! GASTON: prestazioni OSSERVAZIONE: Nei vari esperimenti, il 90% circa delle sottostrutture frequenti scoperte risultavano essere free tree… Risultati su dataset reali: DTP AIDS DTP HTCLS DTP => l’applicazione del quickstart principle porta notevoli benefici!

GASTON: conclusioni Vantaggi: Svantaggi: Mining molto efficiente di sottostrutture particolari, sfruttato anche nel mining di grafi generali Nessuna risoluzione di subgraph isomorphism problem grazie alle embedding list Labeling molto efficiente (Nauty normalisation) Complessità spaziale ridotta (grazie a DFS e all’efficiente organizzazione delle embedding list) Prestazioni in generale superiori rispetto a tutti gli altri algoritmi di graph mining analizzati Svantaggi: Test di ridondanza necessario, anche se efficiente ed effettuato per le sole sottostrutture a grafo

OTTIM. FREQUENCY COUNTING CONCLUSIONI TIPO RICERCA CANONICAL LABELING CANDIDATE GENERATION TEST DI RIDONDANZA OTTIM. FREQUENCY COUNTING AGM BFS Matrice di Adiacenza APRIORI join Normalization + APRIORI false test - FSG (vertex invariants) (ottimizzata) CL test + APRIORI false test TID list GSPAN DFS DFS code DFS extension Minimum DFS test FFSM FFSM join & FFSM extension CAM test Embedding list GASTON PATH Node refinement TREE GRAPH Nauty normalization Cycle Closing refinement Nauty norm. hashing test