Indice: L’algebra di Boole Applicazione dell’algebra di Boole Boole sviluppò assieme a De Morgan la logica matematica moderna e il metodo simbolico. Boole e De Morgan costruirono l'algebra della logica (o algebrea booleana), staccando la logica dalla filosofia (Logica Aristotelica) e legandola alla matematica.

L’ algebra Booleana Contempla due costanti LOGICHE 0 e 1 (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani: AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali 1

Porte logiche Le variabili logiche sono indicate generalmente con lettere maiuscole A, B, C.. Gli operandi principali sono tre: la negazione o NOT (¯ oppure !) la somma logica o OR ( + ) il prodotto logico o AND ( • )

L’operazione di AND Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1 00 = 0 01 = 0 10 = 0 11 = 1 1 00 01 1 1 1 10 11

L’operazione di OR Si definisce l’operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli addendi è il simbolo 1 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 1 1 0+0 0+1 1 1 1 1+0 1+1

La negazione NOT Si definisce l’operatore di negazione (NOT): l’operatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione… 0 = 1 1 = 0 0 = 0 1 = 1

Porte logiche Le possibili combinazioni tra le porte principali sono: L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND) L'operatore NOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR) L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo) L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR)

La tabella di verità Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica Si può scrivere la funzione Y come somma logica di prodotti logici A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Y = ABC + ABC + ABC + ABC

Funzioni logiche Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x1, x2,…, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni delle xi un valore di y Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x1, x2, …, xn, con associato il valore di y y = F(x1,x2,…,xn) x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 y = x1+x2

La forma canonica Date tre variabili booleane (A,B,C), si scriva la funzione Y che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 Y = ABC + ABC + ABC Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND)  tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

Un circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili (A,B) a valori booleani  le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore Y Y A B A B A 1 1 1 1 B A B A=0 B=0 A=0 B=1 Y Y A B A B 1 1 A B A 1 1 B Y = AB+AB A=1 B=0 A=1 B=1

Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. xy 00 01 11 10 z 1 Rappresentazione con Mappa di K. di una funzione. Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana