Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 4 Alessandro Caporali Università di Padova

Analisi statistica dei dati di inseguimento Definizione delle variabili di stato: ad ogni istante t lo stato dinamico del c.m. del satellite è definito da 6 numeri: tre componenti del vettore posizione, tre componenti del vettore velocità Equazioni del moto: danno l’incremento dello stato da t a t+dt:

Formulazione delle equazioni del moto 6 eq.i differenziali ordinarie del 1. Ordine: Vettore di stato aumentato con costanti (bias)

Caso particolare: problema di Keplero Se P=0, è possibile effettuare una trasformazione di coordinate nello spazio delle fasi tale che le nuove x, ottenute dalle vecchie per mezzo di una trasformazione ‘canonica’, sono tutte costanti. Le nuove x sono costanti del moto e hanno una diretta interpretazione geometrica. Per orbite ellittiche: a= semi asse maggiore e= eccentricità I=inclinazione del piano orbitale sul piano equatoriale W= longitudine (ascensione retta) del nodo ascendente w= longitudine del perigeo M0=nt0 anomalia media all’epoca t0 (ad es. transito per il perigeo)

Da posizione e velocità a elementi orbitali Noti r e v gli elementi orbitali sono calcolati come segue: E a r b P W Q

Definizioni a= semi asse maggiore dell’ellisse b= a(1-e2) semiasse minore n= velocità angolare orbitale e= eccentricità E0= anomalia eccentrica del perigeo GM= costante di gravità x massa terrestre P= vettore dal geocentro nella direzione del perigeo W= vettore dal geocentro in direzione normale al piano orbitale (regola della mano destra) Q= vettore che completa la terna ortogonale destrorsa

Modello delle osservazioni Le osservazioni Y(ti) sono in generale legate in modo non lineare allo stato: Ove e rappresenta la somma degli errori sistematici e casuali del modello ad ogni epoca. Ad esempio, misure radar sono legate a (x,y,z) del satellite dalla relazione geometrica ove X,Y e Z sono le coordinate della stazione, variabili nel tempo in un sistema non ruotante

Matrice di transizione di stato Le variabili di stato X(t) del satellite ad ogni istante t sono funzioni delle 6 condizioni iniziali del sistema di eq.i differenziali del moto: X(ti)= Q(Xo,to,ti), ove Q è l’operatore ‘Matrice transizione di stato’ che integra (in generale numericamente) le eq.i del moto a partire dallo stato iniziale.

Esempio: caso Kepleriano Nel caso di orbita ellittica Kepleriana lo stato (r,v) ad ogni t è legato linearmente allo stato (r,v) a to: Le derivate parziali di r e v rispetto alle costanti iniziali non sono banali: bisogna derivare anche i coefficienti scalari delle condizioni iniziali!

Modello delle osservabili Ad ogni t, l’osservabile Y è dunque una funzione delle 6 condizioni iniziali X0 e del tempo (+ altri eventuali parametri da stimare). Se le costanti di modello sono p (>=6) e le osservazioni sono l (>>p), allora il sistema delle equazioni di osservazione è: